1. 自引力体系统计物理的新进展 Ping He 2010-3-2

2. 自引力体系（Self-Gravitating System) • 自引力体系：孤立体系，只有引力 • 再无其他作用：无碰撞，没有重子物质； • 重要特征：自引力体系是长程力热力学体系； • 现实模型：球状星团，椭圆星系，暗物质晕。 Globular cluster： Globular Cluster M3 Elliptical galaxy： M87

3. 冷暗物质的宇宙学N-体模拟-- 宇宙学的分子动力学模拟 • 大尺度宇宙学的主流研究方法 • 大尺度宇宙学可以是实验科学！

4. 宇宙学N-体数值模拟 • 巨大的低密度空洞； • 丝状，片状结构，由冷暗物质晕构成，亮点是星系团； • 统计研究，各种数理统计方法和统计检验技术。 • 拟合，经验结果(empirical laws)。

5. 冷暗物质晕 • 冷暗物质：星系级的成团所满足的条件。

6. 冷暗物质晕的经验关系-- 数值结果的拟合 • 密度轮廓 (density profile)：密度随半径的关系； • 赝相空间密度 (pseudo-phase-space density); • 速度各向异性参数轮廓(velocity-anisotropy parameter); • 速度弥散的分布(distribution velocity dispersion); • 形状参数的分布(distribution of shape parameter); • 自旋参数的分布(distribution of spin parameter)。

7. 冷暗物质晕的经验关系 • 这些经验关系过去被认为是普适的，即对于任何稳定的暗物质晕，只由两个尺度参数来确定，特征尺度和特征密度： ，如NFW轮廓： • 当前的高分辨率的模拟发现，有一定程度的对普适性的偏离。

8. 宇宙学CDM暗晕的N-body模拟-- I. density profile NFW profile: Navarro, Frenk, White, 1995, 96, 97 (citations: 573, 2227, 3033) 在粒子宇宙学， 引力透镜， 大尺度结构形成等方面，有着极大的应用价值

9. 宇宙学CDM暗晕的N-body模拟-- I. density profile Navarro, Ludlow, Springel, Wang, Vogelsberger, White, Jenkins, Frenk, & Helmi arXiv:0810.1522, MNRAS， unprecedented highest resolution

10. vr vt o 宇宙学CDM暗晕的N-body模拟-- II. velocity anisotropy 各向异性参数，已被定义几十年了: -∞ < b < 1

11. 宇宙学CDM暗晕的N-body模拟-- II. velocity anisotropy arXiv:0810.1522, MNRAS Highest resolution

12. 宇宙学CDM暗晕的N-body模拟-- III. velocity dispersion arXiv:0810.1522 说明： 径向速度弥散，连同 速度分布的各向异性， 意味着没有统一的， 整体的温度定义。

13. 宇宙学CDM暗晕的N-body模拟-- IV. pseudo-phase space density arXiv:0810.1522

14. CDM暗晕经验规律 -- 物理起源 • 迄今为止： • 有十几个关于density profile及其普适性的解释， dynamical models, 比如mergers; • 没有对velocity anisotropy和velocity dispersion起源的解释； • 没有对pseudo-phase-space density起源的解释。 • 因为现在的结果倾向于普适性有所破坏，所以更没有解释了。

15. An example by Simon D.M. White • The universal density profile “is a fixed point in the process of repeated mergers.” (Syer & White, 1998, MNRAS, 293,337); • 11 yeas later: “These results indicate that mergers do not play a pivotal role in establishing the universalities, thus contradicting models which explain them as consequences of mergers.” (Wang & White, 2009, MNRAS, 396, 709) .

16. 自引力体系的统计物理 –近50年的历史 • 动力学模型不行，统计物理方法怎样？ • 迄今为止：没有这门统计物理； • Antonov (1962)：体系全局最大熵 (Boltzmann - Gibbs熵) 不存在。 (Lynden-Bell & Wood, 1968)

17. Gravitational degeneracy 自引力体系的统计物理 –近50年的历史 • Lynden-Bell (1967, MNRAS, 136, 101): Total 质量- 和 能量-守恒约束  “violent relaxation” (激烈弛豫)  “平衡态”: 无限的 质量, 能量, 及 体积  不现实和不可接受  进一步的弛豫机制。

18. Lynden-Bell (1967, MNRAS, 136, 101) 长程力 统计物理 必引文献

19. Lynden-Bell (1967, MNRAS, 136, 101) • Lynden-Bell的相空间分配方法：其实是连续性的相元方法(phase element)

20. 徐遐生(Frank Shu,1978, ApJ, 225, 83) • 批评Lynden-Bell工作，提出自己的粒子分配方法(particulate partition)； • 还有其他人的方法：各自的相空间分配方法； • 同样的问题：无限质量，能量，体积。

21. 体系总质量和能量： ， 一大部分质量，能量存 放在一个致密的中心区 域, , 剩下的小部分 和 放在 一个低密度的外封皮中， 当 ,该外封皮半径 越来越大，密度越来越低， 使得 Binney Argument(1986)：Boltzmann-Gibbs熵对于自引力体系无上限

22. Simon D.M. White (1987, MNRAS, 229, 103)方法 理想气体热力学熵形式： 流体静力学平衡: Jeans equation with b=0

23. 结果不能接受 • Simon D.M. White (1987): 需要额外的约束。

24. B A Lynden-Bell（2005, MNRAS, 361, 385）-- 激烈弛豫理论的不自洽 结论： 统计物理不可行，自引力体系的“平衡态”似乎 应该是动力学过程的结果。 Quasi-stationary state

25. Physics Reports, 480 (2009), 57 - 159 长程力体系：非广延体系。 非广延统计物理(Tsallis, 1988, J. Stat, Phys., 52, 479)

26. 小结一下：对于自引力体系 • Simon White： 动力学方法不可行； • Antotov & Binney：没有最大熵； • Lynden-Bell： 统计物理方法不可行； • Tsallis(1988)：非广延统计 – 也没行； • 系综：三种系综不等价； • 各态历经性：被破坏； • 平衡态是否存在； • … … … …

27. 基础动力学 最小作用量原理  熵原理 热力学关系  熵与熵原理：复杂性动力学的出发点 • 我相信熵和熵原理对于自引力体系的适用性； • 动力学：是物理学的主干； • 最小作用量原理和熵原理：是动力学两大根基。 第一性的变分原理

28. 已有解析理论及热力学宏观参量 宏观参量（r的函数）： • Vlasov-Poisson方程体系： 流体静力学平衡 Jeans equation:

29. ？ ？ 第一性原理：熵原理 • 问：如果这些热力学变量的其余两个方程不是某个第一性原理的产物，那么它们能够从其他方式，如吸积，合并，引力坍缩等动力学方式得到吗？ • 答：恐怕不能。这些变量是由分布函数得到的，分布函数的演化方式就是Vlasov方程，应该没有第二个了。因此恐怕没有可能性从动力学过程中获得其余两个方程。它们应该是体系平衡时的平衡方程。

30. 新探索: Ping He (2009) • 引力的平均场模型：由于长程力的特点，某个粒子同体系中其他任何一个粒子都有引力相互作用，平均场近似可以把引力拆分成长程部分和短程部分。

31. 弛豫机理(Relaxation Mechanisms) • Violent relaxation：引力势的激烈扰动； • Two-body relaxation：粒子-粒子相互作用； • Landau damping：粒子-Jeans波动相互作用。 长程弛豫:Violent Relaxation 短程弛豫: Two-body Relaxation Landau damping

32. N<40, 就很小， 长程 vs. 短程弛豫 • 激烈弛豫时标：大约是星系或暗晕的一个震荡周期 • 两体弛豫时标： • Landau damping时标：依赖于波长，短波扰动时标很短。

33. Mass conservation: Let Performing the 1st-order variational calculus : 熵和熵稳方程 The entropy is the same as the one by Simon D.M. White (1987) Entropy stationary equation

34. 引入牛顿势 得 这个结果很重要，说明每个bit的熵与牛顿 势成正比。

35. Velocity anisotropy的意义 • b is of great significance; • No need to truncate artificially; Total 3 unknown variables: p, r, b (1) Entropy equation: (2) Jeans equation:

36. Velocity anisotropy的意义 Assuming r is given as Einasto form Total 3 unknown variables: p, r, b Gravitational degeneracy

37. Gravitational degeneracy 引力简并效应-- Gravitational degenenacy 两个粒子两体散射 总有偏离b，所以总 有角动量，这使得粒子在相空间中看上去 像是一个具有一定大小的相元。这种不相 容性就是引力简并的起源，由Lynden-Bell 引入来避免Gravothermal catastrophe。

38. Velocity anisotropy的意义 Assuming r is given as Einasto form Total 3 unknown variables: p, r, b Gravitational degeneracy

39. Theory and simulation的一致性 这是近50年的第一次, 基于熵原理的理论预 言与经验结果比较好 地符合。

40. 对比Simon White (1987) 的结果 • Simon D.M. White (1987): 需要额外的约束。

41. Pseudo-phase-space density: • 大体可以接受

42. 一阶变分结果：可以接受 如果一阶变分可以接受，计算 二阶变分

43. Mass conservation: Let 二阶变分：什么样的解？

44. 鞍点解 一阶变分的解： 如果A>0， B>0，全局最小值； 如果A<0， B<0，全局最大值。 否则：鞍点解。 我们的结果： 看起来是一场灾难，因为鞍点解看起来似乎是不稳定解。 所以，我们所采用的熵形式似乎是错误的。

45. 自引力体系下的新物理

46. 自引力体系下的新物理 • 怎样的物理过程可以导致这样大尺度的质量扰动？引力坍缩，径向大幅度振动。 这正是激烈弛豫的特征

47. 自引力体系下的新物理 质量扰动：A>0, B ～ 0，最小熵 激烈弛豫导致大尺度质量扰动， 而如果该扰动停止下来，或者 说，当激烈弛豫停止下来，自 引力体系将达到最小熵态。

48. 自引力体系下的新物理 密度扰动：A～0, B<0，最大熵 在没有激烈弛豫的情况下，小尺度密度扰动导致短程弛豫，使得自引力体系维持在最大熵态。

49. 自引力体系下的新物理 长程激烈弛豫下的最小熵态是全局的，或者说，整体的； 短程弛豫下的最大熵态是局域的，只能存在于体系每一处/任何一处 的一个小区域（粗粒），不可能全局地达到。 后者跟普通的热力学第二定律其实并不矛盾，对于地球大气这样的热力学体系 只能获得局域热动平衡，即局域最大熵态。

50. 互补性热力学第二定律 (Complementary second law of thermodynamics) • 表述如下：对于一个孤立的自引力体系，如果长程弛豫(violent relaxation)主导，则熵永远降低；如果短程弛豫(two-body relaxation和Landau damping)主导，则熵永不降低。 • 辅助解释：自引力体系的平衡态是长程弛豫下的全局最小熵态，短程弛豫下的局域最大熵态。 如果两种模式的扰动同时存在：无关紧要。 工作在不同的尺度上，物理效应不同。