Koło Naukowe Matematyków Uniwersytet Rzeszowski

1. Krzysztof Gąsior Koło Naukowe MatematykówUniwersytet Rzeszowski Wybrane zastosowania komputera w matematyce wyższej VI Matematyczne Warsztaty KaeNeMów

2. „Matematyka często przeplata się z informatyką i wiele problemów rozwiązywanych za pomocą komputerów to problemy matematyczne”

3. Cel • jak ważnym narzędziem współczesnego matematyka jest komputer; • niektórych zastosowania programów komputerowych do rozwiązywania wybranych problemów matematycznych. Pokazanie:

4. Tematyka Zastosowanie: • programu Matematica 6 w równiach różniczkowych; • programowania w języku Java do wyznaczenia liczby relacji w zbiorze n elementowym; • programu Excel do rozwiązania problemu dywersyfikacji poziomu ryzyka inwestycyjnego.

6. Równie różniczkowe rzędu pierwszego  zagadnienie początkowe Cauch’ego Zadanie 1. Rozwiązać zagadnienie początkowe Cauch’ego:

7. Równie różniczkowe rzędu pierwszego  zagadnienie początkowe Cauch’ego Rozwiązanie:

8. Układ równań różniczkowych -niejednorodnych Zadanie 2. Znajdź całkę ogólną układu niejednorodnego:

9. Układ równań różniczkowych -niejednorodnych Rozwiązanie numer 1:

10. Układ równań różniczkowych -niejednorodnych Rozwiązanie numer 2:

11. Równanie różniczkowe cząstkowe niejednorodne Zadanie 3. Znaleźć rozwiązanie ogólne równania:

12. Równanie różniczkowe cząstkowe niejednorodne Rozwiązanie:

13. Układ równań różniczkowych cząstkowych Zadanie 4. Narysuj rozwiązanie układu równań różniczkowych cząstkowych: przy następujących warunkach:

14. Układ równań różniczkowych cząstkowych

15. Układ równań różniczkowych cząstkowych

16. Uwaga Teoria równań różniczkowych cząstkowych jest mniej rozwinięta niż teoria równań różniczkowych zwyczajnych, w szczególności, nie ma odpowiednika twierdzenia Cauchy'ego-Kowalewskaiej, mówiącego nam o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania dla problemu Cauch’ego. Oznacza to, że Mathematica może rozwiązać jedynie symbolicznie podzbiór równań różniczkowych. Konkretnie, DSolve może znaleźć rozwiązanie ogólne dla słabo liniowych i nieliniowych równań różniczkowych cząstkowych.

17. Więcej informacji • John D. Carter, „A Review of Mathematica 6”, Mathematics Department Seattle University, Seattle 2007. • Harald Höller, „ Einführung in das Arbeiten mit Mathematica 6.0, Interaktive Nutzung von Mathematica 6”, 2007. • Wolfram Mathematica: Documentation Center. • G. Drwal, „Mathematica 5”, Gliwice 2004. • J. Niedoba, W. Niedoba, „Równia różniczkowe zwyczajne i cząstkowe, zadanie z matematyki”, Kraków 2001.

18. Co zrobić, jeżeli nie możemy znaleźć gotowego programu rozwiązującego nasz problem matematyczny? hm, hm.

19. W oparciu o wiedzę dziedzinową można stworzyć algorytm rozwiązania i zaimplementować go w znanym języku programowania.

20. Terminologia • Algorytm jest przepisem na rozwiązanie postawionego zadania, będącym określonym układem elementarnych instrukcji wraz z porządkiem ich wykonania. • Implementacja algorytmu jest realizacją tego algorytmu w postaci programu na komputerze dla konkretnych danych.

21. Relacje Relacją nazywamy dowolny podzbiór iloczynu kartezjańskiego zbioru.

22. Reprezentacja relacji Relacje można reprezentować przy pomocy: • listy; • macierzy binarnej; • grafu skierowanego.

23. Relacje Interpretacja macierzowa Przez relacje: • pełna rozumiemy ; • pusta rozumiemy ; • identyczności rozumiemy

24. Działania na macierzach binarnych

25. Rodzaje relacji : • zwrotną, gdy ; • symetryczną, gdy ; • przechodnią, gdy ; • równoważności, gdy jest zwrotna, symetryczna i przechodnia; • quasi  porządku, gdy jest zwrotna i przechodnia;

26. Poszukiwanie liczby relacji Rozwiązanie problemu wyznaczenia liczby relacji, będzie polegało na generowaniu kolejnych macierzy od relacji pustej do pełneji testowanie ich pod względem własności relacyjnych.

27. Poszukiwanie liczby relacji Jeżeli przez n oznaczymy liczbę elementów w zbiorze, to ilość wszystkich relacji, będzie wynosić .

28. Start BigInteger count = new BigInteger („0”); BigInteger l = new BigInteger („0”); boolean [][] macierz; Czytaj(n); macierz = new boolean[n][n]; l < TAK Czy macierz spełnia własność? NIE TAK Zwiększ zmienną count o jeden; Generuj macierz

29. Część programu odpowiedzialna za zliczanie ilości relacji danego typu.

30. Metody weryfikujące

31. Metody weryfikujące

32. Metody weryfikujące

33. Część programu odpowiedzialna za generowanie kolejnych macierzy.

34. Przykład działania dla relacji przechodnich w zbiorze 2 elementowym. ? ? ? ? … Jest relacją przechodnią Nie jest relacją przechodnią

35. Start BigInteger count = new BigInteger („0”); BigInteger l = new BigInteger („0”); boolean [][] macierz; Czytaj(n); macierz = new boolean[n][n]; l < NIE TAK Czy macierz spełnia własność? NIE TAK Zwiększ zmienną count o jeden; Generuj macierz Wypisz wynik poszukiwań

36. Metoda wypisująca wynik.

37. Wszystkich relacji przechodnich w zbiorze 2 elementowym jest 13.

38. Start BigInteger count = new BigInteger („0”); BigInteger l = new BigInteger („0”); boolean [][] macierz; Czytaj(n); macierz = new boolean[n][n]; l < NIE TAK Czy macierz spełnia własność? NIE TAK Zwiększ zmienną count o jeden; Generuj macierz Wypisz wynik poszukiwań Stop

47. Wyniki

48. Wyniki

49. Uwaga Program działa prawidłowo dla n mniejszych od . Aby zwiększyć zakres działania naszego programu należy zmienić typ zmiennych sterujących wykonywanie programu z int na BigInteger.

50. Więcej inforamcji • Wiej informacji na tematy związane z teorią relacji będzie można uzyskać: • G otz Pfeier, „Counting Transitive Relations”, Department of Mathematics National University of Ireland, Galway. • M. Malec, „Elementy wstępu do teorii relacji, część 1”, AGH, Kraków 1998. • J. A. Szrejder, „Równość, podobieństwo, porządek”, WNT, Warszawa 1975; • Z. Moszner, O teorii relacji, PZWS, Warszawa 1967.