Geschichte der Mathematik

1. Geschichte der Mathematik Ägyptische MATHEMATIK Marija Čuljak Mario Mijić

2. Ägyptische Zahlzeichen • Rechentechnik • Addition • Subtraktion • Multiplikation • Division • Bruchrechnung • Hieroglyphen und hieratische Schrift • Ägyptische Geometrie

3. Ägyptische Zahlzeichen

4. Die ägyptischen Ziffern

5. Ziffernsystem beruht auf additivem Prinzip: • Zur Darstellung einer bestimmten Zahl mussten Ziffern wiederholt werden • Identische Zeichen werden gruppiert

6. Rechentechnik • Additiver Charakter der ägyptischen Mathematik an verwendeten Fachwörtern und Methoden zu sehen • Bei Notation wird mit größten Zehnerpotenz begonnen

7. Rechentechnik – Addition • Fachwort für addieren: „vereinigen“ oder „hinzulegen“ • Erhält Ergebnis durch Hinschreiben der zu addierenden Zahlen und anschließendem Anpassen der Symbole für Zehnerpotenzen

8. Beispiel: 1 202 416 + 352 745 „Berechnung“ Anpassung der Zehnerpotenzen

9. Rechentechnik – Subtraktion • Fachwort für subtrahieren: „abbrechen“ oder „ergänzen“ (als Addition umschrieben) • Erhält Ergebnis durch Wegstreichen

10. Beispiel: 1 202 416 - 352 745 Entbündelung von 1 202 416: Ausrechnen der Differenz durch Wegstreichen:

11. Rechentechnik – Multiplikation • Entstehung aus Addition deutlich • Fachwort für multiplizieren: „Hinzulegen“ • Ist das gleiche wie bei Addition

12. Multiplikation mit 10 im Kopf • Bedeutet Veränderung des Individualzeichens • Einmaleins fehlt ihnen • Verdopplung ist als eigene Rechenoperation bekannt • Berechnung einer schwierigeren Aufgabe mittels Additionsschemas

13. Beispiel: 15 · 13 • Anlegen einer „Tabelle“ mit 2 Spalten • In rechte Spalte Multiplikator 15 eintragen • In linken Spalte Multiplikand 1 eintragen

14. In nachfolgenden Zeilen jeweils das doppelte der vorhergehenden eintragen, bis der errechnete Multiplikand nicht größer ist als 13

15. Markieren der Zeilen, die bei Addition der linken Spalte 13 ergeben • 1 + 4 + 8 = 13

16. Durch Addition der rechten Spalte der markierten Zeilen erhält man das gesuchte Ergebnis • Also erhält man 15 · 13 durch: • 15 + 60 + 120 = 195

17. Ist umgekehrte Multiplikation und sieht gleich aus • Wird mit zwei „Fragen“ formuliert: „Rechne mit x bis (zum) Finden (von) y“ oder „Rufe y hervor aus x“

18. Beispiel: „Rechne mit 15 bis (zum) Finden (von) 195“ [195 : 15] • Anlegen einer „Tabelle“ mit 2 Spalten • In rechte Spalte Divisor 15 eintragen • In linken Spalte 1 eintragen • In nachfolgenden Zeilen jeweils das doppelte der vorhergehenden eintragen, bis der errechnete Divisor nicht größer ist als 195

19. Markieren der Zeilen, die bei Addition der rechten Spalte 195 ergeben • 15 + 60 + 120 = 195

20. Durch Addition der linken Spalte der markierten Zeilen erhält man das gesuchte Ergebnis • Also erhält man 195 : 15 durch: • 1 + 4 + 8 = 13

21. Wenn Dividend kleiner als Divisor, muss mit Halbieren gerechnet werden • Hierzu sind Brüche erforderlich • Beispiel: 2 : 8 • Also erhält man für 2 : 8 = ¼

22. Rechentechnik – Bruchrechnung • Brüche werden wie ganze Zahlen geschrieben, aber mit Hieroglyphe „Mund“ darüber • Rechneten fast nur mit Stammbrüchen • Für ½, ⅔ und ¾ eigene Zeichen: ½ ⅔ ¾

23. Darstellung von Brüchen durch Summe von Teilbrüchen • Keine Wiederholung des selben Bruchs erlaubt • 3/5 = 1/5 + 1/5 + 1/5 keine zulässige Aufteilung des Bruches

24. Bei der Übertragung schreibt man für 1/n • Z.B. wird ⅔in dieser Schreibweise notiert

25. Addition von Stammbrüchen: • Aufgabe aus Papyrus Rhind 37 • Unter letzten 5 Stammbrüchen sind rote Hilfszahlen notiert • Hilfszahlen geben den Faktor an, mit dem die Brüche erweitert werden müssen usw.

26. Durch Addition der Hilfszahlen erhält man 72 • Somit hat man errechnet, was sich zu kürzen lässt • Zusammen mit den ersten drei Brüchen kann man leicht das Gesamtergebnis 1 berechnen

27. Subtraktion von Stammbrüchen • Aufgabe aus Papyrus Rhind 21 • Man errechnet das Ergebnis leicht, indem man 15 - 11 = 4 bestimmt • Somit ergibt • Dies können die Ägypter jedoch erst nach der Division von 4 : 15 notieren

28. „Rechne mit 15 bis du 4 findest“ • Zuerst wird 1 ½ als von 15 bestimmt

29. Anschließend ist dann 3 von 15 • Nun fehlt noch 1 bis zum gewünschten Ergebnis, also

30. Somit muss die dritte und die vierte Zeile ergänzt werden, denn 3 + 1 = 4 • Die gesuchte Notation von ist also:

31. Hieroglyphen und hieratische Schrift • Hieratische Schrift ist Vereinfachung der Hieroglyphen • Durch Schematisierung und Reduzierung auf das Wesentliche entstanden • Charakteristische Merkmale hinzugefügt, um Verwechselungen zu vermeiden

33. Mit diesem System können Zahlen mit wenigen Symbolen dargestellt werden. So lässt sich die Zahl 9999 mit 4 hieratischen Zahlzeichen anstatt mit 36 Hieroglyphen schreiben. • Die Schreibweise mit Hieroglyphen und die hieratische Schreibweise von Zahlen benutzten die alten Ägypter 2000 Jahre lang nebeneinander. Die Hieroglyphen wurden in Stein gemeiselt und die Hieratische Schrift verwendete man um auf Papyrus zu schreiben.

35. Ägyptische Geometrie

36. Papyrus Rhind Ausschnitt aus dem ägyptischen Rhind-Papyrus

37. Der Papyrus Rhind ist ein altägyptischer Papyrus zu mathematischen Themen, die wir heute als Algebra, Geometrie, Trigonometrie und Bruchrechnung bezeichnen. Er ist eine der wichtigsten Quellen für unser Wissen über die Mathematik der alten Ägypter. • Der Papyrus ist benannt nach dem Schotten Alexander Henry Rhind, der ihn 1858 in Luxor kaufte. Die Rolle wurde bei illegalen Grabungen beim Ramesseum entdeckt.

38. Viel von der Mathematik der Alten Ägypter zur Zeit der Pyramiden kennen wir aus zwei ausgegrabenen Papyrus-Rollen, dem Papyrus RHIND und den Papyrus MOSKAU. Der Papyrus MOSKAU heißt nach seinem Aufbewahrungsort, dem Museum der Schönen Künste in Moskau. • Der Papyrus ist in hieratischer Schrift geschrieben und die Rolle war ursprünglich 5,40 m lang und 32 cm breit. Er hat sogar einen richtigen Buchtitel:"Genaues Rechnen. Einführung in die Kenntnis aller existierenden Gegenstände und aller dunklen Geheimnisse"

39. Eine Tabelle, die für die ungeraden Zahlen n von 5 bis 101 die Darstellung von 2/n als Summe von Stammbrüchen darstellt, nimmt etwa ein Drittel des Papyrus ein. • Der Papyrus RHIND enthält 84 Aufgaben sowie eine Tafel der Divisionen 2 : n. • Es finden sich auch sehr viele geometrische Aufgaben z.B. Flächenberechnungen von Dreiecken, Kreisen und Rechtecken

40. Aufgabe 24 im Papyrus RHIND • Ein Haufen und sein Siebtel sind 19 • eines der Grundprobleme in der Mathematik • wie kann aus gegebenen bekannten Größen auf gesuchte unbekannte Größen geschlossen werden? • In heutiger Schreibweise bedeutet das y = 7x x = (1/7)y 7x + 1x = 8x 8x = 19 x = 19/8

41. Die näherungsweise Berechnung der Zahl Pi

42. Veranschaulichung der näherungsweisen Berechnung von π durch Ahmes. In der 48. Aufgabenstellung beschreibt Ahmes, wie er die Fläche eines Kreises berechnet, der einem Quadrat mit einer Seitenlänge von 9 Einheiten eingeschrieben ist. Er liefert damit eine Näherung der Zahl π. Von Verfasser und Schreiber Ahmose (auch Ahmes)

43. Dazu dreiteilt Ahmes zuerst die Seiten des Quadrats und erhält damit neun kleinere Quadrate. Dann schneidet er von den vier Eckzellen jeweils die Hälfte weg und erhält damit ein unregelmäßiges Achteck • Dieses Achteck (mit der Gesamtfläche von 7 kleinen Quadraten zu je 32 Flächeneinheiten) besitzt den Flächeninhalt von 63 Quadrateinheiten und ist - nach Ahmes Meinung - etwas kleiner als der Flächeninhalt des Kreises. • Der Kreis besitzt somit den Flächeninhalt von 64 (64 = 82) Quadrateinheiten

44. Somit ist die Fläche eines Kreises mit dem Durchmesser 9 gleich der Fläche eines Quadrats mit der Seitenlänge 8. Daraus ergibt sich für π: 4,52π ~ 82 π ~ 82/4,52 ~ 3,16049

45. Aplaus bitte!!

46. Fragen …???

47. Ende Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit