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Die Korrespondenz zwischen Automaten und Logik

Die Korrespondenz zwischen Automaten und Logik. [Moshe Vardi: “A match made in heaven“]. Jens Kerber. Betreuer: Tim Priesnitz. Gert Smolka Programming Systems Lab Universität des Saarlandes . Logische Aspekte von XML (SS03). a. a. b. q1. q0. b. Einführendes Beispiel. Überblick.

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Die Korrespondenz zwischen Automaten und Logik

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Presentation Transcript

  1. Die Korrespondenz zwischen Automaten und Logik [Moshe Vardi: “A match made in heaven“] Jens Kerber Betreuer: Tim Priesnitz Gert Smolka Programming Systems Lab Universität des Saarlandes Logische Aspekte von XML (SS03)

  2. a a b q1 q0 b Einführendes Beispiel

  3. Überblick • Darstellungen mit Hilfe der charakteristischen Mengen • schwache SkS • Korrespondenz zwischen Baumautomaten und schwacher SkS • Komplexität • Anwendung auf Presburger Arithmetik

  4. Isomorphie zwischen Prädikaten und Mengen Charakteristische Funktion: Charakteristische Menge:

  5. String als Matrix

  6. Charakterisierende Mengen als String

  7. String als Matrix

  8. String als Matrix Tupel-Automat

  9. Tupel-Automat 0 1 2 3 4 ... * f 1 0 0 1 0 0 a * f 0 1 1 0 0 0 Logik b * f 0 0 0 0 1 0 c * f 0 0 0 0 0 0 d String als Matrix

  10. schwache SkS Nur Variablen 2. Ordnung Atomare Formeln: Logische Verknüpfungen:

  11. Abgeleitete Prädikate Teilmenge

  12. Abgeleitete Prädikate Teilmenge Wurzel

  13. Abgeleitete Prädikate Teilmenge Wurzel Endliche Vereinigung

  14. Abgeleitete Prädikate Teilmenge Wurzel Endliche Vereinigung Schnittmenge

  15. Abgeleitete Prädikate Teilmenge Wurzel Endliche Vereinigung Schnittmenge Disjunkte Zerlegung

  16. Abgeleitete Prädikate Teilmenge Wurzel Endliche Vereinigung Schnittmenge Disjunkte Zerlegung Präfixabgeschlossenheit

  17. Abgeleitete Prädikate Teilmenge Wurzel Endliche Vereinigung Schnittmenge Disjunkte Zerlegung Präfixabgeschlossenheit Gleicheit

  18. Abgeleitete Prädikate Teilmenge Wurzel Endliche Vereinigung Schnittmenge Disjunkte Zerlegung Präfixabgeschlossenheit Gleicheit Leerheit

  19. Abgeleitete Prädikate Teilmenge Wurzel Endliche Vereinigung Schnittmenge Disjunkte Zerlegung Präfixabgeschlossenheit Gleicheit Leerheit Einelementige Menge

  20. Abgeleitete Prädikate Teilmenge Wurzel Endliche Vereinigung Schnittmenge Disjunkte Zerlegung Präfixabgeschlossenheit Gleicheit Leerheit Einelementige Menge Ordnung auf Individuen

  21. Kodiere Bäume inschwacher SkS Nicht leer

  22. Kodiere Bäume inschwacher SkS Nicht leer X disjunkte Vereinigung von X1,...,Xn

  23. Kodiere Bäume inschwacher SkS Nicht leer X disjunkte Vereinigung von X1,...,Xn Präfixabgeschlossen

  24. Kodiere Bäume inschwacher SkS Nicht leer X disjunkte Vereinigung von X1,...,Xn Präfixabgeschlossen Anzahl Nachfolger entspricht Stelligkeit

  25. Wort: Baum: Wörter und Bäume in schwacher SkS

  26. Entscheidbarkeit Satz: [Büchi,1960][Thatcher&Wright,1968] schwache SkS ist entscheidbar Beweisidee: Rückführung auf Automaten

  27. Satz: [Büchi,1960][Thatcher&Wright,1968] • Schwache SkS und Baumautomaten • haben die gleiche Expressivität • Beweisidee Automat nach Formel: • Entwickle Formel die genau dann erfüllt ist wenn • der entsprechende Automat den Baum akzeptiert • Beweisidee Formel nach Automat: • - Induktion über die Struktur der Formel • - Baue Automaten für jede Basisformel • - Verknüpfe Automaten für Basisformeln

  28. Bottom-up Baumautomat durch schwache SkS Es existiert Zustandsfolge

  29. Bottom-up Baumautomat durch schwache SkS Es existiert Zustandsfolge Baum markiert mit Funktionssymbolen

  30. Bottom-up Baumautomat durch schwache SkS Es existiert Zustandsfolge Baum markiert mit Funktionssymbolen Baum markiert mit Zuständen

  31. Bottom-up Baumautomat durch schwache SkS Es existiert Zustandsfolge Baum markiert mit Funktionssymbolen Baum markiert mit Zuständen Wurzel im Endzustand

  32. Bottom-up Baumautomat durch schwache SkS Es existiert Zustandsfolge Baum markiert mit Funktionssymbolen Baum markiert mit Zuständen Wurzel im Endzustand Alle Transitionsregeln im Lauf respektiern Δ

  33. q0 Endlicher Automat für atomare Formel

  34. q0 Endlicher Automat für atomare Formel

  35. Endlicher Automat für atomare Formel q1 q0

  36. ü ü ü ü Endlicher Automat für atomare Formel q1 q0

  37. q q q q 0 0 1 1 0 1   ü ü q q q q q q ü  Baumautomat für atomare Formel

  38. q2 q0 q1 Endlicher Automat für atomare Formel

  39. q2 q0 q1 Endlicher Automat für atomare Formel

  40. Endlicher Automat für atomare Formel q0 q1 q2 q3

  41. Endlicher Automat für atomare Formel q0 q1 q2 q3 ü

  42. q´´ q´ q´´ q´´ q 0 0 0 0 0 1 1 0   q´´ q´ q q q´´ q q q Baumautomat für atomare Formel

  43. 0 0 0 1 … 1 0 … … … ü Akzeptierter Baum für

  44. Endliche charakteristische Funktion in schwacher SkS fX Shape(X)

  45. Endliche charakteristische Funktion in schwacher SkS fX Shape(X)

  46. Endliche charakteristische Funktion in schwacher SkS fX Shape(X)

  47. Verknüpfung • Negation: • Determinisierung • Automat vervollständigen • Normal- und Endzustände vertauschen • Disjunktion: • Zylindrifikation • Existenzquantifizierung: • Projektion

  48. Zylindrifikation am Beispiel der Transitivität q0 q1 q2

  49. q0 q2 q1 q3 q7 q6 q5 q8 q9 Automat für

  50. Projektion am Beispiel q0 q2 q1 q4 q3

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