Determinantes e o Teorema de Laplace

1. Determinantes e o Teorema de Laplace Profª Débora Bastos IFRS – Campus Rio Grande

2. Dê dois cliques. Determinante de ordem 3 • Produtos possíveis: • a1b2c3 0 inversão  Adição • a2b3c1  2 inversões  Adição • a3b1c2  2 inversões  Adição • a3b2c1  1 inversão  Subtração • a2b1c3  1 inversão  Subtração • a1b3c2  1 inversão  Subtração • detA = a1b2c3 + a2b3c1 + a3b1c2 a3b2c1 a2b1c3 a1b3c2

3. Dê dois cliques. Teorema de Laplace • Laplace define um método que diz quando os produtos são adicionados ou subtraídos e como fazer esses produtos de maneira mais fácil. No caso ele associou a determinantes de ordem n-1, quando calculamos determinantes de ordem n.

4. Dê dois cliques. Determinante de ordem 4 • Produtos com a1: • a1b2c3d4 0 inversão  adição • a1b4c2d3 2 inversões  adição • a1b3c4d2  2 inversões  adição • a1b4c3d2  1 inversão  subtração • a1b3c2d4  1 inversão  subtração • a1b2c4d3 1 inversão  subtração • a1b2c3d4 + a1b4c2d3 + a1b3c4d2 – a1b4c3d2 – a1b3c2d4 – a1b2c4d3 = ...

5. Dê dois cliques. Produtos com a1 • Colocando a1 em evidência, teremos uma parte do determinante que queremos: • a1(b2c3d4+ b4c2d3+ b3c4d2 b4c3d2 b3c2d4 b2c4d3) = • Faça o determinante de ordem 3 para testar.

6. Dê dois cliques. Produtos com a2 • a2b1c3d4  1 inversão  Subtração • a2b3c4d1  3 inversões  Subtração • a2b4c1d3 3 inversões  Subtração • a2b4c3d1  2 inversões  Adição • a2b3c1d4 2 inversões  Adição • a2b1c4d3  2 inversões  Adição • – a2b1c3d4 – a2b3c4d1 – a2b4c1d3 + a2b4c3d1 + a2b3c1d4 + a2b1c4d3 = • = – (a2b1c3d4 + a2b3c4d1 + a2b4c1d3–a2b4c3d1 –a2b3c1d4 – a2b1c4d3)=....

7. Dê dois cliques. Produtos com a2 • = –a2(b1c3d4+ b3c4d1+ b4c1d3 –b4c3d1 – b3c1d4 –b1c4d3)=

8. Dê dois cliques. Produtos com a3 e com a4 • Analogamente fazendo os produtos possíveis com a3 e a4, teremos: • Ou seja, o determinante de ordem 4 pode ser escrito como

9. Teorema de laplace Dê dois cliques. • .... • Laplace generalizou o processo para qualquer ordem, com exceção da ordem 1. • Notações de Laplace: • 1) Submatrizes: • Mij é uma matriz extraída de uma de ordem n retirando desta a linha i e a coluna j. • Exemplo na matriz de ordem 4:

10. Teorema de Laplace Dê dois cliques. • 2) Cofatores. • Aij = (– 1)i+jdetMij • A cada elemento de uma submatriz está associado um cofator que nada mais é que o determinante da submatriz com o sinal trocado ou não. • Se a soma de i com j é par então o cofator não troca o sinal do determinante da submatriz. • O cofator já nos diz quando precisamos somar ou subtrair os produtos. • Quando somamos? Quando a soma de i com j é par. • Quando subtraímos? Quando a soma de i com j é ímpar. • No caso de A11 e A31 o sinal do determinante da submatriz permanece, no caso de A21 e A41 o sinal do determinante da submatriz fica trocado.

11. enunciado do teorema de laplace Dê dois cliques. • Escolhida uma fila (linha ou coluna) da matriz faz-se a soma dos produtos dos elementos dessa fila pelos seus cofatores. • Exemplo do determinante de ordem 4: • detA=a1A11 + a2A21+a3A31 + a4A41 = a1detM11 – a2detM21 +a3detM31 – a4detM41 =

12. Observações • A fila escolhida não altera o resultado do determinante. • Faça uma escolha inteligente que diminua o número de cálculos, por exemplo, escolher a fila que possuir mais elementos nulos, pois os cofatores que multiplicarem os elementos nulos não precisam ser calculados, já que qualquer número vezes 0 é 0.