第 13 章静定结构的位移计算

第13章静定结构的位移计算 第1节概述第2节梁的挠曲线方程第3节单位荷载法第4节图乘法返回上一页下一页

第1节概述 静定结构的位移计算是土木工程力学的一个重要内容，也是超静定结构内力分析的基础。学习静定结构位移计算的目的有两个：一是验算结构的刚度；另一个是为超静定结构的内力计算提供计算方法。荷载作用，温度变化，支座移动以及制造误差等因素，都会使结构产生变形，于是结构上各点的位置也将随之改变，这种位置的改变称为位移。上一页返回下一页

结构的位移有两种：即截面的移动和截面的转动。截面的移动称为线位移，如B截面形心沿某方向移动到B'点， 称为B点的线位移，用B表示。 B又可以用两个相互垂直的分量来表示，如BH和BV，它们分别称为B点的水平位移和竖向位移。截面的转动称为角位移。如B截面相对原来方向转过的角度B，就是B截面的角位移。返回上一页下一页

线位移 水平线位移竖向线位移角位移 B A B B BH BV F B B B B' BV B B' BH 返回上一页下一页

第2节梁的挠曲线方程 梁在外力作用下将产生弯曲变形，如果弯曲变形太大，就会影响结构的正常使用。例如楼面梁变形过大，会使顶棚抹灰开裂或脱落；厂房吊车梁变形过大，会影响吊车的正常行驶等等。因此，必须对梁的变形进行研究，保证梁的正常使用。上一页返回下一页

FP B  x A w B' 挠曲线 w  挠度一、叠加法求梁的变形 1. 梁的变形——挠度和转角梁AB的左端点A为坐标原点，以梁的轴线为x轴，竖直向下为w轴。忽略梁的水平线位移，可用下面两个位移量来描述梁的变形转角（1）挠度横截面形心的竖向线位移称为该截面的挠度，用w（y ）表示，向下为正，其单位与长度单位一致。（2）转角横截面相对于变形前的位置所转过的角度称为该截面的转角，用表示，以顺时针转动为正，其单位是弧度（rad）。返回上一页下一页

挠度 FP B  x A w B' 转角挠曲线 w  2. 梁的挠曲线梁发生弯曲变形后，梁的轴线变成一条连续光滑的平面曲线，称为梁的挠曲线，或叫弹性曲线，用方程表示为 w=f(x) (7-13a) 称为梁的挠曲线方程。在小变形假设的前提下，可以导出 (7-13b) 它表明，挠曲线上任一点处切线的斜率即是该点处横截面的转角，上式称为转角方程。返回上一页下一页

挠度 FP B  x A w B' 转角挠曲线 w  3. 挠曲近似微分方程根据前面已导出的梁在纯弯曲时的曲率公式和高等数学知识，可以导出如下微分方程 (7-14) 上式称为梁的挠曲近似微分方程。其适用范围是：（1）弹性范围；（2）小变形。式7-14是计算梁变形的基本公式。求解这个微分方程，可以得到梁的挠曲线方程，从而可求得梁任一横截面的挠度和转角。表（7-2）给出了梁在简单荷载作用下的挠度和转角。返回上一页下一页

4．叠加法 在小变形弹性范围内，梁的转角和挠度与荷载成线性关系，因此可采用叠加法来计算梁的变形，即先根据表计算每一种荷载单独作用时所引起的梁的转角和挠度，然后再把它们的代数和相加，得到所有荷载共同作用下的转角和挠度。返回上一页下一页

q F x B A wB l w F BF B A wBF q B Bq A wBq 先将梁上的荷载分为集中荷载和均布荷载单独作用的情况。图示悬臂梁在均布荷载和集中荷载共同作用下，其中F=ql。由表查得简支梁在集中荷载和均布荷载单独作用下，B截面的挠度和转角分别为 = + 将上述结果代数相加，即得在两种荷载共同作用下的挠度和转角：（↓）返回上一页下一页

简支梁在两个集中荷载共同作用下，某点所产生的转角或挠度应等于分别单独作用下所产生的转角或挠度之和，而分别单独作用下所产生的转角或挠度可以从表7-2分别查出。如欲求A截面的转角，首先查表7-2得F1作用下A截面所产生的转角为 F2 F1 A B l/4 l/4 l F1 A B F2 A B A = A1 + F2作用下A截面所产生的转角为 A2 共同作用下A截面所产生的转角为返回上一页下一页

二、梁的刚度校核 如果梁的变形过大，即使强度满足要求，也不能正常工作。例如房屋中的楼面板或梁变形过大，会使抹灰出现裂缝；厂房中的吊车梁变形过大，会影响吊车的运行，等等。因此对有些刚度要求高的构件不但要进行强度计算，还要进行刚度计算。梁的刚度条件为 wmax≤[w] max≤[] 式中，wmax、max为梁的最大挠度和最大转角。在土建工程中一般只对挠度进行进行刚度计算，许用挠度[w]通常限制在范围内，l为梁的跨长。返回上一页下一页

F=10kN q=1.5kN/m A B C z 4.5m 4.5m y No28b 例6 在图示示简支梁，采用No28b号工字钢制成。已知。试校核梁的刚度。解 1）由叠加法计算梁的最大挠度 w 由型钢表查得：Iz=7480cm4 查表7-2可知，在F单独作用下，梁的最大挠度发生在跨中，其值为返回上一页下一页

F=10kN q=1.5kN/m A B C z 4.5m 4.5m y No28b 在q单独作用下，梁的最大挠度仍发生在跨中，其值为则梁的最大挠度为则梁的最大挠度为 2）刚度校核该梁满足刚度条件返回上一页下一页

三、提高梁承载能力的措施 在设计梁时，既要保证梁在荷载作用下能安全可靠的工作，又要充分利用材料，降低造价，减轻自重。梁的承载能力主要取决于梁的强度和刚度。土建工程中通常采用以下措施，提高梁承载的能力。 1．选择优质的材料随着材料技术的日新月异的变化，不断有新型的建筑材料出现，优质的材料可以有较高的极限应力b和较大的弹性模量E，这样梁的强度和刚度都可以有较大的提高。选用复合材料，根据构件应力的分布情况和材料的特性，在不同的部位选用合适的材料，尤其是很多装饰材料选用了复合材料不但提高了承载能力，节约了贵重材料，而且提高了构件的美观和耐用效果。返回上一页下一页

三、提高梁承载能力的措施 1．选择优质的材料 2．选择合理的截面形状无论是梁的最大应力还是变形,它们的大小都是和截面对中性轴的惯性矩Iz或抗弯截面系数Wz成反比，在前面已经讨论过在保持截面面积不变的前提下应选择惯性矩Iz或抗弯截面系数Wz大的截面形状，可以减小最大正应力的数值，以提高梁的强度。对于梁的刚度也是一样，由于很多优质材料如钢材、铝合金等的极限应力虽然差别很大，但它们的弹性模量E却十分接近，所以在保持截面面积不变的前提下选择惯性矩Iz大的截面形状，是提高梁刚度的最佳方法之一。返回上一页下一页

三、提高梁承载能力的措施 1．选择优质的材料 2．选择合理的截面形状 3．合理布置梁的支座和荷载梁的最大正应力max和最大挠度wmax均和梁的弯矩M值成对应关系，而梁的最大弯矩Mmax又与梁的跨度以及荷载的分布情况有关。砖堆放在脚手板上的两种情况。返回上一页下一页

F=ql F=ql q A B A A B B C C l/2 l/2 l l/2 l/4 l/4 + + + ql2/8 ql2/8 ql2/4 M图 M图 M图最大的弯矩值Mmax分别为ql2/4、ql2/8、ql2/8，比值为1：1/2：1/2 最大的挠度wmax分别为8ql4/384EI、5ql4/384EI、7ql4/384EI，比值为1：5/8：7/8。返回上一页下一页

q q A B B A q 0.5l 0.5l 0.6l 0.2l 0.2l A B ql2/32 ql2/50 ql2/50 l ql2/64 ql2/64 ql2/40 ql2/8 M图最大的弯矩值Mmax ql2/8、ql2/40、ql2/32 比值为 1：0.2：0.25 最大的挠度wmax 13.02×10-3ql4/EI、1.238×10-3ql4/EI、0.3255×10-3ql4/EI 比值约为 1：0.095：0.025 返回上一页下一页

三、提高梁承载能力的措施 F 1．选择优质的材料 2．选择合理的截面形状 3．合理布置梁的支座和荷载 4．采用变截面梁根据梁弯矩分布的情况，在弯矩较大处采用较大的截面，在弯矩较小处采用较小的截面。若使梁的各截面上的最大正应力都恰好等于材料的许用应力，这样的梁称为等强度梁。从强度的观点看，等强度梁是理想的，但制造起来比较困难，因此在工程上常采用形状较简单而接近等强度梁的变截面梁。例如在房屋建筑中的阳台及雨蓬挑梁便是变截面梁的典型实例。返回上一页下一页

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