Modelos booleanos de regulación genética

1. Modelos booleanos de regulación genética

2. Extendiendo el paradigma Redes de regulación qué es qué modelos booleanos atractores, transientes, grafo de transiciones arabidopsis kauffman, el applet otros tipos de redes biológicas Importancia topología Motifs, redes complejas

3. célula muscular neurona hematocitos Redes de regulación A pesar de tener el mismo genoma, las células pueden ser muy distintas. Además, puede estar haciendo cosas distintas en un momento y en otro.

4. Cytoplasm cis sites Transcription Factors Intracellular Signaling Genetic Regulatory Network mRNA Translation + processing Nucleus Receptors Ion Channels Extracellular space Ligands ELECTROPHYSIOLOGY Redes de regulación • Lo que distingue la naturaleza y estado de una célula son las moléculas que contiene. • En relación al genoma, lo que interesa es qué genes están siendo expresados, y en qué cantidad.

5. Redes de regulación • Para modelar la relación entre todas esas entidades, se han propuesto diversos modelos, con distintos: • Niveles de continuidad (variables binarias, discretas, continuas) • Niveles de estocasticidad (deterministas o probabilistas) • ...que a su vez los hacen diferir en • Realismo • Cantidad de parámetros (cantidad de datos!) • Así que hay desde redes booleanas hasta ecuaciones diferenciales parciales estocásticas.

6. Redes de regulación • En estos modelos las entidades pueden ser: • Moléculas (proteínas, RNA, etc.) • Componentes celulares • Condiciones ambientales • Reacciones químicas • Etc.

7. Redes de regulación • Y las interacciones pueden ser: • Transformación en una reacción • Relación catalítica • Regulación de transcripción • Regulación de traducción • Activación / desactivación • Etc...

8. Redes de regulación

9. Redes de regulación Para entender una célula, habría que entender algo así:

10. Redes de regulación Aún estamos muy lejos.  Los modelos funcionales hoy en día no pasan en general de una docena de nodos (entidades). Para hacernos una idea del tipo de comportamiento y dificultades que aparecen, hablaremos del tipo más simple de modelo: redes booleanas.

11. AND NAND NOT Redes booleanas Asumimos: -estados binarios para las entidades (nodos) -funciones booleanas para las relaciones Por lo general también se asume iteración paralela (todos los nodos se actualizan al mismo tiempo).

12. Redes booleanas • Ventajas: • Permiten analizar comportamientos cualitativos de la red • Su construcción requiere relativamente pocos datos. • Desventajas: • No es cuantitativo • No puede modelar señales con intensidad variable • Ergo, no es realista. • Es difícil incluir el “ruido” (azar) del sistema vivo.

13. Redes booleanas • Ventajas: • Permiten analizar comportamientos cualitativos de la red • Su construcción requiere relativamente pocos datos. • Desventajas: • No es cuantitativo • No puede modelar señales con intensidad variable • Ergo, no es realista. • Es difícil incluir el “ruido” (azar) del sistema vivo.

14. Redes booleanas Las redes booleanas son el caso más simple de redes de autómatas (MEF puestas en un grafo). Las podemos ver como un digrafo (G,V) con estados booleanos en los nodos, y funciones de actualización que dependen de los nodos incidentes. O como funciones F:{0,1}n{0,1}n. Modo de iteración: en el caso más simple, es paralelo (síncrono)  todos los nodos se iteran a la vez, así que simplemente se aplica F.

15. Redes booleanas Como el sistema es finito, siempre caemos en ciclos de algún largo p (es decir, un punto fijo de Fp). Y podemos visualizar ciclos y transientes haciendo el grafo de transiciones del sistema. f1 = x4 f2 = x4  x3 f3 = x2 x4 f4 = x2 x1 x3

16. Grafo de transiciones

17. Grafo de transiciones

18. Grafo de transiciones • Nota: la cantidad de estados del sistema es 2n • crece exponencialmente con n Hay una serie de problemas NP duros asociados a la dinámica. • Por ejemplo: dada una RB, encontrar un punto fijo. •  NP completo.

19. Modos de iteración • Aparte de la iteración más simple (paralela, determinística), se usan varias alternativas. • Iteración secuencial: iteramos primero el nodo 1, luego el 2, ..., hasta el n-ésimo, y luego volvemos al 1. • Iteración por bloques: le asignamos a cada nodo un bloque de iteración, y ponemos un orden a esos bloques. Iteramos los bloques uno después de otro, pero cada bloque se itera en paralelo.

20. Modos de iteración • Eso agota las opciones determinísticas que iteran todos los nodos 1 y sólo 1vez por vuelta. • Alternativas probabilistas: • Iteración asíncrona: en cada paso escogemos un nodo al azar y lo iteramos. • Combinaciones varias.

21. Modos de iteración • Nota: • los puntos fijos no dependen del modo de iteración. • Ergo, el cambio en el modo de iteración afecta sólo los ciclos y transientes del sistema. • En lo que sigue asumiré iteración paralela, salvo que se indique otra cosa.

22. Tipos de funciones • Conviene distinguir algunos tipos de funciones booleanas que aparecen al modelar (y le dan a la red dinámicas particulares). • Funciones de umbral: se pueden escribir como donde los wij son pesos y los i son umbrales. Es el tipo de función que aparece en las redes neuronales discretas.

23. Tipos de funciones Funciones canalizadoras: existe algún input que, con un valor, determina el resultado. Si está en el otro valor, no lo determina. • Canalizadoras anidadas: existe un orden en los inputs; uno es canalizador, en su defecto el siguiente lo es, etc. • En general las funciones canalizadoras aumentan la estabilidad de la dinámica.

24. Tipos de funciones Una red canalizadora anidada f1 = x4 f2 = x4  x3 f3 = x2 x4 f4 = x2 x1 x3

25. Tipos de funciones • Funciones monótonas: fi es monótona en el input j si se verifica siempre o si se verifica siempre la desigualdad contraria (monótona creciente, o decreciente). Una red en que todas las funciones son monótonas en todos sus argumentos tiene la gracia de que se pueden asociar signos a los arcos: el efecto de un nodo sobre otro siempre es, ora positivo (+1), ora negativo (-1). Nota: tanto las funciones de umbral como las canalizadoras son monótonas.

26. Tipos de funciones • Ejemplo de red con funciones monótonas: f1 = x2 f2 = (x1  x3) f3 = x1 (x2  x3) Un circuito de largo L es un camino cerrado en el grafo: xc(1)xc(2)...xc(L), (xc(i),xc(i+1))V para todo i, (xc(L),xc(1))V Así que tiene L nodos, y L arcos. Es simple si no repite nodos.

27. Circuitos positivos y negativos Circuitos simples: Negativos: 1  2 1  3  2 2  3 Positivos: 3 Decimos que un circuito es positivo si el producto de los signos de sus arcos es +1, y negativo en caso contrario.

28. Circuitos positivos y negativos • Un circuito representa una acción de un estado sobre si mismo (feedback loop). • La presencia de circuitos positivos está asociada a la existencia de atractores múltiples (en un atractor, el nodo está "bajo" y se refuerza así; en el otro, está "alto") • "multiestacionaridad" La presencia de circuitos negativos está asociada a la estabilidad (si el valor está alto, tiende a bajo, y viceversa)  "homeostasis"

29. Problemas de estudio típicos • Algunos problemas clásicos: • Analizar la dinámica (atractores, estabilidad, etc.) de una red dada. • Estudio estadístico de clases de redes (definidas a través de su conectividad, topología, tipo de funciones, etc.) • Reconstrucción de redes a partir de información parcial sobre su dinámica (atractores, algunas interacciones, ...)

30. Redes booleanas aleatorias Estudio estadístico clásico: Random Boolean Networks (RBN), o "redes de Kauffman".  Stuart Kauffman, ~1969 Las redes son determinísticas.  Lo "random" viene de su generación aleatoria, para estudiar estadísticamente el comportamiento.

31. Redes booleanas aleatorias • Preguntas (entre otras): • ¿Qué tanta estabilidad sale de la estructura de la red? • Entender los roles relativos del azar y de la selección natural en la construcción de las GRN. • Modelo NK: • N nodos • K inputs por nodo (desde otros nodos), al azar • Funciones booleanas escogidas al azar • Para N=8, k=2, ~270 redes distintas (muchas equivalentes, pero aún así, hartas).

32. Redes booleanas aleatorias • Encuentra varios tipos de comportamiento: • Orden ( k = 1 ) • La mayoría de los nodos se puede perturbar, sin modificar el atractor alcanzado. • Perturbaciones pequeñas provocan cambios pequeños. • Casi todos los nodos se estabilizan rápido. • El atractor alcanzado es corto, O(1). La cantidad de atractores es O(2N).

33. Redes booleanas aleatorias • Caos ( k  3 ): • Muy sensible a perturbaciones: •  cambios pequeños se amplifican exponencialmente. • Pocos nodos se estabilizan. • Pocos atractores, pero largos: O(2N) • [recordar que 2N es el tamaño del espacio de configuraciones, "espacio de fase" para los físicos]

34. Redes booleanas aleatorias • Pero para k = 2: • Sensibilidad intermedia a perturbaciones: •  Algunos cambios afectan poco, otros afectan harto. • Muchos nodos se estabilizan, pero persisten "zonas de actividad". • [Si se dibuja la red poniendo cerca los nodos que están linkeados, lo que se ve son "islas" de actividad dentro de un "mar" de nodos constantes.]

35. Redes booleanas aleatorias • Pero para k = 2: • Ciclos límite no son largos, duran O(n) pasos. • Cantidad de atractores también escala como O(n). • Hay una reducción efectiva del espacio de fase: • Para n=100, de 2100 configuraciones posibles, el sistema "escoge" quedarse en ~10 atractores, de largo ~10  un conjunto de 100 configuraciones!

36. Redes booleanas aleatorias k=2 es aprox. el promedio en redes de regulación genética reales. Kauffman identifica los atractores con tipos de células, alcanzados después de la diferenciación (glóbulos blancos, neuronas, etc.), y el transiente con el proceso de desarrollo. Para las cantidades de genes, y la cantidad de tipos de células, que se estimaban en los 70, cuadraban las cantidades.

37. Redes booleanas aleatorias • Más tarde se ha visto que habían problemas: • La cantidad de tipos celulares estaba sub-estimada. • La cantidad de genes estaba sobreestimada. • Hay más formas de regulación (y más compleja) que lo que se suponía. • La topología no parece ser aleatoria, y su estructura específica parece ser relevante para la dinámica. Sobre eso, volveremos. • Pero de todos modos lo de Kauffman fue una buena aproximación, y hasta hoy es punto de referencia.

38. Redes booleanas aleatorias • ¿Qué tiene de especial k=2 ? • Un cálculo vía aproximación "mean field" (cosas de físicos, tomar el promedio de los estados y las interacciones). • Consideremos dos configuraciones iniciales X e Y que están a distancia de Hamming D. • En promedio, cada nodo controla (incide sobre) k nodos. • En promedio, las nodos que difieren entre X e Y controlan kD nodos.

39. Redes booleanas aleatorias • ¿Qué tiene de especial k=2 ? • En cada uno de esos nodos cuya preimagen diferirá entre X e Y, hay probabilidad ½ de que eso afecte el nuevo valor. • Por lo tanto en promedio los nodos que diferirán entre F(X) y F(Y) serán kD/2. •  La distancia entre Ft(X) y Ft(Y) será

40. Redes booleanas aleatorias ¿Qué tiene de especial k=2 ? • Para k<2, las órbitas se acercan. • Para k>2, se alejan exponencialmente. • k=2 es el valor crítico: la distancia no se mantendrá constante, pero dependerá de fluctuaciones locales no capturadas por esta aproximación mean field.

41. Redes booleanas aleatorias Nota: sólo se supuso que k era el grado promedio. Los experimentos confirman esto: basta que la cantidad promedio de inputs sea k. Complicando un poco más el modelo: Supongamos ahora que al escoger la función booleana al azar, no se toma probabilidad ½ de 1 y 0 en cada item de la tabla, sino probabilidad p de poner un 1. En tal caso k=2 ya no es crítico. Un desarrollo un poco más complicado [ver el apunte de Gross] muestra que en ese caso

42. Redes booleanas aleatorias Los dibujos ilustran la dinámica para distintos regímenes (horizontal: nodos; vertical hacia arriba: tiempo).

43. Redes booleanas aleatorias Derrida y Pomeau (1986) hicieron este análisis, y mostraron que efectivamente hay un cambio de fase en la frontera entre el orden y el caos. [En realidad lo demostraron suponiendo que las funciones se vuelven a escoger al azar a cada vuelta; sin embargo mostraron después que para N el comportamiento coincide con el usual (funciones escogidas sólo al comienzo)].

44. Redes booleanas aleatorias • ¿Por qué k=2 en las redes biológicas? ¿Por qué la vida escogió (al parecer) el borde del caos? • k>2: • la dinámica se vuelve inestable: malo para una célula! •  La selección natural lo eliminará. • k<2: • hay poca flexibilidad • poco orden, con O(2N) atractores • además, hay "espacio" para agregar conexiones •  La selección natural hara crecer k.

45. Redes booleanas aleatorias • El efecto de perturbaciones en la red (N,2) sigue leyes de potencia: • muchas con poco efecto (típicamente, entre 80 y 95%) • unas pocas con grandes efectos. • Es el régimen óptimo para el procesamiento de la información: • hay donde guardarla (a diferencia del caso caótico) • y tiene como propagarse (a diferencia del caso ordenado, donde perturbaciones pequeñas sólo provocan cambios pequeños).

46. Redes de regulación génica • Pero volviendo al caso de los genes: ¿qué tan sencillo es modelar fenómenos biológicos con RB? • Problemas: • A veces simplemente no se puede (pero en ese caso es útil demostrar que no se puede, i.e., mostrar que el comportamiento del sistema requiere un modelo de otro tipo). • Por lo general no se tiene información completa, así que hay que resolver alguna forma del problema inverso (RB, dados los atractores, y algunas interacciones conocidas).

47. Redes de regulación génica Ejemplo: cascada de la caspasa, generando apoptosis (muerte celular). Típico mono de paper biológico. ¿Bastará modelar booleanamente las interacciones?

48. Redes de regulación génica En este caso al parecer sí: el modelo "booleanizado" permitió predecir de manera efectiva el efecto de dos posibles medicamentos para intervenir en el proceso.

49. Redes de regulación génica Otro caso (un modelo "clásico"): formación de la flor en Arabidopsis thaliana Cuatro zonas, concéntricas correspondientes a los traslapes de tres genes

50. B C carpel stamen stamen carpel B A C A A petal petal sepal sepal carpel sepal carpel sepal sepal sepal sepal sepal Redes de regulación génica Fenotipos mutantes