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Lógica Matemática

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  1. Lógica Matemática

  2. Proposições

  3. Proposição • Conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo. • Transmitem pensamentos • Afirmam fatos • Sentença declarativa, afirmativa. • Frases que possam assumir valor verdadeiro ou falso.

  4. Proposições • A Lua é um satélite da Terra. • Recife é a capital de Pernambuco. • O México fica na América do Norte. • Vasco da Gama descobriu o Brasil. • O Japão fica na África. • Ela é muito talentosa!

  5. Valor lógico • Verdade: se a proposição é verdadeira • Falsidade: se a proposição é falsa

  6. Proposições • A Lua é um satélite da Terra. • Recife é a capital de Pernambuco. • O México fica na América do Norte. • Vasco da Gama descobriu o Brasil. • O Japão fica na África.

  7. Princípios • Princípio da não contradição: uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. • Princípio do terceiro excluído: Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro.

  8. Proposições simples • Não contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma. • Designadas por letras latinas minúsculas p,q,r,s. • p: Carlos é careca. • q: Pedro é estudante. • r: O número 25 é quadrado perfeito.

  9. Valores lógicos • p: A Lua é um satélite da Terra. • V(p) = V • q: Recife é a capital de Pernambuco. • V(q) = V • r: Vasco da Gama descobriu o Brasil. • V(r) = F

  10. Exercício Determinar o valor lógico de cada uma das seguintes proposições: • O número 17 é primo. • Fortaleza é a capital do Maranhão. • Tiradentes morreu afogado. • -1 < -7 • Todo número divisível por 5 termina por 5. • O produto de dois número ímpares é um número par. • O número 11 é primo.

  11. Exercício Quais das frases a seguir são proposições: • Curitiba é a capital do Paraná. • Todos os animais são mamíferos. • Quero mais café! • 3 + 4 = 7 • 1 > 2

  12. Exercício • 7 – 2 • X > 3 • Ele é médico. • Ana é fisioterapeuta. • Você gosta de quiabo?

  13. Proposições compostas e conectivos

  14. Proposições compostas • Proposição formada pela combinação de duas ou mais proposições. • Designadas pelas letras latinas maiúsculas P, Q, R, S. • P(p,q) • P: Carlos é careca e Pedro é estudante. • Q: Carlos é careca ou Pedro é estudante. • R: Se Carlos é careca, então é infeliz.

  15. Conectivos • Palavras que se usam para formar novas proposições a partir de outras. • P: Carlos é careca e Pedro é estudante. • Q: Carlos é careca ou Pedro é estudante. • R: Se Carlos é careca, então é infeliz. • S: Não está chovendo. • T: O triângulo ABC é equilátero se e somente se é equiângulo.

  16. Tabela-Verdade

  17. Tabela Verdade • Toda proposição simples p é verdadeira ou é falsa. V p F

  18. Tabela Verdade • O valor lógico de qualquer proposição composta depende unicamente dos valores lógicos das proposições simples componentes, ficando por eles univocamente determinado. • A Tabela-Verdade é um recurso utilizado para determinar todos os possíveis valores lógicos de uma proposição composta, a partir de todas as possíveis atribuições de valores lógicos dados às proposições simples que a compõem.

  19. Tabela Verdade V • P(p,q) q V F p V F q F

  20. Tabela Verdade • Q(p,q,r) • R(p,q,r,s)

  21. Tabela Verdade • http://www.calculadoraonline.com.br/tabela-verdade

  22. Interruptores F a V a a

  23. Operações Lógicas sobre Proposições

  24. Operações lógicas • O raciocínio envolve certas operações sobre proposições: operações lógicas • Estas operações obedecem a regras do cálculo proposicional

  25. Negação (~)

  26. Negação • p: O Sol é uma estrela. V(p) = V • ~p: O Sol não é uma estrela. V(~p) = F • q: 2+3 = 5. V(q) = V • ~q: 2+3 5. V(~q) = F • r: Roma é a capital da França. V(r)=F • ~r: Roma não é a capital da França. V(~r)=V

  27. Negação • p: Carlos é mecânico. • ~p: Não é verdade que Carlos é mecânico. Ou • ~p: É falso que Carlos é mecânico.

  28. Negação a a

  29. Negação • Seja p uma proposição. • ~p : não p • ~p tem o valor lógico oposto ao de p • ~V = F, ~F = V • V(~p) = ~V(p)

  30. Conjunção ()

  31. Conjunção • Chama-se conjunção de duas proposições p e q a proposição representada por “p e q”, cujo valor lógico é a verdade (V) quando as proposições p e q são ambas verdadeiras e falsidade (F) nos demais casos. • p e q • p q

  32. Conjunção • p: A neve é branca. • q: 2 < 5. • p q • A neve é branca e 2<5.

  33. Conjunção a b a b a b a b

  34. Conjunção • V V = V • V F = F • F V = F • F F = F

  35. Conjunção • p: A neve é branca. • q: 2 < 5. • p q • A neve é branca e 2<5. • V(p q) = V(p) V(q) = V V = V

  36. Conjunção • p: O céu é roxo. • q: 7 é um número primo. • p q • O céu é roxo e7 é um número primo. • V(p q) = V(p) V(q) = F V = F

  37. Conjunção • p: Os elefantes são grandes. • q: 5 < 2. • p q • Os elefantes são grandes e5 < 2. • V(p q) = V(p) V(q) = V F = F

  38. Conjunção • p: 10 < 5. • q: 20 > 30. • p q • 10 < 5 e 20 > 30. • V(p q) = V(p) V(q) = F F = F

  39. Disjunção()

  40. Disjunção • Chama-se disjunção de duas proposições p e q a proposição representada por “p ou q”, cujo valor lógico é a verdade (V) quando ao menos uma das proposições p e q são verdadeiras e falsidade (F) quando ambas as proposições são falsas. • p ou q • pq

  41. Disjunção • p: A neve é branca. • q: 2 < 5. • p q • A neve é branca ou 2<5.

  42. Disjunção a a b b a a b b

  43. Disjunção • V V = V • V F = V • F V = V • F F = F

  44. Disjunção • p: A neve é branca. • q: 2 < 5. • p q • A neve é branca ou 2<5. • V(p q) = V(p) V(q) = V V = V

  45. Disjunção • p: O céu é roxo. • q: 7 é um número primo. • p q • O céu é roxo ou 7 é um número primo. • V(p q) = V(p) V(q) = F V = V

  46. Disjunção • p: Os elefantes são grandes. • q: 5 < 2. • p q • Os elefantes são grandes ou 5 < 2. • V(p q) = V(p) V(q) = V F = V

  47. Disjunção • p: 10 < 5. • q: 20 > 30. • p q • 10 < 5 ou 20 > 30. • V(p q) = V(p) V(q) = F F = V

  48. Disjunção exclusiva (V)

  49. Disjunção exclusiva • A palavra ou tem dois sentidos: • P: Carlos é médico ou professor • Q: Mario é alagoano ou gaúcho • P: Ou inclusivo, ambas as situações podem acontecer • Q: Ou exclusivo, somente uma das situações pode acontecer

  50. Disjunção exclusiva • Chama-se disjunção exclusiva de duas proposições p e q a proposição representada por “p ou q, mas não ambos”, cujo valor lógico é a verdade (V) somente quando p é verdadeira ou q é verdadeira, mas não quando p e q são ambas verdadeiras. A falsidade (F) é quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas. • pq