1. 第三章 集合 3.1 集合的概念和表示法 一 集合的概念

2. 集合就是把一些对象汇集在一起组成的一个整体 ，而这些对象称为集合的元素。 例如：集合 列举的方法 ， 集合 抽象的方法 。 • 若 x是集合 A的元素,则称 x属于A,记为 • 若 x不是集合A 的元素, 则称 x不属于A,记

3. 集合的元素是确定的，即元素要么属于该集合，要么不属于该集合，二者必居其一。集合的元素是确定的，即元素要么属于该集合，要么不属于该集合，二者必居其一。 • 集合的元素是各不相同的，即无重复的元素。 • 集合的元素是无顺序的。 • 集合的元素是抽象的。

4. 罗素悖论 在康托的集合论中可以看出一个结论，他认为，任给一个性质，都有一个由满足该性质的对象所组成的集合。这个结论通常又被称为康托集合论的抽象公理。 问题就出在抽象公理上。1903年,英国人罗素发现，如果用“不是自身的元素”这个性质构成集合，那么该集合就会有不确定的元素，即无法确定某个元素是否属于该集合，这就是著名的罗素悖论。

5. 例如：(罗素悖论)设 S是所有不以自身为元素的集合所组成的集合，即 则有 一方面，若 ，则由S的定义可得 矛盾 另一方面，若 ，则同样由S 的定义可知 也矛盾。 (理发师悖论)一个村镇的理发师在广告中宣称他给且只给镇里所有自己不替自己理发的人理发。一天他产生了困惑，他是否应当给自己理发？ 今后，用 表示集合时，若不存在满足性质 的元素所组成的集合，则该集合为空集合。

6. 我们约定 : 表示自然数集合； 表示整数集合； 表示有理数集合； 表示实数集合； 表示复数集合. • 用 表示全集，一般全集是具体的已知集合。 • 用 表示没有任何元素的集合，即空集 。

7. 二 集合的关系 定义3.1.2 设A和B是两个集合，如果A和B由相同的元素组成，则称A和B相等，记为A=B。 例如：设A={1, 2, 3}, B={x|x2<12, x∈N }, 则A=B。 注意：{x} ≠ {{x}} 定义3.1.3设A和B是两个集合，如果A的每个元素都是B的元素，则称A是B的子集合，记为A⊆B 例如：设A={1, 2, 3}, B={1, 2},则B是A的子集。

8. 3.3有限集合中元素的计数与排列组合 一 基数与加法原理 定义3.3.1设A是一个集合，如果A由有限个元素组成，则称A为有限集合；集合A中元素的个数称为A的基数，记为|A|。 定理3.3.1（加法原理）设A和B是有限集合，则 |A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|

9. 证 设A和B是有限集合，分二种情形:(1) 则 中的元素或者在A里或者在B里，所以 |A∪B|=|A|+|B| (2) 于是

10. 设是有限集合，则 |A∪B∪C|=|A|+|B|+|C| -|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C| 例3.3.2某个公司需要电脑维护人员25名，需要电脑编程人员40名，并且希望他们中有10个人既能维护又能编程，问这家公司需要雇佣多少人员？ 解 设A为电脑维护人员的集合，B为电脑编程人员的集合， 则要雇佣|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|=25+40-10=55人

11. 二 乘法原理与排列组合 定理3.3.3（乘法原理）如果一个过程可以分成两个阶段进行，第一阶段有m种不同的做法，第二阶段有n种不同的做法，而且第一阶段的任一种做法与第二阶段任一种做法可以配成整个过程的一种做法，则整个过程有mn种不用的做法。 证. 由于第一个阶段每一种做法都将产生整个过程一种做法，而对于第一阶段 m种做法的每一种我们都有n种不同的做法完成第二阶段，所以整个过程有mn种不用的做法。

12. 例3.3.3设 S由 n个元素组成的集合，求|P(S)|。 解 设S={ x1, x2 ,···, xn }，对于，定义A的特征是函数为： 设t1t2···tn是一个字符串, T={t1t2···tn| ti=0 或 1}根据乘法原理知，|T|= 2n。 对于P(S)中的元素A，用T中元素 与之对应。反之对于T中元素t1t2···tn，用P(S)中的元素 与之对应，容易验证对于t1t2···tn所对应的A有 = t1t2···tn。所以P(S)中的元素与T中的元素是一一对应的，所以|P(S)|=|T|= 2n。