第 9 章联立方程计量经济模型 Simultaneous-Equations Econometrics Model

第9章联立方程计量经济模型Simultaneous-Equations Econometrics Model

§9.1 联立方程模型的概念 • 迄今为止我们讨论的的都是单一方程模型，即仅用一个方程来描述某一经济变量作被解释变量与引起这个变量的各因素作为解释变量之间的关系，其中，解释变量是被解释变量变化的原因，它们之间的因果关系是单向的; • 但是，经济现象是错综复杂的，使得经济变量之间并不是简单的单向因果关系，而是相互依存、互为因果关系，也就说，因果关系可能是双向的. • 单一方程就不能完整、准确地表达变量之间这种相互制约，相互依存的复杂关系，需要将两个或两个以上的相互关联的单一方程有机地组合起来作为一个整体才能合理地进行描述。这便是联立方程模型。

举例根据经济理论，商品的需求量Q受商品的价格P和消费者的收入等因素的影响，可建立需求模型： (9.1) 同时，该商品价格P 也受商品需求量Q 和其它替代品价格P0的影响，又可建立价格模型： (9.2) (9.1)和(9.2)式中的商品需求Q与商品价格P，事实上存在双向因果关系，不能只用单一方程模型去描述这种联立;

而需要把两个单一方程组成一个联立方程组，同时去研究商品的需求量Q和商品价格P，从而形成如下的联立方程模型：而需要把两个单一方程组成一个联立方程组，同时去研究商品的需求量Q和商品价格P，从而形成如下的联立方程模型：两个方程构成一个整体，对其中任何一个方程进行估计，都必须利用其它方程提供的信息 ,这便是联立方程模型。联立方程模型就是由多个相互联系的单一方程组成的方程组。由于其包含的变量和描述的经济关系较多，所以能够较为全面地反映经济系统的运行规律。

例：一个简单的宏观经济系统 • 由国内生产总值Y、居民消费总额C、投资总额I和政府消费额G等变量构成简单的宏观经济系统。 • 将政府消费额G由系统外部给定，其他内生。 • 在消费方程和投资方程中，国内生产总值决定居民消费总额和投资总额； • 在国内生产总值方程中，它又由居民消费总额和投资总额所决定。

9.1.1 联立方程模型的特点 • 联立方程组模型是由若干个单一方程有机地组合而成的,便于研究经济变量之间的复杂关系。 2. 联立方程组模型里既有非确定性方程（即随机方程）又有确定性方程，但必须含有随机方程. 3. 联立方程模型的各个方程之间可能含有随机解释变量。在单一方程模型中，除了滞后被解释变量之外，解释变量都被认为是可控制的非随机变量；但是在联立方程模型中，这样的假定很难成立。解释变量有可能是随机的不可控变量:

随机解释变量问题 即：解释变量可能与随机扰动项相关，违反OLS基本假定如将 (9.1)式代入(9.2)式: 得：显然在式中与相关。

结论 再如： • 将式（1）代人式（3）得： • 即： • 所以，Yt是一个随机变量，并且与方程中的随机误差项相关。即解释变量中出现随机变量，而且与误差项相关。 • 这就从计量经济学理论方法上提出了联立方程问题。

9.1.2 联立方程模型中变量的类型 对于联立方程模型中的每一个方程，仍然可以象在单方程模型中那样把变量划分为被解释变量和解释变量；但是就整个模型系统而言，这种定义方式已经无法正确区分模型中的变量。因为同一个变量，在某个方程中可能是被解释变量，但在另一个方程中又成为解释变量,对联立方程模型系统而言，已经不能用被解释变量与解释变量来划分变量，而将变量分为内生变量和外生变量两大类。

⒈内生变量（Endogenous Variables） 所谓内生变量，即其取值是由模型系统内部决定的变量。内生变量一般有以下特点： (1)内生变量既受模型中其他变量的影响，同时又影响模型中的其他内生变量。内生变量是由模型系统决定的，同时也对模型系统产生影响。 (2)内生变量一般都直接或间接地受模型系统中随机误差项的影响，内生变量是具有某种概率分布的随机变量，它的参数是联立方程系统估计的元素。 (3)内生变量的变化一般都用模型中的某一个方程来描述.所以模型中每个方程等号左端的变量(即被解释变量)都是内生变量。

⒉外生变量(Exogenous Variables) 所谓外生变量，即其取值由模型系统之外其他因素决定的变量。外生变量的特点是：（1）外生变量的变化将对模型系统中的内生变量直接产生影响，但自身变化却由模型系统之外其他因素来决定。（2）相对于所构造的联立方程模型，外生变量可以视为可控的非随机变量，从而与模型中的随机误差项不相关。（3）外生变量一般都不能用模型中的某一个方程来描述，所以外生变量都在模型中每个方程等号的右端变量。

内、外生变量的划分是相对的 • 某一个变量究竞是内生变量，还是外生变量，完全取决于计量经济研究的目的，即由所设定的计量经济模型来决定。 • 如例2中的宏观经济模型，如果在投资函数中再增加一个解释变量——利率R，此时因模型中并没有用某个方程来说明利率的变化，即认为利率R的调整完全由模型之外的因素来决定，所以是外生变量。 • 但是，如果在宏观经济模型中再相应增加一个利率R方程： • 则利率R成为内生变量，同时又增添了一个外生变量M。

⒊前定变量（Predetermined Variables） • 相对于本期内生变量，滞后内生变量和外生变量的值都是已知的(即已事先决定的)，所以将把外生变量与滞后内生变量(Lagged Endogenous Variables)统称为前定变量(又称为先决变量) 。先决变量只能作为解释变量。 • 滞后内生变量是联立方程计量经济学模型中重要的不可缺少的一部分变量，用以反映经济系统的动态性与连续性。 • 前定变量与方程中的随机误差项通常是互不相关的。

9.1.3 方程联立后产生的后果 • 一般情况下，内生变量与随机项相关，即 • 在联立方程模型中，内生变量既作为被解释变量，又可以在不同的方程中作为解释变量。

联立方程模型的偏倚性 联立方程偏倚：联立方程模型中内生变量作为解释变量与随机项相关，违反了OLS基本假定，如仍用OLS法去估计参数，就会产生偏倚，估计式是有偏的，而且是不一致的，这称为联立方程偏倚。结论：OLS法一般不适合于估计联立方程模型。

9.1.4 联立方程模型的种类 结构型模型联立方程模型简化型模型递归型模型

1.结构式模型(Structural Model) • 根据经济理论和行为规律建立的直接描述经济变量之间结构关系的计量经济学方程系统称为结构式模型。 • 结构模型每一个方程可以用来描述经济总体现象的某一构成部分，也可以用来描述经济主体（企业、个人、政府）的某一经济行为。

结构型模型的特点 (1)结构式模型中的每一个方程都是结构方程,模型直观地描述了经济变量之间的关系结构、模型的经济意义明确。 (2)各个结构方程的参数称为结构参数,它反映了每个解释变量对被解释变量的直接影响。却无法直观地反映各变量之间的间接影响。 (3)在结构型模型中，一般把内生变量表述为其它内生变量、前定变量和扰动项的函数。 (4)无法直接运用结构式模型进行预测。

2.简化式模型（Reduced-Form Model） • 简化型模型是将结构型模型加以变换，将模型中每个内生变量只表示成前定变量和随机扰动项函数的模型，即用所有前定变量作为每个内生变量的解释变量，所形成的模型称为简化式模型。 • 简化式模型中每个方程称为简化式方程，方程的参数称为简化式参数，一般用符号来表示。

简化型模型可直接把内生变量表示为各前定变量的函数：简化型模型可直接把内生变量表示为各前定变量的函数：

由于两个简化型是一致的， 与结构参数之间一定具有以下关系：

简化型模型的特点 （1）简化型模型中每个方程的解释变量全是前定变量，从而避免了联立方程偏倚，同时，简化型模型中的前定变量与随机误差项不相关。所以可以直接使用OLS法估计简化式参数，而且，简化型模型中的参数是原结构型模型参数的函数，由估计的简化型模型参数，有可能求解出结构型参数。

简化型模型的特点 （2）简化型模型表现了前定变量对内生变量的总影响（直接影响和间接影响），其参数表现了前定变量对内生变量的影响乘数（3）简化式模型并不反映经济系统中变量之间的直接关系，并不是经济系统的客观描述，因此，模型的经济含义不明确。 (4)利用简化式模型可以直接进行预测。

完备的结构式模型的矩阵表示 如果结构型模型中方程个数与内生变量个数相同，则称结构型模型为完备模型。习惯上用Y表示内生变量，X表示先决变量，μ表示随机项，β表示内生变量的结构参数，γ表示先决变量的结构参数，如果模型中有常数项，可以看成为一个外生的虚变量，它的观测值始终取1,结构型模型标准形式如下：

简单宏观经济模型的矩阵表示

简化式模型的矩阵形式

参数关系体系 ⒈定义 • 该式描述了简化式参数与结构式参数之间的关系，称为参数关系体系。

⒉作用 • 利用参数关系体系，首先估计简化式参数，然后可以计算得到结构式参数。 • 从参数关系体系还可以看出，简化式参数反映了先决变量对内生变量的直接与间接影响之和，例如,在上述模型中存在如下关系： • Π21反映Yt-1对It的直接与间接影响之和；而其中的β2正是结构方程中Yt-1对It的结构参数，显然，它只反映Yt-1对It的直接影响。 • 在这里，β2是Yt-1对It的部分乘数，Π21反映Yt-1对It的完全乘数。

3.递归型模型 递归型模型：第一个方程中解释变量只包含前定变量；第二个方程中解释变量只包含前定变量和前一个方程中的内生变量；第三个方程中解释变量只包括前定变量和前两个方程的内生变量；依此类推，最后一个方程内生变量可以表示成前定变量和个内生变量的函数。

特点： • 每个模型都满足随机扰动与解释变量不相关的基本假定，不会产生联立方程组的偏倚性，可逐个用OLS法估计其参数 • 递归模型是联立方程组模型的特殊形式，模型中事实上没有变量间互为因果的特征，所以不是真正意义上的联立方程模型

§9.2 联立方程模型的识别 所谓识别问题，是指能否从所估计的简化式模型系数求出一个结构式方程的参数的数字估计。如果可以，就说该方程是可以识别的（identified）；如果不能，就说所考虑的方程是不可以识别的（unidentified）或不足识别的（underidentified）。结构方程可以识别又包括两种情况：如果求解结构参数值唯一，则称恰好识别；如果求解结构参数不唯一，则称过度识别。

1 不足识别 某种商品的市场供给——需求模型为：

简化式参数与结构参数之间关系

供求模型的识别问题 • 假定我们只拥有一组关于P、Q的数据，其中的一个点是这两条曲线的交点。但是如图中所示，可以做出任意多条直线满足这些条件，难以分辨出哪两条直线（即供给直线和需求直线）是我们所关心的直线，此时模型是不足识别的。 • 不能识别原因在于相同的变量P和Q以相同的函数形式出现在两个方程中，它们有相同的统计形式， • 而且没有额外的信息。

2 恰好识别

供给函数可识别 由于需求模型中增加了“收入”这个变量，提供了有关这个模型变异性的附加信息，使需求曲线虽然发生位移，但供给曲线仍保持不变，而其交点仍在原来的的供给曲线上，使得以描绘出（识别）供给曲线的轨迹，所以，供给模型可以被唯一确定，即是可识别的。但需求模型仍不可识别。

需求模型也可以识别 为了使需求模型也可以识别，我们采用同样的方法，给供给模型也引进一个附加信息——该商品前一期的价格

3 过度识别

注意 • 识别是针对有参数要估计的模型，定义方程、恒等式本身没有识别问题 • 联立方程必须是完整的，模型中内生变量个数与模型中独立方程个数应相同 • 联立方程中每个方程都是可识别的，整个联立方程体系才是可识别的

4、模型识别的方法 （1）识别的阶条件 —— 识别的必要条件思想：一个结构型方程的识别，取决于不包含在这个方程中，而包含在模型其他方程中变量的个数，可从这类变量的个数去判断方程的识别性质。

（1）识别的阶条件 引入符号： —— 模型中内生变量的个数（即方程的个数） —— 模型中第个方程中包含的内生变量的个数 —— 模型中前定变量的个数 —— 模型中第个方程中包含的前定变量的个数则模型中变量总数为第个方程中包含的变量总个数为第个方程中不包含的变量总个数为

总结规律

（1）方程识别的阶条件（必要条件） 方式1 一个方程可识别时，其不包含的变量总个数（内生变量+前定变量）大于或等于模型中内生变量总个数减1。即该方程中至少必须排除该模型中的M-1个变量。若方程可识别，则：当方程恰好识别当方程过度识别阶条件的逆否命题：如果方程不可识别

方式2 模型的一个方程中不包含的前定变量个数（），大于或等于该方程中包含的内生变量个数减1，则该方程能够识别。阶条件为：当方程可识别时如果方程恰好识别如果方程过度识别阶条件逆否命题如果方程不可识别容易证明，方式1和方式2是等价的。

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