Relaciones entre los conjuntos y permutaciones entre sus elementos

1. República Bolivariana de VenezuelaMinisterio del Poder Popular para la Defensa Universidad Nacional Experimental Politécnica de las Fueras Armadas Relaciones entre los conjuntos y permutaciones entre sus elementos Alumnos: Briceño Mariugenea Hernández Lucy Cybak Miguel Romero Aída Guacara, Octubre de 2009

2. Principios Básicos: Principio de Multiplicación Principio de Adición Principio de Exclusión y Exclusión Permutaciones Permutaciones con repetición Selecciones Relación entre r-permutaciones y r-combinaciones Permutaciones Selecciones con repetición Equivalencias de Números Combinatorios Relaciones sobre conjuntos Funciones

3. Principios Básicos • Principio de Multiplicación Sean A1,A2,…, An conjuntos finitos, entonces |A1 x A2 x … x An| = |A1| . |A2| …. . |An| Ej: Tomemos 2 conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } ; | A | = 10 ; B = { a, b, c, d, e, f } ; | B | = 5 Supongamos que quiero saber todos las posibles conjuntos formados por 1 elemento de A y otro de B, por ej: { 3, b }, { a, 2 }. O visto desde lenguajes formales cual es la cantidad de posibles cadenas formadas por primero un elemento de A y después un elemento de B, Ej: “3b”, “2a”, “9c”, “3c". Existen 10 elementos en A y 5 en B por lo que la solución es: | A | x | B | = 50 • Principio de Adición Sean A1,A2,…, An conjuntos finitos y disjuntos, entonces |A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An| = |A1| + |A2| + …. + |An| Ej: Supongamos que tengo que elegir un elemento de A o de B (del ejemplo anterior). Como |A| = 10 y |B| = 5 y A ∩ B = ∅ entonces |A ∪ B| = 15, o sea que existen 15 posibles elementos que puedo elegir. • Principio de Exclusión y Exclusión Si A1, A2 son conjuntos finitos pero no disjuntos. Entonces |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B| Esto se generaliza para la unión de varios conjuntos.

4. Permutaciones Supongamos que quiero calcular la cardinalidad del conjunto G formado por las cadenas de 3 caracteres formadas por elementos de C= {n, m, p} tales que no se repita nunca ningún elemento: { “nmp”, “npm”, “mnp”, “mpn”, “pmn”, “pnm” }. Por el principio de multiplicación, Existen 3 posibilidades para el primero, luego como no se repiten 2 para el segundo y 1 para el tercero. | G | = 3! = 6 La forma de poner n objetos en orden es: P(n, n) = n! • R-Permutaciones Supongamos ahora que quiero saber la cardinalidad del conjunto H formado por todas las cadenas de 3 caracteres formadas por elementos de A= { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } sin que se repita nunca ningún elemento. Hay 10 posibilidades para el primer espacio, 9 para el segundo y 8 para el tercero, por lo que: | H | = 10!/7! El número de permutaciones de r objetos de n en orden pero sin repetición es: P(n, r) = n ! /(n - r!) • Permutaciones con repetición Supongamos que quiero saber la cardinalidad del conjunto formado por todas las cadenas de 3 caracteres formadas por elementos de A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } en las que se puedan repetir los elementos. Por la regla del producto existen 10 posibilidades para el primer carácter, 10 para el segundo y 10 para el tercero, por lo que el resultado es 103. • El número de permutaciones de r objetos de n en orden con repetición es: nr

5. Selecciones • r-combinaciones Una r-combinación de elementos de un conjunto es una selección sin ordenar de r elementos del conjunto, es decir, de subconjuntos de r elementos. El número de r-combinaciones de n elementos, donde n es un entero no negativo y r es un entero tal que 0 <= r <= n es: C(n, r) = ( n/r) =n!/r!.(n-r)! Ej: Supongamos que quiero calcular la cardinalidad del conjunto J formado por todos los posibles subconjuntos de 2 elementos que contienen elementos de D = {w, x, y, z}, C(4,2) = 6, ya que J = { {w, x}, {w,y} , {w,z}, {x, y}, {x, z}, {y, z}}. • Relación entre r-permutaciones y r-combinaciones Las r-permutaciones de un conjunto de cardinalidad n se pueden obtener formando las C(n,r) r-combinaciones del conjunto ( o sea todas los posibles subconjuntos de tamaño r formados por los n elementos del conjunto ) y luego ordenando estos elementos de todas las formas posibles, como cada subconjunto tiene tamaño r esto puede hacerse de P(r, r) formas de lo que sigue que: P(n, r) = C(n, r) . P(r, r)

6. Selecciones con repetición En un conjunto con n elementos hay C(n + r - 1, r) combinaciones con repetición. Ej: Supongamos que en un grupo de monedas hay 3 tipos distintos de 1, 5 y 10 centavos y hay por lo menos 5 de cada una de ellas. Cuantos posibles combinaciones de 5 monedas es posible extraer de este grupo? Es importante recalcar que las monedas de cada valor son indistinguibles entre si y no importa el orden en que se seleccionan las monedas, por lo que hay 5 combinaciones con repetición de 3 elementos. Supongamos que cuando elejimos las monedas las metemos en una caja con 3 compartimentos, 1 para cada tipo de moneda, entre cada compartimento hay una barra que las separa, de esta manera algunas de las posibles combinaciones podrian representarse como: ** | * | ** * | | **** |*****| ***|*|* …. etc. Se ve que el numero de seleccionar 5 monedas de entre 3 tipos distintos corresponde al numero de formas de colocar 2 barras y 5 asteriscos. Por lo que el número de formas de seleccionar las monedas es equivalente al número de formas de seleccionar 5 asteriscos de entre 7 posiciones posibles, que se puede hacer de C(7, 5) maneras.

7. Equivalencias de Números Combinatorios • (0/0)=0!/0!.0!=1 • (n/0)=n!/0!.n!=1 • (n1)=n!/1!.n!=1 • (n/n)=n!/0!.n!=1 Números combinatorios complentarios • (nk)=n!k!.(n-k)!=n!(n-k)!.k!=(nn-k)

8. Funciones Definición de Función: Sea F una relación de A en B. F es una función si se cumple que: F: A -> B <=> ∀a ∈ A( ∃b ∈ B ( (a, b) ∈ F ∧ ( (a, c) ∈ F => b = c))) Coloquialmente para todo elemento de A existe un elemento de B tal que (a, b) ∈ F y este elemento es unico. Considerando esto se suele expresar el valor de f en a es b o en simbolos:f(a) = b Composición de Funciones Sean f: A -> B y g: B -> C, entonces (g o f) (a) : A -> C es equivalente a g ( f (a) ) . Funciones inyectivas (uno a uno) f es inyectiva si se cumple que: ∀a1 ∈ A ( ¬∃ a2 ∈ A ( f(a1) = f(a2) ) Funciones suryectivas f : A -> B es suryectiva si se cumple que: ∀b ∈ B( ∃ a ∈ A( f(a) = b) ) Función inversa Si f: A -> B es inyectiva y suryectiva se cumple que: * f-1: B -> A también es función. * (f o f-1) = IA * (f-1 o f) = IB Donde IC es la función identidad de C, I: C -> C tal que ∀ c ∈ C ( I(c) = c) ).