Les Nombres Premiers

1. Les Nombres Premiers Yves Aubry Cours de I 55 – L3 Info Université du Sud Toulon-Var Septembre 2008

2. Qu’est-ce qu’un nombre premier ? C‘est un entier naturel (élément de N={0,1,2,3,…}) qui vérifie une propriété de divisibilité. Notion de divisibilité à introduire…

3. Domaine de la Théorie des Nombres C’est la reine des Mathématiques A la fois très ancienne et très actuelle

4. Médaille Fields De nombreuses « médailles Fields » en théorie des nombres ; par exemple : • Jean-Pierre Serre (1954) • Alan Baker (1970) • Laurent Lafforgue (2002) • Prix spécial à Andrew Wiles (1998)

5. Divisibilité a divise b s’il existe un entier c tel que : b=ac

6. Exemples • 2 divise 6 car 6=2 x 3 • 3 ne divise pas 10 car le reste dans la division euclidienne de 10 par 3 n’est pas nul.

7. Tout entier est divisible par 1. En effet, pour tout entier n, on a: n=1 x n Tout entier est divisible par lui-même. En effet, pour tout entier n, on a : n=n x 1 Remarques

8. Définition Un nombre premier est un entier naturel qui est divisible par exactement deux entiers naturels : 1 et lui-même.

9. Exemples • 1 n’est pas premier. • 2 est premier (c’est le seul entier pair qui soit premier). • 3 est premier. • 4 n’est pas premier (4=2x2). • 5 est premier.

10. Théorème Fondamental de l’Arithmétique Tout entier non nul peut s’écrire (de manière unique à l’ordre des facteurs près) comme produit de nombres premiers.

11. Exemples • 6 = 2 x 3 • 5 500 = 2^2 x 5^3 x 11 • 1 260 = ? 1 260 = 2 x 630 = 2^2 x 315 = 2^2 x 3 x 105 = 2^2 x 3^2 x 35 = 2^2 x 3^2 x 5 x 7. • 2^(2^5) +1 = 2 284 842 197 = ?

12. Démonstration Supposons qu’il existe un entier qui ne s’écrive pas comme produit de nbres premiers. Soit N le plus petit tel entier. Puisque N n’est pas premier, il s’écrit N=nm avec 1<m,n<N. Par définition de N, les entiers m et n sont des produits de premiers ; et donc N(=nm) aussi : contradiction.

13. Combien y a-t-il de nombres premiers ?

14. Théorème Il existe une infinité de nombres premiers.

15. Démonstration d’Euclide Mathématicien grec du IIIe siècle (AV. JC)

16. Démonstration (Euclide) Supposons que la liste p_1=2, p_2=3,…, p_r, des nombres premiers soit finie. Considérons alors l’entier P=p_1p_2…p_r +1 Soit p un nombre premier divisant P. Il ne peut être égal à l’un des p_i car sinon il diviserait la différence P-p_1p_2…p_r=1, ce qui est impossible. Donc, p est un nombre premier n’appartenant pas à la liste.

17. Exercice Démontrer qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n+1. Indications • Commencer par démontrer que si –1 est un carré modulo un premier impair p alors p =1 (mod 4) (la réciproque est même vraie). • Considérer un entier n >1 et p un diviseur premier de N=(n!)^2 +1. Montrer que p>n et que p=1 mod 4.

18. Reconnaître les nombres premiers

19. Comment reconnaître qu’un entier N est premier ? 1ère méthode : on tente de le diviser par les entiers 2,3,4… jusqu’à la partie entière de √N(le plus grand entier inférieur ou égal à √N). Si aucun de ces entiers ne divise N alors il est premier.

20. Exemple 37 est-il premier ? Notons que E(√37)=6. On regarde si 37 est divisible par les entiers 2,3,4,5 et 6. Ce n’est pas le cas : on en conclut que 37 est premier !

21. Liste des premiers nombres premiers ? On peut faire la liste des premiers nombres premiers en procédant au crible d’Eratosthène.

22. Eratosthène Mathématicien, astronome et philosophe grec de l'école d'Alexandrie (vers 290 AV. J.-C.)

23. La méthode du crible • On écrit tous les entiers jusqu’à N. • On raye tous les multiples de 2 supérieurs à 2. • A chaque étape, on raye tous les multiples du plus petit entier p qui n’a pas été encore rayé, et qui sont supérieurs à p. • On le fait pour les p tels que p^2<N. • Ceux qui ne sont pas rayés sont tous les premiers <=N.

24. Crible d’Eratosthène pour N=101 2 3 4 5 6 7 8 9 10 • 12 13 14 15 16 17 18 19 20 • 22 23 24 25 26 27 28 29 30 • 32 33 34 35 36 37 38 39 40 • 42 43 44 45 46 47 48 49 50 • 52 53 54 55 56 57 58 59 60 • 62 63 64 65 66 67 68 69 70 • 72 73 74 75 76 77 78 79 80 • 82 83 84 85 86 87 88 89 90 • 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101

25. Crible d’Eratosthène: multiples de 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101

26. Crible d’Eratosthène : multiples de 3 234 5 6 7 8910 11 12 13 1415 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 262728 29 30 31 323334 35 36 37 383940 41 42 43 44 4546 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 5758 59 60 61 62 6364 65 66 67 68 6970 71 72 73 747576 77 78 79 80 81 82 83 84 85 868788 89 90 91 929394 95 96 97 9899100 101

27. Crible d’Eratosthène : multiples de 5 23456 7 8910 11 12 13 1415 16 17 18 19 20 21 22 23 2425262728 29 30 31 3233343536 37 383940 41 42 43 44 4546 47 48 49 50 51 52 53 545556 5758 59 60 61 62 63646566 67 68 6970 71 72 73 747576 77 78 79 80 81 82 83 8485868788 89 90 91 9293949596 97 9899100 101

28. Crible d’Eratosthène : multiples de 7 2345678910 11 12 13 1415 16 17 18 19 20 21 22 23 2425262728 29 30 31 3233343536 37 383940 41 42 43 44 4546 47 484950 51 52 53 545556 5758 59 60 61 62 63646566 67 68 6970 71 72 73 7475767778 79 80 81 82 83 8485868788 89 90 91 9293949596 97 9899100 101

29. Nombres premiers jusqu’à 101 2345678910 11 12131415 1617181920 21 222324252627282930 31 323334353637383940 41 42 43 44 4546 47484950 51 5253545556 57585960 61 62 636465666768 6970 71 72 737475767778 7980 81 828384858687888990 91 9293949596979899100 101

30. Critères de primalité A-t’on des caractérisations des nombres premiers ? Autrement dit, p est premier si et seulement si une formule est vérifiée ?

31. Petit théorème de Fermat (Pierre de Fermat (1607-1665)) Si p est premier alors pour tout entier a on a que p divise a^p –a.

32. Congruences On dit que a est congru à b modulo n : a=b mod n si n divise a-b.

33. Nouvelle Formulation du petit théorème de Fermat Si p est premier alors a^p=a mod p pour tout entier a. En particulier, si p (premier) ne divise pas a alors : a^{p-1}=1 mod p

34. Démonstration du petit théorème de Fermat • Si a=1 alors 1^p=1 mod p • Hypothèse de récurrence : on suppose que pour un certain a>=1, on a : a^p=a mod p. On a : (a+1)^p=a^p+1=a+1 mod p car les coefficients binomiaux C_p^k pour 1<=k<=p-1 sont divisibles par p (exercice!). Donc, le résultat est vrai pour tout entier a.

35. Condition nécessaire • On a 2^8=4 mod 9 donc 2^8 not= 1 mod 9 donc 9 n’est pas premier. • La condition est-elle suffisante ? Autrement dit, la réciproque du théorème de Fermat est-elle vraie ? Autrement dit, est-ce une caractérisation des nombres premiers ?

36. Nombres de Carmichael • Il existe des entiers n qui ne sont pas premier et qui vérifient pourtant que a^{n-1}=1 mod n pour tout entier 1<a<n premier avec n. • Par exemple : 561=3.11.17 • Ils sont appelés nombres de Carmichael. • Il en existe une infinité (Alford-Granville-Pomerance (1992)).

37. Exercice • Démontrer le théorème de Wilson qui affirme que si p est premier alors (p-1)!= -1 mod p. • La réciproque est-elle vraie ?

38. Tests de Primalité Il existe de nombreux tests de primalité (Miller-Rabin, Solovay-Strassen…) basés sur des propriétés arithmétiques des entiers. Notion de nombres « probablement premiers ».

39. Primalité pour des nombres particuliers :Nombres de Fermat I Considérons les nombres de la forme : 2^m+1 Lemme : Si 2^m+1 est premier alors m est une puissance de 2. Dém : Si m admet un facteur impair r : m=r.2^t, alors 2^m+1=(2^{2^t})^r-(-1)^r est factorisable.

40. Primalité pour des nombres particuliers :Nombres de Fermat II On considère les nombres : F_n=2^{2^n}+1 appelés nombres de Fermat. F_0=3, F_1=5, F_2=17, F_3=257, F_4=65 537 Ils sont tous les cinq premiers !

41. Primalité pour des nombres particuliers :Nombres de Fermat III • Fermat a conjecturé que tous les F_n étaient premiers. • Euler a montré que F_5= 641x 6 700 417 • On ne connaît pas d’autre nombre de Fermat qui soit premier en dehors des cinq premiers ! • Ceux dont on connaît la factorisation complète : F_5, F_6, F_7, F_8, F_9 et F_11. • On ne sait pas si F_22 est premier ou non.

42. Primalité pour des nombres particuliers :Nombres de Fermat IV Problème ouvert : existe-t-il une infinité de nombres de Fermat premiers ?

43. Intérêt : Polygones réguliers Théorème (Gauss) : Si n est un entier >2, le polygone régulier à n côtés peut être construit à la règle et au compas seulement si n=2^k p_1…p_h où k>=0, h>=0 et les p_i sont des nombres de Fermat premiers et distincts.

44. Primalité pour des nombres particuliers :Nombres de Mersenne I On considère les nombres de la forme a^m-1

45. Primalité pour des nombres particuliers :Nombres de Mersenne II Lemme : Si a^m-1 est premier alors a=2. Dém : a^m-1=(a-1)(a^{m-1}+…+1) donc si cet entier est premier alors nécessairement a-1=1, c’est-à-dire a=2.

46. Primalité pour des nombres particuliers :Nombres de Mersenne III Lemme : Si 2^m –1est premier alors m est premier. Dém : si m=pq alors 2^m-1=(2^p)^q-1^q qui se factorise.

47. Primalité pour des nombres particuliers :Nombres de Mersenne IV Marin Mersenne (1588-1648) Définition : Les nombres M_p=2^p-1 avec p premier sont appelés nombres de Mersenne.

48. Record !! - Le plus grand nombre de Mersenne premier connu est M_24036583 : 224 036 583 - 1 - C’est un nombre à 7 235 733 chiffres. - C’est le 41-ème nombre de Mersenne premier trouvé. • Il a été trouvé le 15 mai 2004. • C’est le plus grand nombre premier connu.

49. Conjecture des nombres premiers jumeaux • Des nombres premiers jumeaux sont des couples de nombres premiers dont la différence vaut 2 (par exemple 11 et 13). • Conjecture : il existe une infinité de nombres premiers jumeaux.

50. Problème ouvert…