150 likes | 822 Vues
CALCULE DE ARII ŞI VOLUME. PIRAMIDA REGULATĂ. Elementele piramidei. V. AB = l (latura bazei); VA=VB=VC=VD = m (muchia laterală); OA=OB=OC=OD = r b (raza bazei); VO = h ( înălţimea piramidei); OM = a b (apotema bazei); VM = a p ( apotema piramidei);. m. h. a p. C. D. M.
E N D
CALCULE DE ARII ŞI VOLUME PIRAMIDA REGULATĂ
Elementele piramidei V AB = l (latura bazei); VA=VB=VC=VD = m (muchia laterală); OA=OB=OC=OD = rb (raza bazei); VO = h ( înălţimea piramidei); OM = ab (apotema bazei); VM = ap ( apotema piramidei); m h ap C D M ab O B A l
Formule ap2 = h2 + ab2 V 1. Demonstraţie : Se aplică teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic VOM. m2 = h2 + rb2 m 2. h Demonstraţie : Se aplică teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic VOC. ap C D m2 = + ap2 3. M ab O Demonstraţie : Se aplică teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic VMC. B A l
Aria laterală a piramidei Prin aria laterală a unei piramide se înţelege suma ariilor feţelor laterale V Obs : Al = n . Af Unde Al = aria laterală a piramidei n = numărul de feţe laterale ale piramidei Af = aria unei feţe m h ap Obs : C Ţinând cont că D obţinem că M O B A l
Aria totală a piramidei Prin aria totală a unei piramide se înţelege suma dintre aria laterală şi aria bazei V At = Al + Ab m Unde At = aria totală a piramidei Al = aria laterală a piramidei Ab = aria bazei h ap C D M O B A l
Volumul piramidei Prin volumul unei piramide se înţelege o treime din produsul dintre înălţimea piramidei şi aria bazei V m h ap C D Unde V = volumul piramidei Ab = aria bazei h = înălţimea piramidei M O B A l
Aplicaţii 1. Într-o piramidă triunghiulară regulată înălţimea are 6 cm şi latura bazei are 12 cm. Calculaţi aria laterală, totală şi volumul piramidei Pb=12+12+12=36 cm ΔVOM=dreptunghic ⇒ VM2 =VO2 + OM2 V OM=ab = = cm 6 VM = cm ⇒ cm2 cm2 ⇒ C A O 12 M cm2 B
Aplicaţii 2. Într-o piramidă patrulateră regulată muchia laterală are 6 cm şi aria bazei are 16 cm2. Calculaţi aria laterală, totală şi volumul piramidei V Ab=l 2=16⇒l =4 cm; Pb=4 . 4 =16 cm ΔVMC=dreptunghic ⇒ VC2 =VM2 + MC2 VM2=36 – 4= 32 ⇒VM = cm 6 cm2 ⇒ cm2 ΔVOM=dreptunghic ⇒ VM2 =VO2 + OM2 D C cm 32=4 + VO2⇒ VO = O M A B 4
Lungimea înălţimii unei piramide hexagonale regulate VABCDEF este egală cu 9 cm, iar măsura unghiului format de o faţă laterală cu planul bazei este de 60o. Calculaţi: a) apotema piramidei ; b) aria totală a piramidei; • c) distanţa de la mijlocul muchiei AF la planul (VCD). V Se demonstrează că unghiul dintre faţa VCD şi planul bazei este VMO. ΔVOM = dreptunghic ⇒sin(∡VMO) = VO/VM Deci VM = cm Din ΔVOM= dreptunghic, deducem OM = 9 Deci AB = 6 cm. ⇒Pb = 36 cm cm2 F E cm2 cm2 N Pentru distanţa de la N la planul VCD , ducem perpendiculara NP pe VM A D O M C NP⊥VM , NP⊥CD (CD⊥VMN) ⇒NP⊥(VCD) B
Pentru a calcula NP , considerăm triunghiul isoscel VNM V cm2 Aria ΔVMN = MN . VO /2 = P Aria ΔVMN = VM . NP /2 = Deci NP = 9 cm. M N O Altfel : Deoarece MN = VM = VN ⇒ ΔVMN = echilateral , deci NP = VO = 9 cm Deci distanţa de la N la planul (VCD) este egală cu 9 cm.