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Graph theory and Matrix

Graph theory and Matrix. 圖論與矩陣的簡介. 關係的圖形表達. 戊. 我們以點來代表行動者 (nodes, vertices, points) ，以線來代表關係 (edges, arcs, lines, ties). 己. 甲. 丙. 乙. 丁. 關係的圖形表達. 在圖形中，點的座標位置可以任意選擇，線的長度也可以隨意調整，沒有任何意義。. 戊. 己. 甲. 丙. 乙. 丁. 這些圖形都代表同一個網絡圖. 關係的圖形表達. 戊. 一組行動者 A ，含有 n 個行動者. 甲. 己. 丙. 乙. 丁.

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Graph theory and Matrix

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Presentation Transcript

  1. Graph theory and Matrix 圖論與矩陣的簡介

  2. 關係的圖形表達 戊 • 我們以點來代表行動者(nodes, vertices, points)，以線來代表關係(edges, arcs, lines, ties) 己 甲 丙 乙 丁

  3. 關係的圖形表達 在圖形中，點的座標位置可以任意選擇，線的長度也可以隨意調整，沒有任何意義。 戊 己 甲 丙 乙 丁

  4. 這些圖形都代表同一個網絡圖

  5. 關係的圖形表達 戊 一組行動者A，含有n個行動者 甲 己 丙 乙 丁

  6. 網絡關係是否具有方向性？ 乙 乙 甲 甲 丙 丙

  7. 網絡關係是否具有方向性？ • Directed graph (digraph) • 可以區分關係從某一方A導向另一方B，通常以箭頭來標示關係的方向性 • 例如：A公司向B公司下訂單 • Nondirectional: 同時發生、同時存在的關係沒有方向性 • 例如：A公司與B公司之間具有生意往來關係 • 例如：A與B是否具有親戚關係

  8. Directed graph (有向圖） 戊 若考量關係的的方向性，則n個點（行動者）之間最多能有幾條線(關係)存在？最少為0。 甲 己 丙 以R來表示一個網絡中所有存在的L個關係所形成的集合，以l（小寫L)代表每一個特定的關係。 乙 丁 Directed graph

  9. Graph (無向圖） 戊 若所考量關係為不具有方向性的關係，則n個點（行動者）之間最多能有幾條線(關係)存在？ 甲 己 丙 乙 丁 一個網絡的圖(graph)可以用兩個集合(A, R)來描述，表為：

  10. Adjacent相鄰 戊 圖上的兩點為「相鄰」(adjacent) 如果： 甲 己 l4 l5 l3 包含在集合 丙 l1 l6 l2 乙 丁 因為l2包含在R中，因此丁與乙「相鄰」

  11. 附隨(incident with) 戊 甲 己 圖上組成一條線的兩個端點「附隨」(incident with)於這一條線上， 或說一條線附隨於其端點上。 l4 l5 l3 丙 l1 l6 甲附隨於l4上 l2 乙 丁 丁附隨於l1上 L4附隨於甲上

  12. Subgraph子圖 如果一個圖的行動者為所有網絡行動者（A）的子集合，且此圖的關係為所有網絡關係（R）的子集合，則稱此圖為圖G的子圖(subgraph)，寫成Gs

  13. Subgraph子圖 戊 甲 l3 丙 l1 l4 l2 乙 丁

  14. 取圖形中任意點的子集合，然後考慮其間的關係，稱為「點生子圖」(node-generated subgraph) 戊 甲 由甲丁丙所構成的子圖 l3 甲 丙 l1 l4 丙 l1 l2 乙 l4 丁 丁

  15. 取圖形中任意線的子集合，然後考慮其組成線的端點，稱為「線生子圖」(lines-generated subgraph) 戊 甲 由l4, l2所構成的子圖 l3 丙 l1 丙 l4 l4 l2 乙 l2 乙 丁 丁

  16. Nodal degree點的度數 • 「附隨」在一個點上的所有的線稱為該點的度數(degree)。表為d(ai)。 • 與某一點「相鄰」的所有其他點的數目稱為該點的度數。 • 度數d(ai)=0的點稱為「孤立點」(isolate) • 度數最大值為？ • max[d(ai)]=(n-1) • 度數為某一點活動量的衡量

  17. A H G B E C J I F D

  18. 平均度數(mean nodal degree) • 圖中每一點的平均度數

  19. A H G B E C J I F D

  20. 度數變異數(variance of the degrees) • 圖中每一點的度數的變異量 • 度數變異量代表圖中每一點「活動」的差異程度。為衡量圖的集中程度(centralization)指標。

  21. A H G B E C J I F D

  22. 圖密度density of graph • 不考慮線的方向，一個圖中最大的可能連線數目： • 圖密度指的是實際上觀察到的連線，比上最大可能連線數目的比值： 實際存在度數之和/最多可能度數和 • 每一個行動者的最大可能度數(n-1) × n個行動者

  23. A H G B E C J I F D

  24. 密度與平均度數的關係 平均度數=密度＊(n-1)

  25. Complete graph • 若圖中每一點與其他所有點皆相連，則此圖稱為完全圖(complete graph)，一般以Kn來表示 • 完全圖的密度=1 • 完全圖中的任一點的度數(nodal degree)=(n-1) H G J I

  26. 漫遊Walks l5 一個漫遊(walk)為從某一點開始，到某一點結束，點與線交替的一組序列，其中每一個點必須「附隨」於之前與之後的線。 A l9 H G l1 l6 l13 l2 l12 B l14 l10 E l3 l7 C l4 l11 J I F D l8 一個漫遊的長度(length of a walk)為經過的所有路線的數目。如果一條路被重複走兩次，則要算兩次。

  27. 漫遊Walks l5 A l9 並非所有點都要經過 一個點可以重複走兩次以上有些路線沒有經過，有些路線可以經過多次。 H G l1 l6 l13 l2 l12 B l14 l10 E l3 l7 C l4 l11 J I F D l8 Length of the walk漫遊長度= 3

  28. 軌跡Trails l5 A l9 軌跡為一個沒有重複路線的漫遊，但同一點可以經過兩次 H G l1 l6 l13 l2 l12 B l14 l10 E l3 l7 C l4 l11 J I F D l8

  29. 路徑Path l5 A l9 路徑為一個沒有重複路線，也不重複點的漫遊。 H G l1 l6 l13 l2 l12 B l14 l10 E l3 l7 C l4 l11 J I F D l8 Length of the path = 4

  30. Walk, trails, path • Path不能重複點 • Trails不能重複線 • Walk沒有任何限制

  31. Walk, trails, path • 下列哪些流通的過程為漫遊？軌跡？路徑？ • 貨幣流通 • 送禮 • 交通路線 • 謠言傳播 • 傳染病傳播

  32. 路徑Path A A至J相通： AEGIJ AEIJ A與F不相通 G l1 l6 l2 B l10 E l3 l7 C l4 l11 J F I D 任意兩點間可以有多條不同路徑存在。 任意兩點間若存在一路徑，稱為「相通」(reachable)。兩點若不相通，則無傳遞的路徑存在。

  33. Closed walks • 一個漫遊的出發點與終點為同一點時，稱為封閉漫遊(close walks) • EGHIJGIE A H G B E C J I D

  34. Cycle循環 • 至少包含三個點，且除了起始點與終點外，沒有一點重複，也沒有一條路線重複的一個封閉漫遊，稱為循環(cycle) • EGHJIE • 一個不包含任一循環的圖稱為「無循環」(acyclic) A H G B E C J I D

  35. 旅遊tour • 一個所有路線都至少走過一次的封閉漫遊，稱為 旅遊(tour) • EGHJGIJE H G E J I

  36. Connected graph 若圖中任意兩點皆存在至少一個路徑，則稱此圖為「連結」(connected) 換句話說，在一個連結圖中，任意兩點皆可「相通」(reachable) 如果上述條件不成立，稱為「不連結」(disconnected)

  37. Connected graph A H G E C B K F D 不連結圖 I J 連結圖

  38. Components • 在不連結圖中的所有點可以進一步被劃分(區隔)出(partitioned into)一個以上的子集合(subsets) ，這些子集合之間無法透過路徑來連結，但子集合內的點彼此連結，形成一連結子圖(connected subgraph)，我們將之稱為「網絡組成體」(components)。網絡組成體為最多點連結的子圖。 • 如果一個圖中僅有一個組成體，則此圖必為「連結」。如果一個圖中有一個以上的組成體，則此圖必為「不連結」。

  39. Components H G E A C A2 K B A1 D F I J 兩個組成體所構成的圖形，為不連結圖形。其成員可以區隔成兩個子集合 由一個組成體所構成的圖形，為連結圖形 A1及A2為圖形G的兩個組成體

  40. 下圖中有幾個組成體？ F A H G B E C J I D

  41. 測地線與距離geodesic and distance • 測地線：兩點之間最短的路徑。 • 測地線距離(geodesic distance)或簡稱距離(distance): 為兩點之間最短的路徑的長度(the length of a the shortest path)。 • 如果兩點不連結，則其距離為無限(infinite)或無法界定

  42. 測地線距離geodesic distance

  43. Slide from Borgatti

  44. 平均距離average distance 圖形中任意兩點之間距離的平均值 Slide from Borgatti

  45. 平均距離average distance 不含F，共有(9*8)/2=36對距離 平均距離 (所有相通點) = 58/36 = 1.611

  46. Eccentricity偏離距 • 偏離距：某一點與所有其他點的最大距離。 • 偏離距的極小值為？極大值為？ • Min = 1 • Max = n-1

  47. 圖的直徑Diameter of a graph • 圖中任意兩點最遠的距離 • 極小值為一，極大值為n-1 • 若圖不連結，則其直徑無法界定

  48. 圖的直徑Diameter of a graph • 底下四圖的直徑為何？

  49. 切割點Cutpoints • 若將連結圖中的某一點及其附隨的連結線移除，則使圖變成不連結的點稱為切割點。 • 另一種說法：包含某點的圖之組成體的數目少於不包含此點的組成體數目，則稱該點為切割點。 • 維持連結圖連結所必須的一組最少的點集合稱為切割組(cutset)。若切割組中有k個點，則稱為k點切割(k-node cut)。

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