附录 Ⅰ 截面的几何性质 Properties of Plane Areas

1. 材料力学 Mechanics of Materials 附录Ⅰ 截面的几何性质 Properties of Plane Areas 华北水利水电学院土木与交通学院

2. 附录Ⅰ 截面的几何性质 § 1-1 截面的静矩和形心 § 1-2 极惯性矩 惯性矩 惯性积 § 1-3 平行移轴公式 § 1-4 转轴公式

3. z dA z o y y § 1-1 截面的静矩和形心 一、静矩 截面对 y , x 轴的静矩为： 静矩可正，可负，也可能等于零。

4. z c z dA o y y y 二、截面的形心

5. z c z dA o y y y 若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心。 截面对形心轴的静矩等于零。

6. 三、 组合截面的静矩和形心 由几个简单图形组成的截面称为组合截面 截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，就等于该 截面对于同一轴的静矩。

7. —— 第 i个简单截面的形心坐标 1、组合截面静矩 其中： Ai —— 第 i个简单截面面积 2、 组合截面形心：

8. 2 z 10 1 120 y 10 o 例 1 试确定图示截面形心 C 的位置。 解：组合图形，用正负面积法解之。 1、用正面积法求解。将截面分为 1，2 两个矩形。 取 x 轴和 y 轴分别与截面 的底边和左边缘重合 90

9. 2 10 z 1 120 10 y o 90

10. 2 10 z 1 120 10 y o 矩形 1 矩形 2 90

11. 2 10 z 1 120 10 o y 所以 80

12. z 负面积 C2 C1 y 2.用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b) C1（0,0） C2（5,5） 图(b)

13. z dA y 0 z  y § 1-2 极惯性矩 、 惯性矩 、 惯性积 1、惯性矩 2、极惯性矩

14. z I= IZ+ Iy 所以 dA y 0 z  y 3、惯性积

15. 若 y , z 两坐标轴中有一个为截面的对称轴，则截面对 y , z 轴的 惯性积一定等于零。 dA dA z 惯性矩的数值恒为正，惯性积则可能为正值，负值， z dy dy 也可能等于零。 y

16. 4、惯性半径

17. d z z 例 2 求矩形截面对其对称轴 y, z 轴的惯性矩。 解： z d A = b d z h C y b

18. z d y 所以 例 3 求圆形截面对其对称轴的惯性矩 。 解：因为截面对其圆心 O 的极惯性矩为

19. z y o § 1-3 平行移轴公式 一 。平行移轴公式 y, z ——任意一对坐标轴 C(a,b) a C —— 截面形心 b (a , b ) _____ 形心 c 在 y o z坐标系下的 坐标。

20. zc z yc y o yc , zc ——过截面的形心 C 且与 y, z 轴平 行的坐 标轴(形心轴） Iy , Iz , Iyz_____ 截面对 y, z 轴的 惯性矩和惯性积。 C(a,b) a b Iyc ,Izc , Iyc zc —— 截面对形心轴 yc , zc 的惯性矩和惯性积。

21. zc z yc y o C(a,b) a b 已知截面对形心轴 yC ，zC 的惯性矩和惯性积 求截面对与形心轴平行的 y ，z轴惯性矩和惯性积

22. zc z yc y o 则平行移轴公式 (Parallel-Axis formula) C(a,b) a b

23. Iyi , Izi,—— 第 i个简单截面对 y, z 轴的惯性矩、 惯性积。 二、组合截面的惯性矩 、惯性积( moment of inertia & product of inertia for composite areas 组合截面的惯性矩，惯性积

24. zc yc 20 140 1 y 20 100 例 3 -1 求梯形截面对其形心轴 yc的惯性矩。 解：将截面分成两个矩形截面。 截面的形心必在对称轴 zc 上。 取过矩形 2 的形心且平行于底边 的轴作为参考轴记作 y 轴 。 2

25. zc yc 20 140 1 y 20 100 所以截面的形心坐标为 2

26. zc yc 20 140 1 y 20 100 2

27. z z1 y1   o y § 1-4 转轴公式 一 . 转轴公式 y o z为过截面上的任 – 点建立的坐标系 y1oz1为 y o z 转过  角后形成 的新坐标系 逆時针转取为 + 号， 顺時针转取为 – 号

28. z z1 y1  o y y y1 z1 Y z 已知截面对坐标轴轴 y, z 轴的惯性矩和惯性积 求截面对 y1，z1轴惯性矩和惯性积

29. z z1 y1  o y 转轴公式为：

30. z z1 y1  o y 显然：

31. 二 .截面的主惯性轴和主惯性矩 主惯性轴—— 总可以找到一个特定的角 0 , 使 截面对新坐标轴 y0 , z0 的惯性积等于 0 , 则称 y0 , z0 为主惯性轴。 主惯性矩—— 截面对主惯性轴的惯性矩。 形心主惯性轴——当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时，则称为形心主惯性轴。 形心主惯性矩—— 截面对形心主惯性轴的惯性矩Iy0, Iz0。

32. 主惯性轴的位置：设 为主惯性轴与原坐标轴之间的夹角 则有 由此 求出后，就确定了主惯性轴的位置。

33. 主惯性矩的计算公式 Imay = Iy0Imin = Iz0 过截面上的任一点可以作无数对坐标轴，其中必有一对是 主惯性轴。截面的主惯性矩是所有惯性矩中的极值。即

34. 确定形心 的位置 截面的对称轴一定是形心主惯性轴 求形心主惯性矩的方法

35. 选择一对通过形心且便于计算惯性矩（积）的坐选择一对通过形心且便于计算惯性矩（积）的坐 标轴 y，z, 计算 Iy , Iz , Iyz

36. 确定形心主惯性轴的方位 计算形心主惯性矩

37. 40 120 z 20 10 c y 70 10 例 4-1 计算所示图形的形心主惯性矩。 解：该图形形心 c 的位置已确定, 如图所示。 过形心 c 选一对座标轴 y, z 轴，计算其惯性矩(积)。

38. 20 40 120 15 z 20 25 10 c 35 y 80 10

39. 20 40 120 15 z 20 25 10 c 35 y 80 10

40. 20 40 120 15 z 20 25 10 c 35 y 80 10

41. 20 40 120 15 z 20 25 10 c 35 y 80 10

42. 在第三象限 形心主惯性轴 y0 , z0 分别由 y 轴和 z轴绕 c 点 逆时针转 113.80 得出。

43. yc0 40 120 z 20 10 c 0=113.80 y 70 10 形心主惯形矩为

44. z zC y1 O y yC 例3 在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴。(b=1.5d) 解： ①建立坐标系如图。 d ②求形心位置。 2d b ③ 建立形心坐标系；求：Iyc， Izc， I yczc

45. z zC y1 O y yC d 2d b