Heap de Fibonacci Alberto Rodrigues Costa Junior - (arcj)
Roteiro • Introdução • Estrutura • Operações • MAKE-HEAP • INSERT • MINIMUM • UNION • EXTRACT-MIN • DECREASE-KEY • DELETE • Limite do grau máximo
Introdução • Fredman e Tarjan em (Desenvolvido) 1984 / (Publicado)1987. • Aplicações em problemas de Menor caminho, AGPM ...
Introdução • Heapsbinomiais suportam operações Minimum, ExtractMinimum, Union, Delete e Decrease Key em tempo O(lgn) no pior caso. • Heapsde Fibonacci suportam as mesmas operações acima que não envolvem exclusãoem tempo amortizado O(1).
Introdução
Introdução • Não foi desenvolvido para dar suporte eficiente a operação de Search. • Do ponto de vista prático, os fatores constantes e a complexidade a tornam pouco desejável para a maioria dos problemas.
Estrutura • Semelhante ao HB, mas tem uma estrutura bem menos rígida. • HB: Consolida árvores depois de cada Insert. • HF: Adia a consolidação até a próxima exclusão
Estrutura • Como HB, o HF é uma coleção de árvores. • Também é coleção de heaps mínimos.
Estrutura • Lista de raízes (circular e duplamente ligada). • Ponteiro Min[H] apontado pra raiz que tiver menor valor. • Cada nó x tem um ponteiro p[x] pro seu pai.E um ponteiro child[x] pra um de seus filhos. • Cada filho y esta em lista duplamente ligada e circular(left[y] e right[y]).
Estrutura • degree[x] - número de filhos de x. • mark[x] - indica se o nó x perdeu um filho desde a ultima vez que se tornou filho de outro nó. • n[H] - número de nós em H.
Função Potencial • Usada para analisar o desempenho de operações de HF. • t(H) o número de árvores. • m(H) o número de nós marcados. φ(H) = t(H)+ 2m(H)
Operações • Operações de heapsintercaláveis • MakeHeap • Insert • Minimum • Union • Extract Min
Operações • Árvores Binomiais Não Ordenadas • Uma árvore binomial não ordenada écomo uma arvore binomial: • U0consiste de apenas um nó • Ukconsiste de duas árvores binomiais não ordenadas Uk-1, onde a raiz de uma delas se torna filho da outra
Operações • Propriedades de árvores binomiais não ordenadas • Para uma árvore binomial não ordenada U vale: • Há 2^k nós em Uk. • A altura é k. • Há exatamente nós de profundidade i para i = 0 ,1,...,k • A raiz tem grau k, que é o maior grau de qualquer outro nó. Os filhos da raiz são raízes de árvores U0,U1, . . . Uk−1 emqualquerordem
Operações • Grau Máximo • D(n) é o grau máximo de qualquer nó em um HF com n nós • Logo, se o HF é uma coleção de árvores binomiaisnão ordenadas, então D(n) = lgn.
Make-Heap Make-Heap() 1) n[H] = 0 2) min[H] = NIL 3) Retorna H • t(H) = 0 • m(H) = 0 • Então φ(H) = 0+ 2*0 = 0 • Custo amortizado é igual ao custo real O(1)
Insert
Insert
Insert • Seja H o heap de entrada e H’ heap resultante t(H’) = t(H) + 1 e m(H’) = m(H) então o aumento do potencial é : ((t(H) + 1) + 2m(H)) – (t(H) + 2m(H)) = 1 Como o custo real é O (1), o custo amortizado é (1) + 1 = Θ(1)
Minimum • O nó mínimo é dado pelo ponteiro min[H]. Tempo real O(1) e tendo em vista que o potencial não muda o custo amortizado desta operação é igual ao seu custo real.
Union
Union • Mudança de potencial: φ(H) = φ(H1) + φ(H2) = (t(H) + 2m(H)) - ((t(H1) + 2m(H1)) + (t(H2) + 2m(H2)) ) = 0 Desse modo o custo amortizado de Union é igual ao custo real Θ(1).
Extract-min • O processo de extrair o nó minimo é mais complicado. • Onde a consolidação das árvores finalmente ocorre.
Extract-min
Extract-min
Extract-min
Extract-min • O(D(n)+ t(H)) + ((D(n)+1) + 2m(H)) – (t(H) +2m(H)) = O(D(n)) + O(t(h)) – t(h) = O(D(n))
Decrease-key • Aqui mostramos como a redução de uma chave de um nó em um HF pode ser realizada com custo amortizado O(1). • Mais adiante, mostraremos que a deleção de um nópode ser executada em tempo amortizado O(D(n)). • Essas operações não preservam a propriedade de que todas as árvores no HF são árvores binomiais não ordenadas. • Estas árvores são “próximas” o suficiente para se limitar o grau máximo D(n) por o(lgn).
Decrease-key
Decrease-key
Decrease-key
Decrease-key
Delete
Limitando o grau Máximo • Para mostrar que a análise amortizada de Extract-Min e Delete executam em tempo amortizado O(lgn), temos que mostrar que D(n) (grau máximo de um nó em heap com n chaves) é da ordem O(lgn). • Se todas as árvores são árvores binomiais não ordenadas, então D(n) = floor(lg(n)). • Os cortes que ocorrem em Decrease Key, entretanto, podem fazer com que as árvores do HF deixem de ser binomiais • Mostrar que, em virtude de cortarmos um nóx do seu pai y sempre que ele perde dois filhos, teremos D(n) é O(lgn)
Limitando o grau Máximo • Para cada nó x de um HF, defina size(x) como o número de nós, incluindo x, que pertencem à árvore com raiz em x. • Vamos mostrar que size(x) éexponencial em degree[x]. • Lema • Seja x um nó de um HF e suponha que degree[x] = k. • Sejam y1, y2, . . . , ykos filhos de x na ordem que eles foram ligados a x, a partir do primeiro ao último (mais recente). • Então, degree[y1] >= 0 e degree[yi]>= i −2, para i = 2, 3, . . . , k
Limitando o grau Máximo • Prova • Obviamente, degree[y1] >= 0. • Para i >= 2, quando yi se tornou filho de x os elementos y1, . . . , yi−1 eram filhos de x, logo devemos ter degree[x] = i − 1. • Note que yi éligado a x apenas se degree[x] = degree[yi], portanto devemos ter degree[yi] = i − 1 no momento da ligação. • Dai concluímos que degree[yi ] >= i − 2.
Limitando o grau Máximo • Finalmente atingimos a parte da análise que explica o nome “Heapde Fibonacci”. • Lembramos que a série Fibonacci é definida por: • Lema:
Limitando o grau Máximo • Prova por indução caso base k = 0 = 1 + F0 = 1 + 0 = 1 = F2
Limitando o grau Máximo • Hipótese indutiva que Fk +1 = 1+ • F2 + k =Fk +1 +Fk +1 = Fk+(1 +) = 1 +
Limitando o grau Máximo • Lema:
Limitando o grau Máximo
Limitando o grau Máximo • Lema: • Seja x um nó de um HF • Seja k = degree[x] o grau de x. • Então • Prova • Sk é o menor valor possível size(x) de todos os nós z tais que degree[z] = k • Sk é no máximo size(x), e o valor de sk aumenta monotonicamente com k
Limitando o grau Máximo
Limitando o grau Máximo
Limitando o grau Máximo • Corolário:
