Kvadrātfunkcija, tās raksturojums, grafiks

1. Kvadrātfunkcija, tās raksturojums, grafiks

2. Par kvadrātfunkciju sauc funkciju, kuru var izteikt ar    y = ax2 + bx + c  , kurā x ir neatkarīgais mainīgais  ,bet a, b, c - skaitļi, turklāt a nav nulle.

3. Atgādināsim, ka funkciju pētīt nozīmē noteikt tās dažādās īpašības: • definīcijas apgabals D (f), D. a. - argumenta (x) pieļaujamo vērtību kopa; To nosaka darbību ierobežojumi (dalīt ar nulli nedrīkst, kvadrātsakni var izvilkt no nenegatīviem skaitļiem) • vērtību apgabals E (f) - visu iespējamo vērtību (y) kopa;

4. grafika veids - taisne, parabola u.t.t.; augoša - palielinoties x, palielinās y undilstoša - palielinoties x, y samazinās; • funkcijas saknesjeb grafika krustpunkti ar x asi , y = 0, ja...;

5. Pozitīvās funkcijas vērtības - grafika daļa virs xass, atliek nolasīt attiecīgās x vērtības; Lielākā un vismazākā funkcijas vērtība - nolasa attiecīgās argumenta (x) vērtības. • Negatīvās funkcijas vērtības - grafika daļa zemxass, atliek nolasīt attiecīgās x vērtības;

6. ja a = 1 Apskatīsim kvadrātfunkcijas speciālos gadījumus : y = ax2(b=0, c=0) tady = x2 Mēs jau zinām, ka tās grafiks ir parabola

7. šajā gadījumā, a ir pozitīvs skaitlis, parabolas zari vērsti uz augšu Zīmējumā jūs redzat 3 parabolas, zaru vērsums ir atkarīgs no koeficienta a vērtības, • a>1, tad grafiks piekļaujas y asij(3.), ja 0<a<1, tad parabola piekļaujas x asij (1.)

8. D = R jeb definīcijas apgabals ir visu reālo skaitļu kopā; E = [0; + ∞) vērtību apgabals; Funkcija dilst intervālā (- ∞; 0], Funkcija aug [0; + ∞); grafiks iet caur (tā virsotne atrodas) (0;0) koordinātu sākumpunktu pretējām argumenta vērtībām atbilst viena un tā pati funkcijas vērtība; vismazākā vērtība y(0) = 0 , bet vislielākās vērtības nav. Pēc grafika izpētīsim šo funkciju y = ax2, ja a>0

9. visām trīs parabolām zari vērsti uz leju, tāpat paliek spēkā zaru platuma atkarība no koeficienta a. y = ax2,ja a<0

10. D = R; E = (- ∞; 0]; grafiks atrodas apakšējā pusplaknē, jo a<0; grafiks ir simetrisks attiecībā pret y asi; aug, ja x pieder (- ∞; 0], dilst, ja x pieder [0; + ∞) vislielākā funkcijas vērtība ir nulle, y(0)=0 vismazākās vērtības nav y = ax2,ja a<0

11. Šo parabolu iegūst, ja parabolu y =ax2 pārnes par c vienībām ordinātu ass virzienā t.i. uz augšu, ja c>0, bet uz leju, ja c<0. Parabolas virsotnes atradīsies punktā (0;c) y = ax2 + c, kur c - skaitlis 4 0 -5

12. Šo grafiku var iegūt pārnesot parabolu y =ax2, par m vienībām pretējiabscisu ass virzienam t.i. pa kreisi, ja m>0, bet pa labi, ja m<0. Parabolas virsotne atrodas punktā (-m;0). Pārejās īpašības viegli nolasāmas no grafika, pēc augšā minētā principa. y = a(x + m)2kur m - skaitlis -4 0 5

13. Izdevīgs grafika konstruēšanas paņēmiens: Aprēķina funkcijas saknes (grafika krustpunkti ar x asi ) Atrod parabolas virsotnes abscisu (tā ir sakņu vidējais aritmētiskais x0=(x1+x2):2 , vai pēc formulas x0=-b:2a Aprēķina virsotnes ordinātu, y=ax02+bx0+c Nosakakrustpunktu ar ordinātuasi, x=0, y=c. (Krustpunkta koordinātas (0;c)) Līdz ar to svarīgākie punkti iegūti, atliek vēl dažus punktus aprēķināt, lai iegūtu precīzāku grafiku. y=ax2+bx+c,a, b, c ir skaitļi, a≠0

14. 1) Aaprēķina funkcijas saknes t. i. ievieto vienādojumā y = 0 Apskatīsim konkrētu piemēru y = 2x2 - x - 3

15. 2) Aprēķina sakņu vidējo aritmētisko, kas reizē ir parabolas simetrijas ass un virsotnes abscisa (x0)3) Pēc tam to ievieto vienādojumā un aprēķina virsotnes ordinātu (y0) 4) Tagad pēc 3 raksturīgajiem punktiem varam uzzīmēt parabolu 5) Vēl tikai dažas vērtības, lai būtu precīzāka parabola, izvēlas papildus punktus

16. Un tagad konstruējam grafiku, izvēloties vienību tā, lai varētu viegli atlikt daļskaitļus -1 -1 -2