习题课

习题课 一、选择题 1．一弹簧振子，当它水平放置时，可以做简谐振动，若把它竖直悬挂或放置在光滑斜面上，试判断下面哪一种情况是正确的 [ C ] A：竖直放置可以作简谐振动，放置在斜面上不能作简谐振动； B：竖直放置不能作简谐振动，放置在斜面上可以作简谐振动； C：两种情况都可以作简谐振动； D：两种情况都不能作简谐振动。

y x 2．一个弹簧振子振幅为 ,当时振子在处，且向正方向运动，则振子的振动方程是：[ A ] A： B： C： D：

x O v（m/s） 3．用余弦函数描述一简谐振动，若其速度与时间（v—t）关系曲线如图示，则振动的初相位为：[ A ] A B： C： D：； E： t（s）解：振动速度为：所以或

4．一个弹簧振子简谐振动的固有周期是为T1，一个单摆简谐振动的固有周期为T2，在地球上有T1=T2将它们放在月球上，它们的周期关系是：[ B ] A：T1=T2 B：T1<T2 C：T1>T2 D：无法确定 5．下列运动不是简谐运动的是 [ A ] A：完全弹性球在硬地面上的跳动； B：匀速圆周运动的质点在x轴上的投影点的运动； C：如图所示，一球沿半径很大的光滑凹球面滚动(设球所经过的弧线很短)； D：竖直悬挂的弹簧上挂一重物，把重物从静止位置拉下一段距离(在弹性限度内)，然后放手任其运动。

A: B: 6．弹簧振子由轻弹簧k和质量为m的物体构成，将振子按如图三种情况放置，如果物体做无阻尼的简谐振动，则它们振动周期的关系为： [ B ] D: C: 不能确定

3 5 x 1 2 6 4 1．有一放置在水平面上的弹簧振子。振幅 A = 2.0×10－2m 周期 T = 0.50s , 根据所给初始条件,作出简谐振动的矢量图 , 并写出振动方程式或初位相。二、填空题 (1) t=0时物体在正方向端点，其振动方程为（2）t=0时物体在负方向端点，其初位相为（3）t=0时物体在平衡位置，向负方向运动，其初位相为（4）物体在平衡位置，向正方向运动，其初位相为（5）物体在x = 1.0×10－2m 处向负方向运动，其初位相为（6）物体在x = 1.0×10－2m 处向正方向运动，其初位相为

3．有一单摆，摆长为1 m ，最大摆角5°，则摆角的角频率，周期T = 2.00 s。设开始时在正向摆角最大，此单摆振动方程（rad）。当摆角为3°时，此时，摆的角速度 = -0.219rad .s-1。摆球线速度V=- 0.219m.s-1。解： 2．一竖直悬挂的弹簧振子，平衡时弹簧的伸长量为x0，此振子自由振动的周期为

当时， 4．简谐振动的总能量是E，当位移是振幅的一半时，解： 5．物体作简谐振动，振动方程为，t = T/ 4（T为周期）时刻，物体的加速度为：

o a b 1题图 x 三、计算题 1．一立方形木块浮于静水中，其浸入部分高度为 a。今用手指沿坚直方向将其慢慢压下，使其浸入部分的高度为 b ，然后放手让其运动试证明，若不计水对木块的粘滞阻力，木块运动是简谐振动并求出周期及振幅。（提示：建立坐标系如图，写出木块对平衡位置位移为 x时的动力学方程。）证明,选如图坐标系:，静止时

o a b 1题图 x 任意位置时的动力学方程为： ------(2) 将(1)代入(2)得令，则上式化为：令上式是简谐振动的微分方程,它的通解为: 所以木块的运动是简谐振动.

时，振动周期: 振幅:

A1 x A2 2．两个谐振子在同一直线上做同频率、同振幅振动。第一个谐振子振动表达式为当第一个振子从正方向回到平衡位置时，第二个振子恰在正方向位移的端点。求：两振子振动相差，并写出第二个振动的方程式。解:两振子振动相差可由旋转矢量得到：第二个振子比第一个振子落后了所以第二个振动的方程式为：

v k M m 3．如左图示，质量为10g 的子弹，以500ms-1的速度射入木块中，使弹簧压缩从而作简谐振动，若木块质量为4.99kg ，弹簧劲度系数为8×10 3 Nm-1，若以弹簧原长时物体所在处为坐标原点，向左为 x轴正方向，写出简谐振动方程。解：第一阶段是碰撞过程, 此过程进行得很快，认为此阶段弹簧还没有变形,则此阶段动量守恒: 第二阶段是弹簧的振动阶段，而且初始条件为：

A x 得：振子的角频率为所以有：在t=0时,振子向右(负方向)运动，所以：振子的方程:

h k M 4．如下图示：弹簧振子（k、M）光滑平面上作谐动，振幅为 A。一质量为 m的粘土，从高处自由落下粘在 M上，（1）则振子的振动周期变为多少？。（2）若粘土是在 M通过平衡位置时落在其上的，则其后振动振幅与原振幅 A比是多少？（3）若粘土是在 M通过最大位移时落在其上的，则其后振动振幅与原振幅 A之比为多少？：解：（1）周期变为：（2）若黏土在M通过平衡位置时落在其上：落在其上的过程看成是碰撞过程，在水平方向无外力，动量守恒：设碰前速率是v ，碰后速率是v’

所以初始条件为： 则有：原来的振幅为：所以：

（3）若粘土是在 M通过最大位移时落在其上的，落在其上的过程看成是碰撞过程，在水平方向无外力，动量守恒：设碰前速率是0，碰后速率也是0，所以初始条件为：

x 1= 0.05cos (10 t + 0.75π） 5．已知两同方向，同频率的简谐振动的方程分别为求： (1) 合振动的初相及振幅. (2) 若有另一同方向、同频率的简谐振动x3 = 0.07cos (10 t +φ3）则当φ3为多少时 x1 + x 3的振幅最大?又φ3为多少时x2 + x 3的振幅最小? 解：（１）由：得：

（２）当⊿φ=2kπ时，合振幅最大；当⊿φ=（2k+1）π时，合振幅最小，所以（２）当⊿φ=2kπ时，合振幅最大；当⊿φ=（2k+1）π时，合振幅最小，所以振幅最大，当时，时，当振幅最小。

6．当重力加速度 g改变dg 时，单摆周期 T的变化 dT是多少？找出dT/T与dg/ g的关系式。一只摆钟在 g = 9.80m .s-1处走时准确 , 移到另一地点 , 每天快10 s 。问该地重力加速度是多少？解：周期：两边全微分每天快10 s，也就是dT=-10s，代入上式得：

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