Els nombres enters

1. Els nombres enters

2. ÍNDEX Els nombres enters Descomposició d’un enter en producte de nombres primers Màxim comú divisor Mínim comú múltiple Aplicacions: Un exemple

3. Els nombres enters El primer grup de nombres que se suposa que va inventar l’home, en la seva necessitat del dia a dia, varen ser els nombres enters, és a dir, els que necessitem per comptar. 1, 2, 3, 4, ... Més concretament, aquests nombres són el conjunt de nombres naturals, representats com Amb el temps, van aprendre a sumar, y després, com és normal, la operació contrària, la resta. Per a que tot quadrés, es va haver de fer més gran aquest conjunt. Per una banda, es va haver d’introduir el 0, doncs 4-4=0. I per saber si deixem quelcom a deure, es varen incloure finalment, els nombres negatius, doncs així podem dir que si tenim 5, i el banc ens cobra 10, deixarem pendent de pagar 5, i escriurem que tenim un saldo de -5, fins que tornem a ingressar diners al banc, 20 per exemple .... 5-10=-5 -5+20=+15=15

4. Els nombres enters Diferenciem en aquest exemple els nombres positius i els nombres negatius, a banda del 0, que ni és positiu ni és negatiu. 5-10=-5 -5+20=+15=15 Observem també, que si un nombre és positiu, no posem el signe de positiu, ja el donem per entès. Usualment, en matemàtiques, aquest conjunt s’anomena el conjunt dels nombres enters, i es representa per una zeta grega: Els enters es poden representar com punts equidistants sobre una recta, que s’estenen cap a l’infinit a partir d’un punt, el 0; els nombres positius cap a la dretai els negatius cap a l’esquerra.

5. Els nombres enters • En aquest grup de nombres diferenciem dos conjunts: • Un conjunt que no es pot expressar com a producte d’altres • Els altres, que sí es poden escriure com a producte de com a mínim dos nombres • El primer conjunt els anomenarem nombres primers i el segon nombres compostos. Observem que diem conjunt, no grup. Ja explicarem perquè. • Fem un parell d’exemples de cadascun d’aquests conjunts: • Nombres primers: • - 7 • No trobem cap parell de nombres que multiplicats donin 7 • -71 • No trobem cap parell de nombres que multiplicats donin 71 • Nombres compostos • - 8 • 8 = 4·2 • - 24 • 24 = 6·4

6. Els nombres enters Per esbrinar si un nombre és primer o compost fem la descomposició en nombres primers. Per a aquest procés, que pot ser molt llarg si el nombre a estudiar es molt gran, tenim certes regles de divisibilitat. Diem que un nombre és divisible per un altre si al fer la divisió ens dóna com a residu 0. Exemple: 24 és divisible per 2? Sí, doncs: 24 és divisible per 7? No, doncs:

7. Els nombres enters Per no haver de fer la divisió en cada cas, sabem de certes condicions de divisibilitat: Divisibilitat per 2: Un nombre és divisible per 2 si aquest és parell, és a dir, si l’última xifra del nombre és parell. 28 És divisible per 2, doncs acaba en 8, que és parell. 37 No és divisible per 2, doncs acaba en 7, que és senar. Divisibilitat per 3: Un nombre és divisible per 3 si la suma de totes les seves xifres és 3 o un múltiple de 3. Això ens dóna un procés repetitiu: 879 8+7+9=24 2+4=6 Múltiple de 3 Així, 879 és divisible per 3. 2156 2+1+5+6=14 1+4=5 No múltiple de 3 Així, 2156 no és divisible per 3.

8. Els nombres enters Divisibilitat per 4: Un nombre és divisible per 4 si ho són les seves dues últimes xifres. 83540 És divisible per 4, doncs 40 entre 4 és 10. 72135 No és divisible per 4, doncs 35 no és pot dividir per 4. Divisibilitat per 5: Aquesta es tan fàcil com la regla del 2. Un nombre es pot dividir per 5 si la seva última xifra o és un 0 o és un 5. 83540 És divisible per 5, doncs acaba en 0. 68942 No és divisible per 5, doncs acaba en 2. Divisibilitat per 6: Aquí desviem la pregunta: Un nombre és divisible per 6 quan ho és per a 2 i per a 3. És a dir, quan és parell i la suma de les seves xifres és un múltiple de 3.

9. Els nombres enters Divisibilitat per 7: Aquesta hem de treballar una mica més per recordar-la. Del nombre original fem dos de nous, el mateix nombre sense l’última xifra i l’última xifra per separat. Per exemple, de 105, traiem el 10 i el 5. Ara hem de restar del primer, el doble del segon. Si ens dóna un múltiple de 7 o un 0, el nombre serà divisible per 7. En l’exemple, 105 10 i 5 10-2·5=10-10=0 Per tant, és divisible per 7 2261 226 i 1 226-2·1=224 Repetim el procés: 224 22 i 4 22-2·4=14 224 divisible per 7 2261 divisible per 7 en ser-ho 224 Divisibilitat per 9: Aquesta és semblant a la regla del 3. Un nombre és divisible per 9 quan la suma de les seves xifres és un múltiple de 9. 81 8+1=9 Divisible per 9, així, 81 és divisible per 9 3663 3+6+6+3=18 Divisible per 9

10. Els nombres enters Divisibilitat per 10: Un nombre és divisible per 10 quan acaba en 0. 23850 És divisible per 10 73091 No és divisible per 10 Divisibilitat per 11: Del nombre inicial hem de treure dos diferents: una que és la suma de les xifres parells i un altre que és la suma de les xifres imparelles. Si la seva resta dóna 0 o un múltiple d’11, aquest nombre serà divisible per 11. 132 3=3 1+2=3 3-3=0 132 és divisible per 11 908160 6+8+9=23 0+1+0=1 23-1=22 22 és divisible per 11, per tant, 908160 és divisible per 11

11. Descomposició d’un enter en producte de nombres primers Amb les propietats anteriors, podem treballar números més grans, per decidir si són nombres primers o compostos. Per això, expliquem un mètode de descomposició de qualsevol nombre enter positiu en producte d’altres més petits. Ho farem mitjançant dos exemples. Descomposem els nombres 420 i 17325. Amb el 420, el primer que hem de fer és escriure el nombre i a la dreta dibuixar una ratlla que baixi cap a baix:

12. Descomposició d’un enter en producte de nombres primers Una vegada ho tenim esquematitzat, mirem per quin nombre més petit el podem dividir, amb les condicions que hem vist en el primer punt. En aquest cas, veiem que el nombre 420 acaba en 0, i per tant compleix la condició de divisibilitat del 2. Ho dividim per dos, que l’escrivim a la dreta de la ratlla, i el resultat el posem a sota del 420:

13. Descomposició d’un enter en producte de nombres primers Una vegada ho tenim esquematitzat, mirem per quin nombre més petit el podem dividir, amb les condicions que hem vist en el primer punt. En aquest cas, veiem que el nombre 420 acaba en 0, i per tant compleix la condició de divisibilitat del 2. Ho dividim per dos, que l’escrivim a la dreta de la ratlla, i el resultat el posem a sota del 420:

14. Descomposició d’un enter en producte de nombres primers Una vegada ho tenim esquematitzat, mirem per quin nombre més petit el podem dividir, amb les condicions que hem vist en el primer punt. En aquest cas, veiem que el nombre 420 acaba en 0, i per tant compleix la condició de divisibilitat del 2. Ho dividim per dos, que l’escrivim a la dreta de la ratlla, i el resultat el posem a sota del 420:

15. Descomposició d’un enter en producte de nombres primers Continuem, ara però, amb el resultat de la divisió. 210 també acaba en 0, per tant, el podem tornar a dividir per 2:

16. Descomposició d’un enter en producte de nombres primers Continuem, ara però, amb el resultat de la divisió. 210 també acaba en 0, per tant, el podem tornar a dividir per 2:

17. Descomposició d’un enter en producte de nombres primers Continuem, ara però, amb el resultat de la divisió. 210 també acaba en 0, per tant, el podem tornar a dividir per 2:

18. Descomposició d’un enter en producte de nombres primers En aquest cas, el quocient ens queda 105, que és imparell, per tant no podem continuar dividint per 2. Passem al següent número, del 2 passem al 3. Condició de divisibilitat del 3: les xifres han de sumar un múltiple de 3: 1+0+5=6 Així, 105 és divisible per 3. Ho calculem:

19. Descomposició d’un enter en producte de nombres primers En aquest cas, el quocient ens queda 105, que és imparell, per tant no podem continuar dividint per 2. Passem al següent número, del 2 passem al 3. Condició de divisibilitat del 3: les xifres han de sumar un múltiple de 3: 1+0+5=6 Així, 105 és divisible per 3. Ho calculem:

20. Descomposició d’un enter en producte de nombres primers Ara tenim un 35. No és parell, la suma de 3+5=8 no és múltiple de 3, si no és divisible per 2 tampoc ho és per 4, el 5. Condició de divisibilitat del 5, que acabi en 0 o en 5. 35 acaba en 5, divisible:

21. Descomposició d’un enter en producte de nombres primers Ara tenim un 35. No és parell, la suma de 3+5=8 no és múltiple de 3, si no és divisible per 2 tampoc ho és per 4, el 5. Condició de divisibilitat del 5, que acabi en 0 o en 5. 35 acaba en 5, divisible:

22. Descomposició d’un enter en producte de nombres primers Finalment, 7 és un nombre primer, per tant, només el podem dividir per 7. Acabem el procés. Doncs:

23. Descomposició d’un enter en producte de nombres primers Finalment, 7 és un nombre primer, per tant, només el podem dividir per 7. Acabem el procés. Doncs:

24. Descomposició d’un enter en producte de nombres primers Hem acabat, doncs tenim un 1 a l’esquerra. Amb això, hem deduït que: 420=2·2·3·5·7 Si volem assegurar-nos, fem servir la calculadora. Però si no hem comès cap error, ha de ser així. Per arreglar una miqueta el resultat podem ajuntar tots els nombres que estiguin repetits en les seves respectives potències: 420=22·3·5·7

25. Descomposició d’un enter en producte de nombres primers La segona descomposició, del nombre 17325 la deixem com a exercici.

26. Descomposició d’un enter en producte de nombres primers La segona descomposició, del nombre 17325 la deixem com a exercici.

27. Màxim comú divisor Imaginem que tenim dos nombres enters qualsevol. Una pregunta que ens podem fer és quin és el nombre més gran que divideix tots dos. El primer pas que hem de fer és buscar la descomposició en factors primers de cadascun dels dos nombres. Una vegada les tenim, hem de buscar els nombres que estan a les dues descomposicions, i en cas que estiguin elevats a potències diferents, hem de triar la més petita. Com a exemple, trobem el m.c.d.(12, 30) 36=22·32 30=2·3·5 m.c.d.(12, 30)=2·3=6 Una aplicació del m.c.d. potser el simplificar fraccions, en aquest cas,

28. Mínim comú múltiple Imaginem que tenim dos nombres enters qualsevol. Una pregunta que ens podem fer és quin és el nombre més petit que és múltiple de tots dos. Tornem a la descomposició en nombres primers, com en l’exemple anterior. Ara, però, en comptes d’agafar els nombres que coincideixen en tots dos, en prenem tots, i en cas que tinguin potències, agafem la més gran. 36=22·32 30=2·3·5 m.c.m.(12, 30)=22·32·5=180

29. Mínim comú múltiple Un exemple d’aplicació d’aquest m.c.m. és quan sumem dues fraccions: En aquests casos és millor pensar en casos reals, per exemple, en pastissos. Estem sumant parts de pastissos tallats de forma diferent:

30. Mínim comú múltiple Així, el que hem de fer, com a primer pas, es saber en quantes parts hem de tallar els pastissos, per a que quedin iguals, però que hem d’aprofitar els talls ja fets. Per això, la manera més fàcil és buscar els múltiples de tots dos denominadors: En aquest cas, el nombre més petit que coincideix en els dos conjunts és el 6. m.c.d.(2,3)=6

31. Mínim comú múltiple Ara toca tallar els pastissos en 6 parts iguals, i mirem quants sisens tenim de cada pastís: Estem buscant fraccions equivalents que tinguin el mateix denominador i que ens permeten realitzar la suma de les dues fraccions.

32. Mínim comú múltiple Ara toca tallar els pastissos en 6 parts iguals, i mirem quants sisens tenim de cada pastís: Estem buscant fraccions equivalents que tinguin el mateix denominador i que ens permeten realitzar la suma de les dues fraccions.

33. Aplicacions: Un exemple • Tenim dues bosses, una amb 120 bombons i una altre amb 150 caramels. Volem fer tantes bosses com sigui possible, sempre i quan no ens sobri cap. • Quantes bosses podem fer com a màxim amb aquesta condició? • Quants bombons i quants caramels tindrà cada bossa?

34. Aplicacions: Un exemple Fem un petit dibuix amb les dues bosses: Bombons Caramels

35. Aplicacions: Un exemple Mirem ara en quantes bosses podem repartir els bombons. Bombons Descomposició en nombres primers de 120:

36. Aplicacions: Un exemple Mirem ara en quantes bosses podem repartir els bombons. Bombons Així, 120=23·3·5 Busquem tots els divisors de 120: Comencen per les potencies de 2: 20=1, 21=2, 22=4, 23=8 Ara aquestes, les multipliquem per 3: 3, 6, 12, 24 Per 5: 5, 10, 20, 40 I, finalment, per 15=3·5: 15, 30, 60, 120 Així hem trobat tots els divisors de 120, que són els bombons per bossa que podem posar. Ordenem-los: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120

37. Aplicacions: Un exemple Mirem ara en quantes bosses podem repartir els bombons. Bombons Podem fer, doncs, la següents distribució:

38. Aplicacions: Un exemple Fem el mateix amb els caramels: Caramels Descomposició en nombres primers de 150:

39. Aplicacions: Un exemple Fem el mateix amb els caramels: Caramels Així, 150=2·3·52 Busquem tots els divisors de 150: Comencen per les potencies de 5: 50=1, 51=5, 52=25 Ara aquestes, les multipliquem per 2: 2, 10, 50 Per 3: 3, 15, 75 I, finalment, per 6=2·3: 6, 30, 150 Així hem trobat tots els divisors de 150, que són els caramels per bossa que podem posar. Ordenem-los: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150

40. Aplicacions: Un exemple Mirem ara en quantes bosses podem repartir els bombons. Caramels Podem fer, doncs, la següents distribució:

41. Aplicacions: Un exemple Posem les dues taules juntes i mirem les possibilitats de tenir les mateixes bosses:

42. Aplicacions: Un exemple Posem les dues taules juntes i mirem les possibilitats de tenir les mateixes bosses:

43. Aplicacions: Un exemple Si observem la taula, com l’enunciat ens diu que volem fer les màximes bosses possibles, el nombre més alt de bosses, divisible per 120 i per 150 és 30, el m.c.d.(120, 150). I, a més, podem dir que cada bossa tindrà exactament 4 bombons i 5 caramels.