.Bibliografia

1. Unidade 8 . O Modelo simplificado de Sharpe (1963)Avaliação de activos financeiros: Modelo C.A.P.M.(Notas deMoukhamedjanova SabinaChan Bonnie e deAbhishek Kapur & Geir Sivertsen) Economia Bancária e financeira

2. .Bibliografia • Eugene F. Fama e Merton H. Miller The Theory of Finance (Hinsdale, Illinois: Dryden Press, 1972) Cap 7. Economia Bancária e financeira

3. Eficiência segundo Markowitz – baseado na média e na variância Considere N activos num portfolio e as seguintes notações : w=[w1 . . . wN] Vector de ponderações Matriz das variâncias-covariâncias Ω R=[R1 . . . RN] Vector de retornos 1=[11 . . . 1N] Vector unitário wT Ω w Variância do portfólio wT R Retorno do portfólio Economia Bancária e financeira

4. Fronteira do Portfolio Retornos do portfolio : wT R Variância do Portfolio : wT Ω w 3 2 6 1 4 5 Economia Bancária e financeira

5. Efficiencia segundo Markowitz (Média-Var) Para encontrar a fronteira de eficiência s.a. 1=1T w min wT Ω w r=RT w w Optimização : 1 min wT Ω w + (1-1T w) + (r-RT w) 2 w Economia Bancária e financeira

6. FOC : Eq. 1 : Ωw=1 + R Eq. 2 :w=Ω-11 + Ω-1 R Multiplicando equação 1 por 1T e RT : Eq. 3 :1=a  +b  Eq. 4 : r=b  +c  onde : a=1T Ω-11, b=1T Ω-1R, c=RT Ω-1R Economia Bancária e financeira

7. Resolvendo em ordem a  e  nas equações 3 e 4, e substituindo na eq 2, obtem-se : w=v1+v2 r V1 e v2 são dois vectores fixos. Por outro lado, qualquer combinação convexa de portfolios eficientes é também um portfolio eficiente. O portfolio de mercado não é mais do que uma combinação ponderada de portfólios, e que,por sua vez também é eficiente. Economia Bancária e financeira

8. Modelo simplificado de Sharpe • Problemas do Modelo de Markowitz: Grande dimensão da matriz de co-variâncias (cálculo computacional complicado em 1959) • Conhecimento da matriz das co-varâncias • Hipótese de Sharpe (1963): Os rendimentos dos diversos activos encontram-se ligados entre eles por uma relação a um factor comum subjacente: • Ři = αi + βiĨ + ũi • Ĩ = αn+1+ vn+1 Economia Bancária e financeira

9. CAPM • Mossin, Jan. “Equilibrium in a Capital Asset Market.” Econometrica 34(Oct. 1966): 768-83. • Sharpe, W. F. “Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk.” Journal of Finance 19(Sept. 1964): 425-42. Economia Bancária e financeira

10. Lintner, John. “Security Prices, Risk, and Maximal Gain from Diversification.” Journal of Finance 20(Dec. 1965): 587-615. • Lintner, John. “The Valuation of Risk Assets and the Selection of Risky Investments in Stock Portfolios and Capital Budgets.” Review of Economics and Statistics 47(Feb. 1965): 13-37. Economia Bancária e financeira

11. Avaliação de activos financeiros: Modelos C.A.P.M. e A.P.T. • Capital market theory (derivado do modelo de Sharpe) • SEcurity market line: Determinação do valor de um activo, tendo em conta o activo sem risco e o portfólio de mercado. • CAPM : Capital Asset Pricing Market: Modelo de avaliação dos activos financeiros tendo em conta a relação entre o modelo de mercado e a security market line. • APT: Arbitrage Pricing theory : Os rendimentos dos cativos financeiros são função lineares de mais do que um factor Economia Bancária e financeira

12. O papel do activo sem risco no modelo • O equilíbrio de mercado oferece dificuldades de representação porque diferentes investidores têm assumpções diferentes quanto ao risco. A introdução do activo sem risco resolve esta ambiguidade. • O activo sem risco reduz o número potencial de portfolios eficientes a um único portfolio. Economia Bancária e financeira

13. mp rp rf sp sp Economia Bancária e financeira

14. Dentro deste equilíbrio, existe apenas um portfolio eficiente. Qualquer grau de aversão ao risco pode ser retratado no modelo através de uma combinação de um portfolio simples e eficiente e um emprestimo ou emprestar (borrowing ou lending) à taxa sem risco. • Substituindo xm por xp ou deixando que o “portfolio índice” seja o portfolio de mercado eficiente, ter-se-á: Economia Bancária e financeira

15. Economia Bancária e financeira

16. Economia Bancária e financeira

17. ConceitosBorrowing Portfolio • Um investidor é capaz de se endividar de maneira a comprar um montante de um portfólio cujo valor seja superior aos valores iniciais: • E(Řp) = Xzrz + (1-Xz)rb • rb é a taxa de empréstimo Economia Bancária e financeira

18. ConceitosLending portfolio • Emprestador sobre o mercado monetário (sem risco) e associação à aquisição de activos com risco. • Condições : • - Existe ao menos alguem que não apresenta risco de não cumprimento da dívida (quem pede emprestado com risco nulo) - O rendimento presente e futuro de quem adquire este activo é um valor certo - Este activo oferece uma protecção perfeita contra a perda do poder de compra Economia Bancária e financeira

19. MODELO CAPM O CAPM considera que todos os investidores possuem portfolios eficientes no sentido de maior valor esperado para um mínimo risco. Pelo teorema de separação de dois portfolios, o portfólio de mercado é também eficiente. Para a validade do CAPM, o portfolio de mercado deve encontrar-se na fronteira eficiente. Economia Bancária e financeira

20. Condições de estimação do modelo de mercado • O índice de mercado deverá responder às condições seguintes: • 1. Ser exaustivo , isto é, deverá ser calculado a partir de todos os activos financeiros com risco existente no mercado (vinte são representativos) • 2. Ser um indice de rendimento e não apenas um índice de preços. Deverá ter em conta os rendimentos líquidos distribuídos (dividendos e juros). • 3. Ser um índice ponderado e não uma média aritmética simples. Economia Bancária e financeira

21. Versões do CAPM E[Zi]=i + ßi (E[Zm]) Sharpe-Lintner : Este activo assume a presença de um Activo sem risco E[Ri]= i + ßi (E[Rm]) Black : Este modelo trata a taxa sem risco como uma variável aleatória Economia Bancária e financeira

22. Problema de minimização • Black version • Sharpe-Lintner (com activo sem risco) Economia Bancária e financeira

23. Sharpe Model • Regressão de Zit sobre Zmt • Hipótese nula : Versão de Black • Regressão • Hipótese nula α = (i-β)γ Economia Bancária e financeira

24. Modelo de Sharpe-Lintner • A solução de Sharpe-Lintner é uma fronteira de eficiência. • Esta fronteira de eficiência combina uma posição longa no portfolio de mercado com um activo sem risco adquirido em situação de “lending” ou “borrowing” Economia Bancária e financeira

25. Black CAPM Economia Bancária e financeira

26. Security Market Line • E(Rp) • E(rm) • y • rf • Zero Beta Portfolio • 1 σ (p) Economia Bancária e financeira

27. Security Market Line • Derivamos a security market line: • Em forma de retorno em excesso Economia Bancária e financeira

28. Como testar o CAPM? • A intercepção é zero • Beta captura completamente a variação dos retornos em excesso. • O prémio de mercado é positivo. Os testes do CAPM focam-se em três implicações do modelo de excesso de retorno Economia Bancária e financeira

29. Testes sobre a “intercept” Sharpe-Lintner : E[Zi]= i + ßi (E[Zm]) Testar se i = 0 Black : E[Ri]= i + ßi (E[Rm]) Testar se i = (1-ßi) E[R0] Economia Bancária e financeira

30. Zero-Beta CAPM Economia Bancária e financeira

31. Pressupostos implicitos do modelo • As estimativas encontram-se sujeitas a erro de amostragem pelo que o portfolio de mercado não é suposto ser ex-post eficiente. • A medida do racio de sharp mede a ineficiencia do portfolio de mercado que nos permite detrminar quando deveremos rejeitar o CAPM. Economia Bancária e financeira

32. Rácio de Sharpe Dada uma tangente a, e um portfolio de mercado m : A diferença ra - rm dá-nos uma medida da ineficiência de m a m rf Economia Bancária e financeira

33. Oferta de acções pela empresa • Assumimos que cada empresa vende acções a um preço Pi. Os Investidores desejam adquirir estas acções fundamentados no valor futuro da empresa no final do período, Vi. O valor de aquisição e o valor da empresa no final do período determinarão a taxa de retorno: Economia Bancária e financeira

34. O valor futuro da empresa implica algum risco, por isso a taxa de retorno possui risco. Por outro lado, todos os investidores avaliam o investimento considerando o equilibrio da linha de “capital market”. • Matematicamente, o preço e o valor do portfolio de mercado fica: Economia Bancária e financeira

35. Medidas de Performance baseadas no APT • Modelo de dois factores • Nota:A medida é semlhante ao índice de Jensen Index. Economia Bancária e financeira

36. Conclusão • No caso do CAPM não se sabe se a performance é drivado à habilidade do investidor ou à ineficiência do índice de mercado. No modelo APT, existe liberdade de seleccionar os factores sem restrição, pelo que a performance tem em conta os factores que considerámos. Economia Bancária e financeira