PROBABILIDAD

1. PROBABILIDAD TEMA 14 Apuntes de Matemáticas 3º ESO

2. UNIÓN E INTERSECCIÓN DE SUCESOS TEMA 14.6 * 3º ESO Apuntes de Matemáticas 3º ESO

3. Sucesos incompatibles • 5.- SUCESOS INCOMPATIBLES • Si A y B son sucesos incompatibles( no se pueden dar a la vez ) la probabilidad de AUB es la suma de las probabilidades. • Al no poder darse a la vez, no hay intersección, no hay elementos comunes: • A∩B = Ø • Podemos poner: • P(A U B) = P(A) + P(B) • Ejemplos • 1.- Al extraer una carta de una baraja, que el resultado sea oro o copa. • P(O U C) = P(O) + P(C) = (10/40) + (10/40) = 0,25 + 0,25 = 0,5 • 2.- Al lanzar un dado al aire, que el resultado sea un 5 ó un 6. • P(5 U 6) = P(5) + P(6) = (1/6) + (1/6) = 0,166667 + 0,166667 = 0,333333 Apuntes de Matemáticas 3º ESO

4. Sucesos compatibles • 6.- SUCESOS COMPATIBLES • Si A y B son sucesos compatibles (se pueden dar a la vez) la probabilidad de AUB es la suma de las probabilidades menos el producto de las mismas. • Al poder darse a la vez, hay intersección, hay elementos comunes: • A∩B ≠ Ø • Debemos poner: • P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A).P(B) • Ejemplo 1 • Al extraer una carta de una baraja, que el resultado sea un oro o una figura. • P(O U F) = P(O)+P(F) - P(O).P(F) = • = (10/40)+(12/40) - (10/40).(12/40) = 0,475 • Vemos que hay tres figuras de oros. El producto P(O).P(F) representa las tres figuras que se repiten, que son idénticas. Apuntes de Matemáticas 3º ESO

5. Ejemplo 2 • Hallar la probabilidad de que al extraer una carta de una baraja el resultado sea un oro o un rey. • P(O)=10/40=0,25 • P(R) =4/40=0,10 • P(OUR)=P(O)+P(R) - P(O).P(R) • P(OUR)=0,25+0,10 – 0,25.0,10 • P(OUR)=0,35 – 0,025 • P(OUR)=0,325 E 27 cartas más R • 1 2 3 Rc • 4 5 Re • 7 Ro Rb • So Co O Apuntes de Matemáticas 3º ESO

6. Ejemplo 3 • Un cazador, A, acierta 3 veces de cada 5 disparos. Otro cazador, B, acierta 4 veces de cada 8 disparos. Salen los dos a cazar y disparan a una pieza al unísono. Hallar la probabilidad de que … • a) Acierten el disparo los dos. • b) La pieza sea cazada. • c) La pieza resulte libre. • a) Los sucesos son compatibles, pues pueden acertar los dos. • P(A) = 3/5 = 0,60 • P(B) = 4/8 = 0,50 • P(AΛB) = P(A).P(B) = 0,60.0,50 = 0,30 • b) La pueden acertan A, B o ambos. • P(AUB)=P(A) + P(B) – P(A).P(B) = • = 0,60 + 0,50 – 0,30 = 1,10 – 0,30 = 0,80 • Si no restamos el producto ( por ser compatibles) observar que la suma nos hubiera dado 1,10, lo cual es un valor imposible en probabilidad. • c) Resultar libre es lo contrario de resultar cazada. • P(L) = 1 – P(C) = 1 – 0,80 = 0,20 Apuntes de Matemáticas 3º ESO

7. Ejemplo 4 • La probabilidad de que Ana apruebe Matemáticas es del 55% y de que apruebe Física es del 35%. Hallar la probabilidad de que … • a) Apruebe las dos. • b) Apruebe Matemáticas, Física o ambas. • c) No apruebe ninguna. • d) Apruebe sólo Matemáticas. • a) Los sucesos son compatibles, pues puede aprobar ambas. • P(Matemáticas) = P(M) = 55% = 55/100 = 0,55 • P(Física) = P(F) = 35% = 35/100 = 0,35 • P(MΛF) = P(M).P(F) = 0,55.0,35 = 0,1925 • b) Que apruebe M, F o ambas. • P(MUF)=P(M) + P(F) – P(M).P(F) = • = 0,55 + 0,35 – 0,1925 = 0,9000 – 0,1925 = 0,7075 • c) Que no apruebe ninguna: • P(Ninguna) = 1 – P(Alguna o ambas) = 1 – 0,7075 = 0,2925 • d) Que apruebe sólo Matemáticas: • P(MΛNF) = P(M).P(NF) = P(M).[1 – P(F)] = 0,55.(1 – 0,35) = 0,3575 Apuntes de Matemáticas 3º ESO

8. FAMILIA A • Ejemplo 5 • Una vivienda rural es compartida por tres familias, A, B y C. • Ocupan el 55%, el 40% y el 30% de la vivienda respectivamente. Hay espacios comunes a dos y a las tres familias. • Hallar la probabilidad de que eligiendo un lugar al azar: • a) Coincidan A y B • b) Coincidan A y C • c) Encontremos B o C • d) Encontremos A o C • e) Encontremos A, B o C FAMILIA B FAMILIA C Apuntes de Matemáticas 3º ESO

9. Resolución • Aunque no nos lo hubiera indicado el enunciado, hay zonas comunes, pues en total no pueden ocupar el 55+40+30 =125% de la vivienda. • a) Coincidan A y B • P(A∩B)=P(A).PB)= 0,55.0,40=0,22 • b) Coincidan A y C • P(A∩C)=P(A).P(C)= 0,55.0,30=0,165 • c) Encontremos B o C • P(BUC)=P(B)+P(C) - P(B).P(C)= 0,40+0,30 – 0,40.0,30 =0,58 • d) Encontremos A o C • P(AUC)=P(A)+P(C) - P(A).P(C)= 0,55+0,30 – 0,55.0,30 =0,685 • e) Encontremos A , B o C • P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C) - P(A).P(B) - P(B).P(C) – P(A).P( C) + • + P(A).P(B).P(C) = • = 0,55+0,4+0,30 – 0,22 – 0,12 – 0,165 + 0,55.0,4.0,30 = 0,811 Apuntes de Matemáticas 3º ESO

10. Tablas de contingencia • Son muy usadas en problemas donde se precisa organizar los datos para calcular probabilidades. • En general los sucesos a trabajar son incompatibles entre sí, aunque estén relacionados. • Ejemplo_1 • En la presente tabla de contingencia, hallar la probabilidad de que elegido un alumno al azar, este sea: • a) Chico. • b) Chica. • c) Chico en ESO • d) Chica en ESO • e) Chico en Bachillerato • d) Chica en Bachillerato. • d) Alumno en ESO • e) Alumno en Bachillerato Chico Chica ESO 145 130 275 BACH 50 75 125 195 205 400 Apuntes de Matemáticas 3º ESO

11. Resolución • a) Chico. • P(A)=195/400=0,4875 • b) Chica. • P(B)=205/400=0,50125 • c) Chico en ESO • P(C)=145/400=0,3625 • d) Chica en ESO • P(D)=130/400=0,325 • e) Chico en Bachillerato • P(E)=50/400=0,125 • f) Chica en Bachillerato. • P(F)=74/400=0,185 • g) Alumno en ESO • P(G)=275/400=0,6875 • h) Alumno en Bachillerato • P(H)=125/400=0,3125 Chico Chica ESO 145 130 275 BACH 50 75 125 195 205 400 Apuntes de Matemáticas 3º ESO

12. Ejemplo_2 • En la presente tabla de contingencia sobre la dedicación preferente del tiempo libre de los alumnos de un instituto, hallar la probabilidad de que: • a) Sea chico y se dedique al deporte. • b) Sea chica y se dedique a la lectura o los juegos. • c) Se dedique a ver Cine/TV • d) Se dedique a la música. • Resolución • P(A)= 60/400 = 0,15 • P(B)=45/400 + 10/400 = • =55/400 = 0,1375 • P(C)= 60/400=0,15 • P(D)=175/400 =0,4375 Chico Chica Música 55 120 175 Deporte 60 15 75 Lectura 20 45 65 Juegos 15 10 25 Cine/TV 45 15 60 195 205 400 Apuntes de Matemáticas 3º ESO