PORTIFÓLIO DE MATEMÁTICA Retrospectiva 2011-

1. PORTIFÓLIO DE • MATEMÁTICA • Retrospectiva • 2011-

2. Instituto Federal de Educação, Ciências e Tecnologia. IFRS – Campus Osório Nome: Wagner da Silva Dias Disciplina: Matemática Professora: Aline De Bona Portfólio 3º trimestre

3. Neste portfólio comentarei sobre as aulas de matemática do terceiro trimestre, depois de passarmos por muito sufoco, muito acúmulo de trabalho em fim chegou a hora de escrevermos o nosso último portfólio, de fazer hoje a última postagem no nosso diário escolar, de colocarmos a última página, de desejar boas férias aos professores e aproveitar nosso feriado tão esperado desde o primeiro mês de aula – lembrando que tudo que estou falando sobre o que acabou é só por este ano, temos um período de aproximadamente 2,7 meses para nos recuperarmos do trauma do primeiro ano e partir com tudo para o segundo – (É claro que no próximo ano nossa professora vai dar menos trabalho nésora ALINE?). Focando no assunto... Este portfólio contém tudo, tudo, absolutamente tudo o que fiz no ano – retrospectiva 2011 – pois é, listas, trabalhos, provas, portfólios, cmaps, etc. Começando por conjuntos, depois dando uma parada em intervalos (que nos seguiram pelo ano todo), funções de primeiro e segundo grau, exponencial e por último logaritmos, artigos, restinga e feira de ciências. Só por expor os itens a serem abordados já começa aquele friozinho na barriga( lá vem texto, “Is thelife” ), mas tive que superar tudo isso – chora –. Estou veryhappy por estar fazendo este portfólio, este relato, claro que não é por ser o último, capaz que seria isto (claro que é), é por que gosto muito de tudo o que aconteceu no ano. Espero que gostem de meu portfólio, desejo a todos uma boa leitura.

4. Sumário Introdução --------------------------------------------------------------------------------------------- Aplicações --------------------------------------------------------------------------------------------- Matemática em outros ambientes -------------------------------------------------------- Ano de matemática -------------------------------------------------------------------------------- Artigos Científicos -------------------------------------------------------------------------------- Museu PUCRS -------------------------------------------------------------------------------------------- Conjuntos ----------------------------------------------------------------------------------------------- Intervalos --------------------------------------------------------------------------------------------- Função injetora ------------------------------------------------------------------------------------ Função sobrejetora ----------------------------------------------------------------------------- Função Bijetora ------------------------------------------------------------------------------------ Função sem Classificação -------------------------------------------------------------------- Função de primeiro grau ----------------------------------------------------------------------- Função de segundo grau ----------------------------------------------------------------------- Função exponencial ------------------------------------------------------------------------------ Função logarítma --------------------------------------------------------------------------------- Cmaps ----------------------------------------------------------------------------------------------------- Pbworks ------------------------------------------------------------------------------------------------- Conclução ----------------------------------------------------------------------------------------------

5. Aplicações Matemáticas

6. Em nosso dia-a-dia utilizamos muita matemática e nem percebemos isso, até no nosso passei de Bike estamos andando em uma fonte de física e matemática e nem nos damos conta, mas isto será explicado melhor mais a frente. Usamos matemática para jogar um simples jogo de xadrez. Quando estamos calculando uma jogada tentamos descobrir uma lógica para nossos movimentos, tentando pegar peças de seu adversário. Tudo que estamos fazendo quando estamos calculando isso é um raciocínio lógico, o que aprendemos quando estudamos o conteúdo de funções, vimos que matemática não é só cálculos, mas também ter um raciocínio para estrepitar cada problema, foi isso que percebi quando estudamos este conteúdo, que a professora queria que nós utilizássemos o nosso raciocínio para resolver os problemas. O jogo de xadrez é como se fosse este nosso problema, só que é uma maneira mais divertida de exercitar nosso raciocínio.

7. Achei este fato que este matemático criou, muito interessante seus estudos. Este fato relatado abaixo explica uma grande aplicação matemática no xadrez. PROBLEMA DO CAVALO O caminho aberto do cavalo num tabuleiro de xadrez A solução fechada do problema do cavalo encontrada por O Turco, uma máquina falsa de jogar xadrez. O problema do cavalo, ou passeio do cavalo, é um problema matemático envolvendo o movimento da peça do cavalo no tabuleiro de xadrez. O cavalo é colocado no tabuleiro vazio e, seguindo as regras do jogo, precisa passar por todas as casas exatamente uma vez. Existem diversas soluções para o problema, dentre elas ( e são 26.534.728.821.064...) terminam numa casa da qual ele ataca a casa na qual iniciou o seu movimento. Esses caminhos são chamados de fechados pois com mais um movimento o cavalo volta para a posição inicial, formando assim um ciclo. Quando o cavalo termina numa posição em que não é possível retornar à casa inicial o caminho é dito aberto. Uma determinada solução fechada pode ser realizada iniciando-se de qualquer casa do tabuleiro, o que não é o caso de uma solução aberta.

8. Durante séculos muitas variações desse problema foram estudadas por matemáticos, incluindo Euler que em 1759 foi o primeiro a estudar cientificamente esse problema. As variações do problema são: 1-tamanhos diferentes de tabuleiro2-o número de jogadores3-a maneira com que o cavalo se move. O xadrez também se mostra muito interessante do ponto de vista matemático. Diversos problemas de natureza combinatória e topológica ligados ao xadrez, são conhecidos e foram estudados nas últimas centenas de anos. Em 1913, Ernst Zermelo utilizou estes estudos como a base de sua Teoria dos Jogos Estratégicos, que é considerada como uma das predecessoras da Teoria dos Jogos. O desafio mais importante da matemática ligada ao xadrez foi o desenvolvimento de algoritmos que possibilitassem que uma máquina pudesse jogar xadrez. A ideia de criar tal máquina data do século XVIII. Por volta do ano de 1769, o autômato xadrezistico conhecido como O Turco tornou-se famoso na Europa. Neste caso, o Turco era apenas uma fraude engenhosa e suas pretensas habilidades como exímio xadrezista eram proporcionadas por um anão, que escondido dentro de suas engrenagens, operava o braço mecânico do autômato com perfeição.

9. Estima-se que o número de posições legais de peças sobre o tabuleiro de xadrez está situado entre as potências de 10 elevado a 43 e 10 elevado a 50 com uma árvore de complexidade de aproximadamente 10 elevado a 123. A árvore de complexidade do xadrez foi determinada pela primeira vez pelo matemático norte-americano Claude Shannon, uma grandeza hoje conhecida como o Número de Shannon. É possível ter-se uma ideia aproximada da grandeza deste número sabendo-se que, como comparação, o número de átomos no Universo é estimado em 10 elevado a 79, ou seja, o número de lances possíveis excede em muito o número de átomos presentes no universo conhecido. Outros cálculos indicam que há 170 setilhões (1,7 × 10 elevado a 23) de maneiras de se fazer os dez primeiros movimentos numa partida de xadrez.

11. Matemática Em outros ambientes

12. Como nossa professora sempre diz: “Matemática esta em tudo”, então ela não poderia deixar de estar em outras disciplinas, como química, física, história, filosofia... Em história temos um bom exemplo como a contribuição dos árabes a introdução dos algarismos hindus, que ficaram conhecidos como arábicos, e o numeral zero. Além disso desenvolveram a álgebra e a trigonometria. Algarismos Hindus: Muitas pessoas sabem fazer uma ótima relação numérica, mas não sabem de onde surgiu aqueles números, saber como eles surgiram é um desafio, é realmente muito difícil. Os atuais algarismos hindu-arábicos são produto de muitos anos de história e desenvolvimento social. Os povos primitivos necessitavam de uma simbologia para representar suas transações comerciais, mas como fazer isso? Contratos, empréstimos e trocas, necessitavam ser grafados, mas não existiam símbolos convencionados para isso A partir daí, várias civilizações, como veremos a seguir, se empenharam no processo de simbolização do algarismo. Ao ler a história dos números, faça-o com bastante atenção, pois recebemos um 'presente' pronto e perfeito dos povos antigos, o qual sabemos pouquíssimo sobre seu processo histórico e, também, restritos autores abordam o tema tratado, por isso, há uma carência de bibliografias no âmbito.

13. A expansão, as trocas comerciais, e as diversas transações financeiras em sociedades primitivas, levaram antigas civilizações (cerca de 5000 anos atrás), a iniciar o processo de representação numérica. Logicamente, este início foi instável, ou seja, estes povos começaram a representar valores e quantidades de maneira arcaica, usufruindo de recursos rudimentares para sua simbolização. Entre eles citamos pedras, argila, madeira e ossos.

14. Em química podemos colocar como relação matemática o cálculo do nox de uma substância ou de um elemento da tabela periódica, a força de ionização entre os elementos é representada em um número muito pequeno. O cálculo no nox serve para conseguirmos saber qual o nome do elemento seguindo a seguinte tabela de nomenclatura: Por exemplo, se um elemento do grupo 4 no cálculo do nox tiver número 5, como o Nitrogênio, o nome dele será ácido, pois possui H à direita da fórmula formando um íon positivo e o O formando o íon negativo, Nítrico, Ácido Nítrico, ico porque com seu nox 5 sua terminação deve ter ico. O grupo 7 é um grupo diferenciado, pois ele possui além de terminações, uma expressão de começo, por isso ele se encontra destacado na tabela.

15. Em física podemos relacionar muita coisa como o cálculo de vetores, uma das matérias mais difíceis que tive no ano. Que possui um cálculo para descobrirmos a variável desconhecida. Precisamos saber as fórmulas físicas e aplicar nossos conhecimentos matemáticos para resolver, por exemplo, um problema relacionado a lançamento de projéteis. Temos que saber as fórmulas, como aplicá-las fisicamente no problema e depois aplicar nossos conhecimentos matemáticos para descobrir a resposta. Como alguns exercícios feito em matemática, mas sem o envolvimento de muita física. A diferença de usarmos os conhecimentos físicos em um cálculo deste tipo é que, na matemática normal, após a Báskara temos às vezes duas respostas uma positiva e uma negativa, mas na física quando calculamos tempo por exemplo, não podemos usar a parte negativa, pois como sabemos não existe tempo negativo.

16. Na filosofia temos filósofos que estudaram muito sobre a matemática e fizeram grandes descobertas, entre eles está Pitágoras. Pitágoras (850 a 507 A.C) nasceu na ilha de Samos da Grécia, pertencendo a uma família modesta. Foi um excelente aluno e viajou bastante enquanto novo. A sua história permanece bastante vaga até sensivelmente perto dos seus 50 anos de idade. Nesta altura, mudou-se para Itália, onde fundou uma escola que se baseava em ensinamentos de Filosofia, Religião e Matemática. Pitágoras, como ponto central dos seus ensinamentos, tinha uma visão da harmonia do universo, que se baseava nos número e nas fórmulas matemática abstratas. Assim Pitágoras desejava encontrar a "harmonia matemática" em todas as coisas. Por exemplo, ele descobriu que a soma de todos os ângulos de um triângulo era sempre igual à soma de dois ângulos retos.  Finalmente, sabias que o conhecido Teorema de Pitágoras já tinhan sido descoberto? É verdade, no entanto, ele foi a primeira pessoa que o conseguiu provar matematicamente. 

17. O Teorema  Pitágoras descobriu uma propriedade muito especial num tipo de triângulos também especial -  O triângulo retângulo, que contém um ângulo de 90º. Antes de mais, vamos dar nomes aos lados de um triângulo retângulo: Catetos são os dois lados adjacentes ao ângulo de 90º, enquanto que a hipotenusa é o lado oposto a esse mesmo ângulo, como podes ver pelas seguintes figuras: Com estas definições já serás capaz de entender o famoso Teorema de Pitágoras:  Num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos 

18. O Teorema  Ou então:

19. Ano de Matemática

20. Este ano de matemática foi muito legal, porém foi um ano de muitas adaptações, não só por parte dos alunos, mas também dos professores, que alguns ainda não tinham lidado com adolescente, mesmo assim, como os alunos os professores se adaptaram. Com isso a interação professor-aluno ficou melhor e pode ocorrer um diálogo entre todos. • Focando mais no ano de matemática, tivemos muitas coisas para fazer, muitas listas, provas, matérias novas, mas acho que tudo isso foi bom porque conseguimos aprender mais com as lista. Mais do que na parte teórica eu particularmente só consigo aprender com a parte prática. • Durante este ano algumas dificuldades foram enfrentados por mim, mas consegui superá-las. • Todos os conteúdos do ano foram legais (na verdade bem verdade – quase – todos, pois detestei logarítmos), gostei muito de conjuntos e de funções de 1º e 2º grau, para mim foram as melhores. • Os projetos integrados dos professores também foram muito legais, os artigos foram super legais, nossa feira de ciência ficou interessante com estes trabalho, tanto como os de energia como outras matérias como informática que pude ver que tinha um algoritmo em pseudo linguagem que fazia uma aplicação de matemática. • Com tudo posso concluir que o ano foi muito interessante e promoveu muito o aprendizado do aluno, com estes trabalho extras.

21. Artigos Científicos

22. Sobre os artigos científicos tenho muito a falar. • Meu primeiro artigo e o primeiro do IFRS Campus Osório, foi mas que ótimo, foi uma coisa diferente, pois nunca tinha feito algo daquele tipo. • Penso que os artigos servem para que o aluno vá em busca do conhecimento. Cada artigo é diferente, mas pelo menos o primeiro e o segundo foram de certo modo parecidos. Estes trabalhos extra classe, abordam como assuntos principais, matemática e física. • O primeiro artigo abordava como assunto a motocicleta, nossa pergunta envolvia muita matemática e física, na moto tínhamos que identificar as forças que atuavam ao fazer a curva, isto foi muito interessante, pois comecei a perceber mais que o que utilizamos e vemos diariamente envolve muita matemática e física.

23. Estas foram as perguntas do meu primeiro artigo, no qual o assunto era a motocicleta:

24. Todos os artigos que eram feitos, eram postados no Pbworks, neste falaremos mais adiante, e depois todas as duplas apresentavam ou faziam um debate com os outros sobre o mesmo, exceto o último (quarto artigo), no qual foi dito que como a resolução de todas as perguntas só teria que ser postada no pbworks, pois o tempo é muito curto e não teríamos tempo para apresentá-lo. • Nas minhas resoluções, como o professor de física nos disse, que era melhor colocar um desenho demonstrando tudo que estava sendo comentado, como o da moto, foi um jeito de se demonstrar as forças desenhando-as, assim as pessoas poderiam entender melhor o assunto, não só tendo que ler, onde pode se ficar muitas dúvidas no conteúdo, mas tendo um desenho explicando o que estava sendo dito. • Foi o que fiz no artigo da motocicleta.

28. O segundo artigo e o que achei mais legal foi o da bicicleta, no qual eu e meu colega Matheus apresentamos na restinga. • Tivemos que explicar uma pergunta na qual só envolvia física: • Faça uma pesquisa e discuta porque a bicicleta fica em pé quando está em movimento e cai quando está parada? Aproveite a pesquisa para explicar porque quando um ciclista quer virar para a direita ele somente inclina seu corpo para direita sem a necessidade de virar o guidão? Por que o movimento contra esterço não ocorre nas bicicletas? • Para responder a estas perguntas tivemos que pesquisar muito, e formular nossa resposta, tínhamos que examinar muito o que a internet fornecia para saber se era coerente com o nosso raciocínio. Nestas perguntas não tivemos necessidade de desenvolver cálculos, com isso, podemos perceber que matemática e física não envolvem só cálculos, mas também raciocínio e a busca pelo entender o que é dito. Este artigo tivemos que apresentar, mas nossa apresentação ficou muito ruim em nossa opinião. Principalmente por causa do ambiente, pois preparamos um vídeo explicando, porém tinha muita luminosidade no local e o vídeo não pode ser muito apreciado pelos alunos e muito pouco pelos professores.

30. Nossas respostas para as questões foram as seguintes:

33. O terceiro artigo científico foi muito legal, a apresentação dele foi feita na Amostra de trabalhos do IFRS; este artigo tratava de energia, para apresentar eu e meu grupo escolhemos a Biomassa, esta energia é muito controversa, pois ela é uma energia sustentável, porém um dos recursos utilizados para fabricá-la são as árvores, que se o corte não for devidamente controlado, ou seja, desmatar mas plantar uma quantidade maior que a desmatada, ela pode não respeitar seu objetivo principal que é a sustentabilidade que tem como objetivo, conservar a natureza para as gerações futuras. • Esta energia é renovável, pois é utilizado também materiais orgânicos para sua produção, como bagaço da cana, casca de arroz (também utilizado para a fabricação de bio etanol), resíduos urbanos (utilizados para fabricar o bio gás)...

34. Fizemos uma apresentação de slides para apresentar esta energia, pois não conseguimos fazer nada prático para a amostra. E utilizamos de um logo:

36. Museu PUCRS

37. Em nossa saída ao museu da PUC, vimos muitas coisas, entre elas um carro movido a energia solar, conforme movemos a alavanca com luminosidade, o carro possui uma placa que capta os raios de luminosidade e com isso onde raios vão o carro vai. Também vi uma cata vento que conforma giramos a manivela e produzimos vento o cata vento gira mais rápido, neste aparelho conseguimos perceber muitas figuras geométricas, como:

38. No museu também pude observar o gravitran, um aparelho que possui vários dutos de ferro, onde as bolinhas vão se movimentando, passando por espiral, trampolim, entre outros modos.

40. Conjuntos

41. Conjuntos Durante o trimestre aprendi sobre os conjuntos, um conteúdo muito divertido, mas com muitos detalhes. O cuidado com este conteúdo deve ser redobrado, pois se erramos um numero ou um colchetes que seja erramos um exercício inteiro. O conteúdo foi estudado no começo do trimestre, mas ele nos acompanha até hoje, não só em matemática, mas também em física. Gostei de vários exercícios sobre este conteúdo, mas selecionei os que mais que mais me chamaram a atenção para comentar:

42. Uma editora estuda a possibilidade de lançar novamente as publicações: Helena, Senhora e A Moreninha. Para isto, efetuou uma pesquisa de mercado e concluiu que em cada 1000 pessoas consultadas: 600 leram a Moreninha; 400 leram Helena; 300 leram Senhora;200 leram A Moreninha e Helena;150 leram A Moreninha e Senhora;100 leram Senhora e Helena;20 leram as três obras. Calcule: a) O número de pessoas que leu apenas uma das três obras. b) O número de pessoas que não leu nenhuma das três obras. c) O número de pessoas que leu duas ou mais obras.

43. Para resolver o exercício, basta colocar primeiramente o número de pessoas que leram os 3 livros, depois só se segue os passos fazendo os cálculos necessários para encontrar o total de pessoas que leram livros, os que não leram nenhum são os que sobram fora do conjunto. Uma dica comece sempre este tipo de exercício lendo de traz para frente e ir colocando todas as informações, isto facilita o cálculo.

44. Numa pesquisa realizada num colégio sobre o gosto musical dos alunos, foram feitas duas perguntas: Você gosta de rock? Você gota de música clássica? Após a tabulação, foram obtidos os seguintes resultados: Rock 458 Música clássica 112 Ambos 62 Nenhum 36

45. Para resolver o exercício basta começar de baixa para cima, colocando fora do conjunto quem não gosta de nenhum estilo, depois quem gosta de todos os estilos todos, e depois só fazer os cálculos para descobri quem gosta somente de Rock e quem gosta somente de Música clássica. Para descobrir quantos foram entrevistados, basta montar o “gráfico” e somar todos que gostam de um dos dois estilos com os que não gostam de nenhum.

46. Intervalos

47. Os intervalos servem por exemplo, em um gráfico de segundo grau, para dizer quando a função é crescente e quando ela é decrescente, podemos representar isso, por exemplo, Xcrescente: [1,9] e Xdecrescente: ]9,16]. Em uma reta, representamos o intervalo assim: 4 10 Nos intervalos temos, por exemplo: A: {1,2,3,4,5} B:{1,3,5,6,7} C:{0,1,2,8,9} AᴗB: {1,2,3,4,5,6,7} AᴖB:{1,3,4,5} B-C:{3,5,6,7}

48. Função Injetora

49. Função injetora: Para termos uma função injetora cada elemento de X, elemento do conjunto domínio, deve possuir um elemento distinto entre lês em Y, elemento do conjunto contra domínio, sendo que podemos ter, por exemplo, 1, este nº está presente em X, e o seu correspondente em Y também é 1.

50. Ex.: Função injetora.