迭代与分形

迭代与分形

主要内容 Part1、什么是分形 Part2 、分形的维数 Part3 、图形迭代生成分形 Part4 、函数迭代生成分形 Part5 、分形的matlab实现及欣赏

Part1、什么是分形 普通几何学：普通几何学研究的对象，一般都具有整数的维数。比如，零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体、乃至四维的时空。最近十几年的，产生了新兴的分形几何学，空间具有不一定是整数的维，而存在一个分数维数，这是几何学的新突破，引起了数学家和自然科学者的极大关注。什么是分形几何？通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定意义下的自相似图形和结构的几何学。什么是自相似呢？例如一棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状上没什么大的区别，大树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相似关系；我们再拿来一片树叶，仔细观察一下叶脉，它们也具备这种性质；动物也不例外，一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛的全部生长信息；还有高山的表面，您无论怎样放大其局部，它都如此粗糙不平等等。这些例子在我们的身边到处可见。分形几何揭示了世界的本质，分形几何是真正描述大自然的几何学。

“分形”一词译于英文Fractal，系分形几何的创始人曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）于1975年由拉丁语Frangere一词创造而成，词本身具有“破碎”、“不规则”等含义。Mandelbrot研究中最精彩的部分是1980年他发现的并以他的名字命名的集合，他发现整个宇宙以一种出人意料的方式构成自相似的结构。Mandelbrot 集合图形的边界处，具有无限复杂和精细的结构。如果计算机的精度是不受限制的话，您可以无限地放大她的边界。他在1975、1977和1982年先后用法文和英文出版了三本书，特别是《分形——形、机遇和维数》以及《自然界中的分形几何学》，开创了新的数学分支——分形几何学。分形几何的创始人：曼德尔布罗特（B. B. Mandelbrot），法国《自然界的分形几何》，1970s

1、分形的内容 分形几何学的基本思想是：客观事物具有自相似的层次结构，局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似性，成为自相似性。也就是适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构并不改变。如：一棵大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈。 Mandelbrot集→

Mandelbrot集合局部放大效果

2.分形的特性 1、具有无限精细的结构； 2、局部与整体的相似性； 3、具有非拓扑维数，并且它大于对应的拓扑维数； 4、具有随机性； 5、在大多数情况下，分形可以用非常简单的方法确定，可能由迭代产生。

3.分形的应用领域 1、数学：动力系统； 2、物理：布朗运动，流体力学中的湍流； 3、化学：酶的构造； 4、生物：细胞的生长； 5、地质：地质构造； 6、天文：土星上的光环； 7、其他：计算机，经济，社会，艺术等等

Part2 、分形的维数 一、分形维数的定义二、分形维数的计算三、分形维数的应用

一、分形维数的定义 • 引入： • 在通常的欧几里德几何中，我们以整数维来定义几何体，直线或曲线为1维，平面或球面为2维，具有长、宽、高的形体为3维，甚至我们还定义了n维的欧几里德空间，并总结得出对于通常的几何体存在以下几点规律： • 1）用与之同维的“尺子”去量：得有限数 • 2）用比它低维的“尺子”去量：得无穷大 • 3）用比它高维的“尺子”去量：得零 • 如：对于球面，用2维尺子去量，得到球面面积，为有限数，用1维尺子去量，为无穷大，用3维去量则得0。 • 由此，我们引进一种特殊的维数：分数维，即分形维数。

分形维数： 是描述分形最主要的参量，简称分维，它属于非欧式几何学。分形维数就是定量地表示自相似的随机形状和现象的最基本的量。其定义与欧式几何学维数的定义不同, 而且随着应用的不同, 定义也会不同。具体有以下几种定义方法：（1）Hausdorff维数（5）信息维数（2）Lyqpunov维数（6）计盒维数（3）相似维数（7）并联维数（4）容量维数

Hausdorff维数 • 定义：设一个整体U划分为N个大小和形态完全相同的小图形，每个小图形的线度为原图形的r倍，则Hausdorff维数为: 其中表示整体所包含的小图形的个数，若把一个几何对象的线度放大L倍，放大几何体是原来几何体K倍，则对象的维数是：

Lyqpunov维数 定义： Lyqpunov维数是领用Lyqpunov指数来定义的。考虑N维空间在某个时刻t，两个点在方向为i的轴上相隔的距离为，经过时间T后，这两个点的距离为，那么Lyqpunov指数为：其中，i= 1，2，……，N 若（或），表示这两个点沿轴i方向按指数函数组建离开（或接近），这时Lyqpunov维数为：其中，。

相似维数 • 定义：设分形整体S是由N个非重迭的部分Si ，i=1，2，……，N组成的，如果每小部分Si经过放大（1/ri）倍后可与S全等（0<ri<1），并且 ri=r，则相似维数为：如果ri不全等，则定义：即可求得相似维数。

二、分形维数的计算 分形维数的测定（1）改变观察尺度求维数（2）根据测度关系求维数（3）用分布函数求维数（4）用相关函数求维数（5）用频谱求维数以下我们求解几中常见分形几何体的相似维数：

Koch曲线 如图所示，原线段由新的4条线段组成，且每条线段均为原来线段长度的1/3，由相似维数定义知，N=4，r=1/3，故相似维数为 (ln4)/(1n/3)=1.2619 介于1，2之间

菱形迭代图形 如图所示，菱形分成16个小的菱形新的图形由原来的8个小菱形组成相似形个数为 N=8，边长放大r=1/4 故相似维数为 (ln8)/(ln4)=1.5 介于1，2之间

三、分形维数的应用 • 分形科学是非线性科学的主要分支之一，它在自然科学各个学科中，甚至在经济和社会活动中，都有着广泛的应用，如材料学，地质、矿物、图像处理等领域。具体实现有：像素与像距的分形维数估计、分析语音分形特性、智能控制中的分形维数应用等等。

Part3 、图形迭代生成分形 依照某一规则R，对图形反复作用：其极限图形就是分形，作用规则R称为生成元。

1. Koch 曲线 将线段三等份，并将中间段用以该段为边的等边三角形的另外两边替代。总长度→∞

2. Koch 雪花 将单位正三角形的每条边，都按照Koch曲线的规则替代。

3 . Minkowski “香肠”

4. Sierpinski衬垫（三角形） 将单位正三角形，一分为四。挖去中间的一个小正三角形。……

5. Sierpinski海绵 将正方体，每面九等份，分为27个小正方体。挖去位于面心及体心位置的7个，剩下20。……

6. 龙曲线 将线段拉成直角折线。……

7. 花草树木(L系统） 美国生物学家Lindenmayer 提出，研究植物形态与生长的描述方法。

Part4 、函数迭代生成分形 早在19世纪，就有一些数学家对复变函数的迭代进行研究。然而，直到上世纪８０年代，B.Mandelbrot才将复变函数的迭代与分形联系起来，并绘制出第一张引人入胜的分形图形。复变函数迭代由此再一次成为数学家们研究的热点问题。定义复数序列：常见的有：Julia集、 Mandelbrot集

一、Julia集 考虑复变函数迭代：固定复参数 c，使得该迭代序列有界的初值在复平面上的分布图形，称为Julia集，亦即：迭代序列有界}

Julia 集的绘制方法 1、设定初值 p,q, 最大的迭代次数 N, 图形的大小 a,b, 及使用的颜色数 K. 2、设定区域的界值 3、将区域　分成的网格，分别以每个网格点为初值利用（3）做迭代。如果对所有的都有　　，则将象素(i, j) 置为黑色。如果从某一步 n 开始，　　　　，则将象素 (i,j)置为颜色 n mod K。

四元数二次映射下的Julia 集

二、 Mandelbrot集 • Mandelbrot集合是Mandelbrot在复平面中对简单的式子 Z =Z^2 + C 进行迭代产生的图形。虽然式子和迭代运算都很简单，但是产生的图形出现那么丰富多样的形态及精细结构简直令人难以置信以至于不可思议。在传统几何学中难以找到如此简单的规律隐藏着如此复杂而生动的例子。Mandelbrot集合告诉我们自然界中简单的行为可以导致复杂的结果。例如，大型团体操中每个人穿的衣服只有几种颜色中的一种，每个人的动作也只是导演规定的几种之一。但是整体上可以显示出多种多样的复杂形态。

Mandelbrot集的构造 固定初值，使得迭代序列（2）有界的参数 c 在复平面上的分布图形，称为 Mandelbrot集。即：迭代序列有界} 则（2）变为：

Part5 、分形的matlab实现及欣赏 分形的matlab实现的算法思想 • 图形迭代生成分形：生成元 • 如： Koch 曲线、谢尔宾斯基 Sierpinski地毯迭代的方式 • 函数迭代生成分形：复变函数 • 如： Julia集、 Mandelbrot集

Koch曲线 • 其迭代规则是：对一条单位线段，首先将其三等分，然后用以中间线段为正三角形的另外两条变代替它，无限次迭代下去，最终形成的图形就是Koch曲线。 • 谢尔宾斯基地毯 • 其迭代规则是：对一个正方形，首先将它分成九个小正方形，然后挖调中间的一个。无限次迭代下去，最终形成的图形就是Sierpinski地毯。

龙曲线 • 花草树木(L系统） • Julia集 • Mandelbrot集

分形图片欣赏

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