Probabilitas & Distribusi Sampling

1. Probabilitas & Distribusi Sampling

2. Probability Distributions Probability Distributions Discrete Probability Distributions Continuous Probability Distributions Binomial Normal Poisson Uniform Hypergeometric Exponential

3. Distribusi Binomial

4. Distribusi Binomial • KarakteristikdariDistribusi Binomial: • Suatupercobaan yang hanyamempunyaiduakemungkinankejadian: “sukses” dan “gagal” • Eksperimenterdiridari n kali pengulangan • Suatupercobaandanpercobaanlainnyabersifatindependen • Jika p merupakanpeluang “sukses”, maka (1-p) = q adalahpeluangdari “gagal”

5. Formula Distribusi Binomial n ! - x x n P(x) = p q x ! ( - ) ! n x P(x) = Peluangxsuksesdalamnkali percobaan, dg peluangsuksesppd setiappercobaan x = banyaknya ‘sukses’ dalamsampel, (x = 0, 1, 2, ..., n) p = peluang “sukses” per percobaan q = peluang “gagal” = (1 – p) n = banyaknyapercobaan(sample size) Ataubiasajugaditulissbb:

6. Contoh Percobaanpelemparankoinsebanyak 4 kali, mis: x = # kepala: • n = 4 • p = 0.5 • q = (1 - 0.5) = 0.5 • x = 3 Maka:

7. Using Binomial Tables Examples: n = 10, p = .35, x = 3: P(x = 3|n =10, p = .35) = .2522 n = 10, p = .75, x = 2: P(x = 2|n =10, p = .75) = .0004

8. Sifatdari b(x;n,p) sebagaifungsidistribusiprobabilitasadalah: Karenaseringkalikitamemerlukanprobabilitasuntuk X dalamsebuah interval, misal P(X<r) atau P(a<X≤b) maka, dibuattabelfungsidistribusi binomial kumulatifsbb:

9. Contoh Probabilitasseorangpasienygsakitsuatupenyakit flu sembuhadalah 40%. Jikalau 15 orangdiketahuitelahtertularpenyakitini, berapakahprobabilitasnyabahwa (a) paling tidak 10 orangsembuh, (b) antara 3 hingga 8 orangsembuh (c)tepat 5 orangsembuh?

10. Jawab Probabilitas“sukses”, yaitusembuhadalah p =0.4. Variabel random X menyatakanbanyakorang yang “sukses” = sembuh, sedangkan total percobaannyaadalah n=15. a) P (paling tidak 10 sembuh) = P(X≥10) =1- P(X<10)= =1- B(r=9;n=15,p=0.4) = 1 – 0.9662 = 0.0338 b) P (antara 3 sd 8 sembuh) = P(3≤X≤8) =P(X≤8) - P(X<3) = =B(r=8;n=15,p=0.4) - B(r=2;n=15,p=0.4) = 0.9050-0.0271= 0.8779 c) P (5 sembuh) = P(X=5) =P(X≤5) - P(X<5) = =B(r=5;n=15,p=0.4) - B(r=4;n=15,p=0.4) = 0.4032-0.2173=0.1859

11. Tabel Distribusi Probabilitas Binomial Kumulatif B(r=1;n=2,p=0.30) = 0.9100

12. Mean & Variance Distribusi Binomial • Mean • Variance and Standard Deviation Dimana n = sample size p = peluang “sukses” q = (1 – p) = peluang “gagal”

13. Distribusi Multinomial

14. Distribusi Multinomial Percobaan binomial menjadi multinomial jikatiap trial/usahamenghasilkanlebihdari 2 kemungkinanuntukmuncul. Bilasuatuusahatertentudapatmenghasilkan k macamhasilE1, E2, …Ekdenganpeluangp1, p2, ..pk, makadistribusipeluangpeubahacakX1, X2, …Xkyang menyatakanbanyakterjadinyaE1, E2, …Ekdalamnusahayg independent ialah:

15. Contoh Dua dadu dilemparkan 6 kali, Berapa peluang mendapat jumlah 7 atau 11 muncul 2 kali, sepasang bilangan yang sama satu kali, dan kombinasi lainnya 3 kali? Jawab: E₁ = Kejadian jumlah 7 atau 11 muncul E₂ = Kejadian sepasang bilangan sama muncul E₃ = Kejadian kombinasilainnya

16. Distribusi Poisson

17. Distribusi Poisson • Percobaanygmenghasilkanpeubahacak X yang bernilainumerik • Banyaknyahasilselamaselangwaktutertentu (menit, hari, minggu, bulanatautahun) • Contoh: - banyakhubungantelepon per jam yang diterimasebuahkantor - banyakpasien yang antriperjam - banyakharisekolahygditutupkarenabanjir

18. Poisson Distribution Formula where: t = size of the segment of interest x = number of successes in segment of interest  = expected number of successes in a segment of unit size e = base of the natural logarithm system (2.71828...)

19. Poisson Distribution Characteristics • Mean • Variance and Standard Deviation where  = number of successes in a segment of unit size t = the size of the segment of interest

20. Using Poisson Tables Example: Find P(x = 2) if  = 0.005 and t = 100

21. Pendekatan Binomial ke Poisson Misalkan X peubahacak binomial dengandistribusipeluang b(x; n; p). Bila n ~, p 0, μ = nptetapsama, maka b(x; n, p) p(x; μ)

22. Contoh Rata-rata banyaknyapartikelradioaktif yang melewatisuatupenghitungselama 1 milidetikdalamsuatupercobaan di laboratoriumadalah 4. Berapakahpeluang 6 partikelmelewatipenghitungitudalam 1 milidetiktertentu?

23. Contoh Di dalamsuatu proses produksikaca, terjadicacatataugelembung yang terkadangmenyebabkanproduktidaklayakdijual. Diketahui rata-rata 1 dalam 1000 kaca yang dihasilkanmempunyaisatugelembungataulebih. Berapapeluangsebuahsampelacak yang berisi 8000 kacamemuatkurangdari 7 kacamempunyaigelembung? Jawab: Inisebuahpercobaan binomial dg n = 8000 dan p = 1/1000 = 0,001. Karenansangatbesardanpmendekatinolmaka digunakanhampiranpoissonterhadap binomial denganμ= np= (8000)(0,001) = 8 BilaX = banyakgelembungmaka

24. DistribusiHipergeometrik

25. Perbedaan antara distribusi binomial dan distribusi hipergeometrik terletak pada cara pengambilan sampelnya. • Dalam binomial proses pengambilan sampel dilakukan dengan pengembalian (tiap kejadian saling bebas), • Sedang pengamatan pada hipergeometrik pengambilan sampel dilakukan tanpa pengembalian • Aplikasi banyak terdapat pada penerimaan sampel, pengujian elektronik dan pengendalian mutu • Dalam pengujian biasanya barang yang diuji menjadi rusak, jadi tidak bisa dikembalikan • Jika terdapat N benda, k benda adalah banyaknya sukses dan N – k adalah gagal

26. HIPERGEOMETRIK Distribusipeluangpeubahacakhipergeometrik X, yaitubanyaknyasuksesdalamsampelacakukuran n yang diambildari N benda yang mengandung k bernamasuksesdan N-k bernamagagal

27. HIPERGEOMETRIK Rataan dan variansi distribusi hipergeometrik h(x;N,n,k) adalah

28. HIPERGEOMETRIK Contoh: Sebuah kotak berisi 40 suku cadang dikatakan memenuhi syarat penerimaan bila berisi tidak lebih dari 3 yang cacat. Cara sampling kotak ialah dengan memilih 5 suku cadang secara acak dari dalamnya dan menolak kotak tersebut bila diantaranya ada yang cacat. Berapakah peluang mendapatkan tepat satu yang cacat dalam sampel berukuran 5 bila kotak tersebut berisi 3 yang cacat?

29. HIPERGEOMETRIK Jawab: n = 5, N=40, k=3, x=1

30. Distribusi Normal

31. The Normal Distribution • ‘Bell Shaped’ • Symmetrical • Mean, Median and Mode are Equal Location is determined by the mean, μ Spread is determined by the standard deviation, σ The random variable has an infinite theoretical range: + to   f(x) σ x μ Mean = Median = Mode

32. DEFINISI KURVA NORMAL Bila X suatuvariabel random normal dengannilaitengah, danstandardeviasi, makapersamaankurvanormalnyaadalah:  = 3,14159 e = 2,71828

33. a  b x

34. TRANSFORMASI DARI NILAI X KE Z Transformasi dari X ke Z x z Di mana nilai Z:

35. Z > 0 jika x >  Z < 0 jika x <  Simetri :

37. Contoh : • Diketahui data berdistribusi normal dengan mean  = 55 dan deviasi standar = 15 a) P(55≤x≤75) = = = P(0≤Z≤1,33) = 0,4082 (Tabel III) Atau Tabel III  A = 0,4082

38. b) P(60≤x≤80) = = P(0,33≤Z≤1,67) = P(0≤Z≤1,67) – P(0≤Z≤0,33) = 0,4525 – 0,1293= 0,3232 Z1 = = 0,33  B = 0,1293 Z2 = = 1,67  A = 0,4525 C = A – B = 0,3232

39. c) P(40≤x≤60)=A+B = = P(-1,00≤Z≤0,33) = P(-1,00≤Z≤0) + P(0≤Z≤0,33) = 0,3412 + 0,1293 = 0,4705 Atau : Z1 = =-1,00  A = 0,3412 Z2 = = 0,33  B = 0,1293

40. Distribusi Uniform

41. The Uniform Distribution • The uniform distribution is a probability distribution that has equal probabilities for all possible outcomes of the random variable

42. The Uniform Distribution (continued) The Continuous Uniform Distribution: f(x) = where f(x) = value of the density function at any x value a = lower limit of the interval b = upper limit of the interval

43. Uniform Distribution Example: Uniform Probability Distribution Over the range 2 ≤ x ≤ 6: 1 f(x) = = .25 for 2 ≤ x ≤ 6 6 - 2 f(x) .25 x 2 6

44. DistribusiSampel

45. Sampel • SampeldigunakanuntukmengestimasiParameter populasi contoh:X adalahnilaiestimasidari rata-rata populasi,μ • Masalah: • Sampel yang berbedaakanmenghasilkanestimasipopulasi yang berbeda • Hasilsampelmempunyaipotensiuntukbervariasi, sehinggamuncullahsampling error

46. Sampling Error • Sampling Error: Perbedaanantaranilaisampel (statistik) dengannilaipopulasi (parameter) Contoh:(rata-rata) Dimana:

47. Review • Rata-rata populasi: Rata-rata sampel: dimana: μ = rata-rata populasi x = rata-rata sampel xi = nilaidaripopulasiatausampel N = Population size n = sample size

48. DistribusiSampel • Suatudistribusisampeladalahsuatudistribusipeluangdaristatistiksampel

49. DistribusiSampel • Misalsuatupopulasi: • Jumlah Population N=4 • Random variable, x,adalahumur • Nilai x: 18, 20,22, 24 (tahun) D C A B

50. DistribusiSampel (continued) Distribusipopulasi: P(x) .3 .2 .1 0 x 18 20 22 24 A B C D Uniform Distribution