450 likes | 781 Vues
Marcin Bogusiak Paweł Pilewski. Modelowanie systemów - wiedza eksperymentalna (identyfikacja systemów) . Plan wykładu. Co to jest identyfikacja systemu? Wiedza eksperymentalna. Określenie klasy modelu. Określenie parametrów modelu. Modelowanie systemu w oparciu o wiedzę eksperymentalną.
E N D
Marcin BogusiakPaweł Pilewski Modelowanie systemów - wiedza eksperymentalna (identyfikacja systemów)
Plan wykładu Co to jest identyfikacja systemu? Wiedza eksperymentalna. Określenie klasy modelu. Określenie parametrów modelu. Modelowanie systemu w oparciu o wiedzę eksperymentalną. Wskaźnik jakości. Przykład praktyczny. Przykład wyznaczenia modelu obiektu. Algorytm identyfikacji - przykład. Główne problemy, które możemy napotkać. 2
Co to jest identyfikacja systemu? • Identyfikacja systemu - to wyznaczanie modelu matematycznego systemu na podstawie wiedzy o jego zachowaniu (wiedza eksperta, wiedza eksperymentalna) 3
Wiedza eksperymentalna • Wiedza eksperymentalna - wiedza o obiekcie (systemie) uzyskana na podstawie szeregu przeprowadzonych obserwacji i pomiarów. 4
Określenie klasy modelu • Wyniki szeregu przeprowadzonych eksperymentów dają możliwość określenia klasy modelu. Na poniższych wykresach prezentowane są przykładowe klasy wielomianowe. 5
Określenie parametru modelu • Załóżmy, że wybraliśy klasę modeli liniowych, zatem szukamy parametru "α" • Parametr ten wyznaczamy w oparciu o wiedzę eksperymentalną 6
Określenie parametru modelu - cd • Typowy oparty jest o metodę najmniejszych kwadratów. • Jest to jedna z metod pozwalających wyznaczyć parametry modelu, gwarantująca wynik o najmniejszej sumie kwadratów błędów. • Przyjmijmy wskaźnik modelu: suma różnic kwadratów odległości prognozowanych i obserwowanych wielkości wyjścia dla ustalonych wejść. 7
Określenie parametru modelu - cd • Zatem z rodziny prostych wybieramy tę prostą o parametrze α*, która ma najlepszy wskaźnik. • Który wskaźnik jest najlepszy? - ten o najmniejszej wartości Q 8
Modelowanie systemu w opaciuo wiedzę eksperymentalną - SZUKANE • Wybór najlepszego modelu w klasie • Dobór parametru modelu w taki sposób, aby wskaźnik jakości identyfikacji był najlepszy. 9
Modelowanie systemu w opaciuo wiedzę eksperymentalną - DANE • Wiedza eksperymentalna • Klasa modelu, np. • Wskaźnik jakości identyfikacji 10
Wskaźnik jakości • Porównywanie wartości rzeczywistych (yrz) z prognozowalnymi wartościami z modelu (ym). 11
Przykład praktyczny - model czasowy • Wyznaczenie modelu czasowego dla układu równoległych realizatorów wykonujących określone zadania 12
Przykład praktyczny - model kosztowy • Wyznaczenie modelu kosztowego dla układu równoległych realizatorów wykonujących określone zadania 13
Przykład wyznaczenia modelu obiektu • Dane: wyniki z przeprowadzonego eksperymentu, klasa modelu i wskaźnik jakości (kryterium). 14
Przykład wyznaczenia modelu obiektu • Na początku rozważmy trzy możliwe parametry. 15
Przykład wyznaczenia modelu obiektu • Otrzymane dla modelu y=1u wyniki zapisujemy w tabeli. 16
Przykład wyznaczenia modelu obiektu • Dla modelu y=2u 17
Przykład wyznaczenia modelu obiektu • Dla modelu y=1,5u 18
Przykład wyznaczenia modelu obiektu • Wniosek jest taki, że z trzech modeli najlepszy okazał się model • Jednak jest on najlepszy tylko z trzech rozpatrywanych, a jak wyznaczyć najlepszy model dla całej dziedziny ? • Idea: - Za pomocą algorytmu identyfikacji. 19
Przykład wyznaczenia modelu obiektu • Dla klasy modeli SISO, liniowych względem parametrów. • Dane: 20
Przykład wyznaczenia modelu obiektu • Wyprowadzamy wzór na algorytm identyfikacji. 21
Przykład wyznaczenia modelu obiektu • Wyprowadzamy wzór na algorytm identyfikacji. 21
Przykład wyznaczenia modelu obiektu • Wyprowadzamy wzór na algorytm identyfikacji. 21
Przykład wyznaczenia modelu obiektu • Wyprowadzamy wzór na algorytm identyfikacji. 21
Przykład wyznaczenia modelu obiektu • Wyprowadzamy wzór na algorytm identyfikacji. 22
Przykład wyznaczenia modelu obiektu • Wyprowadzamy wzór na algorytm identyfikacji. 22
Przykład wyznaczenia modelu obiektu • Algorytm identyfikacji /SISO, L.w.P/ dla klasy modeli liniowych względem parametrów. • Szczególny przypadek dla , czyli modeli liniowych względem parametru i względem wejścia. 23
Przykład wyznaczenia modelu obiektu • Zastosujemy Algorytm Identyfikacji (2) w naszym przykładzie: • Zatem najlepszy model dla badanego przykładu to: 24
Przykład wyznaczenia modelu obiektu • Sprawdzamy jaki jest wskaźnik jakości dla najlepszego modelu y=1,35u, aby upewnić się, że jest on lepszy od tych wyliczanych poprzednio. 25
Czy to już jest rozwiązanie optymalne? • Uzyskany model y=1,35u jest najlepszy, ale dla danej serii pomiarowej i danej klasy modeli. • Zazwyczaj uwzględnienie dodatkowych pomiarów poprzez dostarczenie dodatkowych informacji o obiekcie umożliwi uzyskanie modelu "lepszego". • A co z innymi klasami modeli, może dla nich uzyskamy "lepszy" model? 26
Czy to już jest rozwiązanie optymalne? • Badamy zatem klasę y=αu2 dla tych samych danych i stosując Algorytm Identyfikacji (1) wyznaczmy optymalny parametr. 27
Wyznaczenie wskaźnika dla drugiej badanej klasy modeli • Obliczamy wskaźnik jakości dla najlepszego modelu w tej klasie (y=0,35u2). • Porównjąc wartość Q(α*)=5,82 dla najlepszego modelu "liniowego" oraz wartość Q(α*)=11 dla najlepszego modelu "kwadratowego" stwierdzamy, że model liniowy jest lepszy. 28
Rozważamy kolejną klasę modeli • Badamy klasę i wyznaczmy optymalny parametr • Następnym krokiem tak, jak w przypadku poprzednich klas jest sprawdzenie wskaźnika jakości. 29
Wyznaczenie wskaźnika dla trzeciej badanej klasy modeli • Obliczamy wskaźnik jakości dla najlepszego modelu w tej klasie ( ). • Porównując otrzymaną warość Q(α*)=6 oraz wartość Q(α*)=5,82 dla najlepszego modelu "liniowego" stwierdzamy, że model liniowy jest lepszy. 30
Prognozowanie liczby ludności - Matlab Środowisko Matlab oferuje wiele gotowych pakietów służących do modelowania obiektów rzeczywistych Na podstawie danych z lat 1990-2000, dotyczących liczby ludności, Matlab tworzy model i prognozuje wskaźnik demograficzny w kolejnych latach 31
Prognozowanie liczby ludności - Matlab W tym celu Matlab dokonuje aproksymacji danych wejściowych wielomianem Stopień wielomianu można zmieniać, aby aproksymacja najlepiej odzwierciedlała dane wejściowe Przykładowo chcemy, otrzymać przewidywaną liczbę ludności w 2010r. 32
Prognozowanie liczby ludności - Matlab Wynik można zilustrować na wykresie. Model podaje 312691400 jako przewidywaną liczbę ludności USA w roku 2010 33
Dekompozycja modelu MIMO na MISO Układ wielowyjściowy można potraktować jako równoległe połączenia n obiektów jednowyjściowych 34
Dekompozycja modelu MIMO na MISO Dzięki takiej dekompozycji możemy kolejno identyfikować poszczególne obiekty jednowyjściowe W każdym pojedynczym zadaniu identyfikacji może być wykorzystana ta sama seria pomiarowa (jeśli tylko spełnia ona wspólny dla wszystkich zadań warunek identyfikalności) 35
Główne problemy, które możemy napotkać • Ważne jest prawidłowe określenie klasy modelu, poprzez wykorzystanie dostępnej wiedzy eksperta i empirycznej. • Trudne wyznaczenie parametru dla "skomplikowanych" (np. niewielomianowych) klas modeli. • Właściwy dobór wskaźnika jakości, który służy głównie do interpretacji uzyskanego wyniku. • Dobór odpowiedniej liczby pomiarów oraz odpowiedni plan eksperymentu (miernictwo). 36
Trudniejsze zagadnienia dla bardziej dociekliwych • Modele liniowe względem parametrów (m parametrów). • Modele - ważony wskaźnik jakości, a w konsekwencji algorytm identyfikacji z uwzględnieniem wag. • Planowanie aktywnych eksperymentów spełniających warunek identyfikowalności. 37
Podsumowanie • Pojęcia identyfikacja systemów i wiedza eksperymentalna. • Określenie klasy modelu. • Określenie parametru modelu. • Algorytm identyfikacji. • Przykład przebiegu procesu identyfikacji. 38
Literatura • Leszek Koszałka, Marek Kurzyński "Zbiór zadań i problemów z teorii identyfikacji, eksperymentu i rozpoznawania"Wrocław, Politechnika Wrocławska, 1991 • Pod red. Ewy Bylińskiej"Identyfikacja procesów"Gliwice, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, 1997 • Torsten Soderstrom, Petre Stoica "Identyfikacja systemów"Warszawa, Wydawnictwo Naukowe PWN,1997 39
Koniec Dziękujemy za uwagę