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Aula-6 Oscilações

Aula-6 Oscilações. Plano de aula. Movimento Harmônico Simples - MHS Movimento Harmônico Amortecido - MHA Movimento Harmônico Forçado - MHF Ressonância Exemplos: outros Pêndulos. F=-kx. m. x. 0. Dinâmica do MHS. Força restauradora. Equação diferencial :. Dinâmica do MHS. Resolvendo:.

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Aula-6 Oscilações

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Presentation Transcript

  1. Aula-6Oscilações

  2. Plano de aula • Movimento Harmônico Simples - MHS • Movimento Harmônico Amortecido - MHA • Movimento Harmônico Forçado - MHF • Ressonância • Exemplos: outros Pêndulos

  3. F=-kx m x 0 Dinâmica do MHS Força restauradora Equação diferencial :

  4. Dinâmica do MHS Resolvendo: Definimos: Propomos a solução: x(t) = A cos(wt+f)

  5. F=-kx m x 0 Dinâmica do MHS Posição:x(t) = A cos(t + ) Velocidade: v(t) = -A sin(t + ) Aceleração:a(t) = -2A cos(t + ) xMAX = A vMAX = A aMAX = 2A

  6. z q L m d mg Pêndulo Simples • Torque - eixo de rotação z : • t= -mgd=-mgL senq » -mgLq (pequenos q)t=Ia , I=mL2 q = q0 cos(wt + f)

  7. z q L m d mg Pêndulo Simples: Período Independente da MASSA

  8. Energia Potencial Elástica Força conservativa: Energia Potencial: Referência: U(x0 = 0) = 0

  9. energia K E U -A 0 A posição Conservação da Energia Energia Mecânica Total: = Constante Extremos: x=A e x=-A Energia Potencial Elástica Energia Cinética Energia Mecânica do OHS é proporcional ao quadrado da Amplitude No ponto de equilíbrio: x = 0 Energia do OHS no ponto de equilibrio é totalmente cinética

  10. Conservação da Energia

  11. U x0 U x  x Potenciais Quadráticos Potencial de Sistemas reais: Expansão de Taylor em torno do mínimo Potencial APROXIMADAMENTE quadrático.

  12. F=-kx m F=-bv x 0 Dissipação da Energia v Na prática sempre existe dissipação de energia ::: ATRITO Baixas velocidades ::: resistência do fluido ~ proporcional à velocidade do objeto no fluido ::: F=-bv

  13. Oscilador Harmônico Simples Amortecido

  14. Oscilador Harmônico Amortecido Equação diferencial de 2º grau

  15. Oscilador Harmônico Amortecido Propomos a solução:

  16. Oscilador Harmônico Amortecido Equação diferencial de 2º grau Equação diferencial de 2º grau

  17. Oscilador Harmônico Amortecido Equação dinâmica: Solução proposta:

  18. Oscilador Harmônico Amortecido Raiz de número negativo SE: Amortecimento subcrítico

  19. SE: Amortecimento Subcrítico

  20. Amortecimento Subcrítico Solução: Parte Real:

  21. http://lectureonline.cl.msu.edu/~mmp/applist/damped/d.htm Amortecimento Subcrítico

  22. SE: Amortecimento Supercrítico Raiz de número positivo Amortecimento supercrítico

  23. Amortecimento Supercrítico

  24. Amortecimento Subcrítico: Supercrítico: Crítico:

  25. Oscilações Forçadas : Frequência natural do sistema : Amortecimento do sistema Força externa:

  26. Oscilações Forçadas Força externa: Sistema oscila com a frequência da força externa, mesmo que esta seja diferente da frequência natural do sistema.

  27. Oscilações Forçadas Propomos a solução:

  28. Oscilações Forçadas Solução: Em fase Fora de fase com a FORÇA

  29. Oscilações Forçadas BAIXAS FREQUÊNCIAS: Solução em fase com a Força

  30. Oscilações Forçadas ALTAS FREQUÊNCIAS: Solução fora de fase com a Força

  31. Oscilações Forçadas Solução particular + solução da eq. homogênea SOLUÇÃO GERAL = B e 0 constantes - condições iniciais

  32. Oscilações Forçadas condições iniciais SE :

  33. Oscilações Forçadas Quando : Para :

  34. Oscilações Forçadas RESSONÂNCIA

  35. Oscilações forçadas amortecidas Propomos solução: De maneira similar , para amortecimento fraco podemos obter :

  36. Oscilações forçadas amortecidas RESSONÂNCIA A(w) máxima

  37. Ressonância

  38. Ressonância Desastre na Tacoma Narrows Bridge, 1940

  39. Exemplos

  40. Túnel Centro da Terra Um túnel reto é construído de Campinas ao outro lado da Terra passando pelo centro da Terra. Um estudante de F228 pula no túnel ao meio-dia. A que horas ele retorna a Campinas?

  41. Túnel Centro da Terra FG R RT MR

  42. Túnel Centro da Terra FG R RT MR

  43. g = 9,81 m/s2 RT = 6,38 x 106 m  = 0,00124 s-1 T = = 5067 s 84 min Túnel Centro da Terra FG R RT MR

  44. Túnel Centro da Terra O estudante retorna à Campinas após 84 min, as 13:24 h.

  45. Túnel Centro da Terra • O período de oscilação não requer que o túnel passe pelo centro da terra. • Qualquer túnel reto dá o mesmo resultado, desde que não haja atrito e que a densidade da terra seja constante. Prove!

  46. Túnel Centro da Terra • Um objeto em órbita próximo à superfície da Terra também tem período idêntico ao do túnel. a =2 RT = g

  47. Pêndulo Físico • Calcular a freqüência de oscilação para pequenos deslocamentos de um pêndulo que consiste de uma barra de comprimento L e massa m pendurada por uma de suas extremidades.  x CM mg

  48. O Pêndulo Físico Torque em relação ao eixo de rotação 0: Para ângulos q pequenos: 0  x CM mg

  49. LS O Pêndulo Físico • Que comprimento deve ter um pêndulo simples para ter o mesmo período de um pêndulo físico? LR

  50. LS LR O Pêndulo Físico S = R

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