1. SISTEMA DIÉDRICO Abatimientos 2

2. Ejercicio Nº 12.- Obtener las proyecciones diédricas de un cuadrado ABCD contenido en el plano α, siendoA'' y C'' las proyecciones verticales de dos vértices opuestos.

3. 1º Hallamos las proyecciones A’ y C’ de los puntos dados por medio de las horizontales del plano dado que pasan por A’’ y C’’.

4. 2º Abatimos el punto A’ sobre el PH por el procedimiento habitual.

5. 3º Hallamos el punto (C) por afinidad uniendo A’ con C’ hasta que corte al eje α1el punto de corte lo unimos con (A) y donde corte a la perpendicular trazada por C’ a α1resulta el punto (C).

6. 4º Como (A), (C) es la diagonal del cuadrado, construimos un cuadradotrazamos la mediatriz y con centro en el punto medio se traza una circunferencia de diámetro (A)-(C) y obtenemos los otros dos vértices (B) y (D).

7. 5º Por medio de la afinidad hallamos las proyecciones horizontales D’ y B’.

8. 6º Unimos los las proyecciones horizontales A’, B’, C’ y D’ y obtenemos la proyección horizontal del cuadrado.

9. 7º Por medio de las horizontales de plano que pasan por B’ y por D’ hallamos las proyecciones verticales de estos vértices. Unimos los las proyecciones verticales A’’, B’’, C’’ y D’’ y obtenemos la proyección vertical del cuadrado.

10. Ejercicio Nº13.- Dada la traza vertical de un plano α en el que esta situados un triángulo equilátero de lado igual a 40 mm. Un lado de este triángulo esta situado en el plano vertical de proyección y otro en el horizontal. Hallar las proyecciones diédricas del triángulo.

11. 1º Si el triángulo se encuentra en el plano α y un lado sobre el PH y otro sobre el PV por ejemplo el AC el AB respectivamente, estos tienen que encontrarse en las trazas α2 y α1respectivamente. Como vemos en la figura.

12. 2º Llevamos sobre la traza α2 el segmento A’’-B’’ a partir de la intersección de una longitud de 40 mm pues al encontrarse sobre la traza se encuentra en verdadera magnitud.

13. 3º Abatimos sobre el PV el triángulo, es decir se construye un triangulo equilátero de lado 40 mm.

14. 4º La proyección horizontal A’ y B’, se encuentran sobre la LT al estar A’’ y B’’, en la traza vertical α2.

15. 5º Como C se encuentra sobre la traza horizontal α1 del plano, la proyección vertical C’’ tiene que encontrarse sobre la LT y tiene que estar sobre la perpendicular a α2 trazada desde (C).

16. 6º Abatimos el punto (C) que como el punto C se encuentra sobre la traza α1, en realidad el lado (A)-(C) es la traza (α1) abatida, realizamos el procedimiento de abatir una traza en sentido inverso es decir por (C) trazamos una perpendicular al eje α2 (que ya esta trazada) por C’’ una perpendicular a la LT y con centro en A’ y radio A’-(C) un arco de circunferencia que corta a la perpendicular en el punto C’ que resulta la proyección horizontal de C y un punto de la traza α1 .

17. 7º Unimos las puntos A’, B’,C’ y A’’, B’’,C’’ y se obtiene la proyección horizontal y la vertical del triángulo pedido.

18. Ejercicio Nº 14.- Determinar la proyección vertical y la verdadera magnitud de un cuadrilátero situado en un plano α perpendicular al 2º bisector conociendo la proyección horizontal A',B',C' y D'

19. 1º Hallamos las proyecciones verticales B’’ y D’’ de los vértices, como B’ se encuentra sobre la LT, B’’ estará sobre la traza vertical α2, como D’ se encuentra sobre la traza horizontal α1,D’’ estará sobre la LT.

20. 2º Como el lado C’-B’ es paralelo a α1 el lado C’’-B’’ será paralelo a la LT resulta una horizontal de plano.

21. 3º Por A’ trazamos la frontal de plano que nos determina la proyección vertical A’’.

22. 4º Unimos A’’,B’’,C’’y D’’ y obtenemos la proyección vertical del cuadrilátero.

23. 5º Abatimos el punto A sobre el PV y obtenemos (A).

24. 6º Por afinidad obtenemos el punto (D), por D’’ trazamos una perpendicular al eje, unimos (A) con el punto de corte del eje y del segmento A’’-D’’ y el punto de corte con la perpendicular anterior resulta el punto (D).

25. 7º Por afinidad obtenemos el punto (C), por C’’ trazamos una perpendicular al eje, unimos (A) con el punto de corte del eje y del segmento C’’-A’’ y el punto de corte con la perpendicular anterior resulta el punto (C).

26. 8º Unimos los puntos (A),(B),(C) y (D), y obtenemos la verdadera magnitud del cuadrilátero.

27. Ejercicio Nº 15.- Hallar las proyecciones y el tercer vértice de un triángulo equilátero ABC del que se conocen las proyecciones de un lado A'-B' y el plano que los contiene α. Sabiendo que el vértice C tiene mayor cota que los dados.

28. 1º Por medio de las frontales del plano α que pasan por las proyecciones A’ y B’ hallamos las proyecciones verticales A’’ y B’’.

29. 2º Hallamos el punto (A), abatiendo sobre el vertical, por A’’ trazamos una paralela y una vertical sobre la paralela llevamos el alejamiento y con centro en el punto de intersección trazamos un arco que corta a la perpendicular en el punto (A).

30. 3º Por afinidad determinamos el punto (B), prolongamos A’’-B’’ hasta que corte al eje en el punto 1 unimos este con (A) por B’’ trazamos una perpendicular al eje que corta a la recta anterior en el punto (B), que es el punto buscado.

31. 4º Construimos el triángulo equilátero de lado (A)-(B), hallando el vértice (C). Que resultara el de mayor cota.

32. 5º Aplicamos una afinidad ortogonal sobre el eje α2hallamos el punto B’’. Prolongamos el lado (C)-(B) hasta que corte al eje en el punto 2, unimos el punto 2 con B’’, por (C) trazamos una perpendicular al eje que corta a la recta anterior en el punto C’’.

33. 6º Por medio de una horizontal de plano que pasa por la proyección vertical C’’ hallamos la proyección horizontal C’.

34. 8º Unimos los puntos A’-B’-C’, y A’’-B’’-C’’, obtenemos la proyección horizontal y vertical del triángulo.

35. Ejercicio Nº 16.- Sabiendo que el triángulo ABC pertenece al plano α, se pide : Hallar la traza horizontal α1, la proyección vertical y la verdadera magnitud del triángulo así como la distancia del circuncentro a la traza α1.

36. 1º Hallamos la traza horizontal α1 del plano, por el punto 1’’ trazamos una perpendicular a la LT que la corta en el punto 1’, con centro en O trazamos una circunferencia de radio O-1’’ que corta en (1) a la traza abatida (α2) en (1), unimos (1) con 1’ y trazamos la perpendicular desde O a (1)-1’ que resulta la traza horizontal α1.

37. 2º Hallamos las proyecciones verticales de los puntos A’,B’ y C’ mediante las horizontales de plano que pasan por los puntos A’,B’ y C’ que nos determinan los puntos A’’,B’’ y C’’ que son las proyecciones verticales de los vértices del triángulo.

38. 3º Unimos los puntos A’’, B’’y C’’ y obtenemos la proyección vertical del triángulo.

39. 4º Abatimos sobre el plano horizontal el punto B’-B’’, por B’ trazamos una paralela y una perpendicular a la charnela α1 sobre la paralela llevamos la cota del punto, haciendo centro en 2 trazamos un arco de radio 2-3 que corta a la perpendicular en el punto abatido (B).

40. 5º Hallamos los otros puntos abatidos (A) y (C) por afinidad prolongamos A’-B’ hasta que corte al eje en el punto 4, unimos este con el (B) y donde corte a la perpendicular trazada por A’ obtenemos el punto (A) de la misma manera se obtiene el punto (C).

41. 6º Unimos las proyecciones abatidas (A), (B), (C) y obtenemos el triángulo en verdadera magnitud.

42. 7º Hallamos el circuncentro (O) del triangulo, por medio de las mediatrices de los lados (A)-(B) y (B)-(C), que se cortan en (O) que es el punto buscado.

43. 7º Hallamos las proyecciones horizontal y vertical del circuncentro (O) del triangulo puntos O’ y O’’ y la distancia a la traza α1que es la perpendicular desde (O) a la traza α1.

44. Ejercicio Nº 17.- Determina los puntos de intersección de una circunferencia de centro C y radio 30 mm con una recta r dada por sus proyecciones. No es necesario dibujar las proyecciones de la circunferencia.

45. 1º Como la circunferencia y la recta tienen que estar en el mismo plano y que un punto y una recta determinan un plano. Por el punto C trazamos una recta sque corte a la recta dada r en nuestro caso trazamos una horizontal de plano, por C’’ trazamos la horizontal s’’ que corta a r’’ en el punto 1’’, por este punto trazamos una perpendicular a la LT que nos determina la proyección horizontal 1’, unimos C’ con 1’ y tenemos la proyección horizontal s’ de la recta.

46. 2º Hallamos las trazas verticales de la recta r’-r’’ y s’-s’’Vr y Vs respectivamente que nos determina la traza vertical α2 del plano, prolongamos esta hasta que corte a la LT por el punto de corte trazamos la traza α1 que es paralela a la proyección horizontal s’ de la recta s’-s’’. ( También podríamos hallar la traza horizontal Hr de la recta r’-r’’)

47. 3º Abatimos sobre el PH el punto C’-C’’ centro de la circunferencia, por C’ trazamos una paralela y una perpendicular a la traza horizontal α1 del plano (charnela o eje de abatimiento), sobre la paralela llevamos la cota del punto C (22 mm) y con centro donde la perpendicular corta a la charnela y radio hasta el punto anterior trazamos una arco que corta a la perpendicular en el punto (C) que resulta el centro abatido.

48. 4º Abatimos la recta r’-r’’ tomamos la traza Vr y repetimos el mismo procedimiento que para el punto C’-C’’ trazamos una paralela y una perpendicular a la traza horizontal α1 del plano (charnela o eje de abatimiento), sobre la paralela llevamos la cota del punto Vr y con centro donde la perpendicular corta a la charnela y radio hasta el punto anterior trazamos una arco que corta a la perpendicular en el punto (Vr) que resulta la traza abatida. Trazamos la circunferencia de radio 30 y unimos (Vr) con el punto de corte de r’ con el eje α1 .

49. 5º Los puntos de corte de la recta y la circunferencia son los puntos (A) y (B).

50. 6º Hallamos A’ y B’, y trazando por (A)y (B) perpendiculares al eje de abatimiento o charnela α1 que al cortarse con r’ determinan las proyecciones horizontales A’ y B’.