P ropri étés Intégrales des Mod èles Cosmologiques non-homogènes

1. Propriétés Intégrales des Modèles Cosmologiques non-homogènes Thomas Buchert LMU Munich • Dynamique intégrale non-linéaire • Statistique intégrale non-linéaire

2. Première Partie : Dynamique Non-linéaire des Modèles Cosmologiques

3. Le Triangle Cosmique Le Modèle Standard Les Paramètres Cosmologiques Bahcall et al. (1999)

4. Le Modèle Concordance 0,3 0 0,7 Bahcall et al. (1999)

5. Le Modèle « Effectif » Pourquoi nous considerons une distribution lissée ? Exemple d’une Propriété Intégrale: La surface totale d’une sphère représentant le volume total du modèle standard avec k > 0 et la surface totale de la lune … A=4 R2 Alune¼ 40 Asphère “Surface roughening”

6. “Surface roughening”

7. Lisser la Géométrie des Espaces Aparté : k = 0 <  > = 0 Modèle Friedmann Euclidien Modèle non-homogène Riemannien VE  > 0  < 0  > 0 VR

8. Le problème avec l’orange :

9. Comparaison des Volumes ,g t = const. E3

10. Préserver la Masse M B0 ,g M La densité lissée riemannienne : La densité lissée euclidienne : M La fraction des volumes : _ B

11. Un Modèle Simple  = 1.64 Une vraie boule e s p a c e e u c l i d i e n VEuclid = 2/6 VRiemann

12. Fin de l’Aparté ! Maintenant : Modèles Newtoniens

13. Différence entre Modèles homogène et non-homogène Modèle Friedmann Euclidien Modèle non-homogène Euclidien Non-commutativité

14. La Construction d’unModèle Générique 1/3 1/3 a(t) = V aD(t)=V t Espace - Temps de Newton Le Modèle Standard Le Modèle «Effectif»

15. L’évolution lagrangienne M xi = fi (qj,t) i,j=1,2,3 t x2 M x1

16. L’évolution lagrangienne M t x2 M x1

17. La déformation lagrangienne t v1 = f1 (q1 ,t) f1 (q1 ,t) q1 x1 x1

18. L’évolution du volume xi = fi (qj , t) d3x = J(qi ,t) d3q <A>: = 1/V sD A d3 x

19. Lisser une distribution A xi = fi (q1,t) d3x = J(qi ,t) d3q

20. Non-Commutativité

21. Entropie d’information relative Kullback-Leibler : S > 0 d/dt S > 0 : L’information dans l’Univers augmente ! en compétition avec l’expansion

22. Quelle est la dynamique du domaine ? Maintenant : Etude du taux d’expansion

23. L’équation de Euler : d/dt vi= gi ) d/dt vi,j = vi,kvk,j + gi,j Vi,j = 1/3 ij + ij + ij i = j L’équation de Newton : gi,i =  – 4 G  ) L’équation de Raychaudhuri Lisser sur un domaine spatial : Lisser le taux d’expansion : Le règle de non-commutativé : L’équation de Raychaudhuri :

24. Les équations généralisées de Friedmann 　　　　 Les fluctuations intégrales (« backreaction ») :

25. Le Quatuor Cosmique Le paramètre de Hubble effectif : Les paramètres cosmologiques effectifs : avec : Modèle analytique de vitesses

26. Est-ce qu’il y a des autres possibilités d’avoir Q = 0 ? • Régions sphériques • 2. Conditions frontières

27. Les Boules en Fer de Newton QR = 0 a R « Top-Hat »

28. Propriétés Globales des Modèles Newtoniens Les conditions de frontière sont périodiques

29. Le modèle effectif Newtonien sur l’échelle globale est le même que le modèle standard ! Mais: les observations sont faites sur des échelles régionales ) on peut calculer les effets au niveau régional avec les outils standards !

30. Simulations des structures aux grands échelles E u c l i d e e n MPA Garching

31. 1024 cube Modèle lagrangien 2nd ordre  C D M

32. numerique Le modèle lagrangien perturbatif avec un spectre coupé analytique TZA  C D M

33. Modèle analytique pour les fluctuations intégrales Les Invariants de i|k := ( i /  qk ) : I := trace ( i|k ) II := ½ [ trace ( i|k )2 - i|jj|i ] III := det ( i|k ) 1. L’approximation de Zel’dovich : xi = f Zi (q,t) = a (t) qi + b (t) i (q) v Zi = d/dt f Zi ) QZ = QZ ( v Zi , v Zi,j ) 2. Evolution perturbative du volume : JZ = det (f Zi|k) = a3 [ 1 + b I + b2 II + b3 III ] aD3 (t) = a3 [ 1 + b < I >i + b2 < II >i + b3 < III >i ]

34. 3. Evolution non-perturbative du volume : Les relations dans le cas sphérique : < II > = 1/3 < I > 2 < III > = 1/27 < I > 3 ) QZ= 0

35. Résultat :échelle 100 Mpc/h

36. 300 Mpc/h 600 Mpc/h Variance Cosmique

37. Conclusions : Les effets Newtoniens sont régionaux « Backreaction » peut se comporter qualitativement comme ``  (t) ‘’ Il ne peut pas remplacer quantitativement « l’énergie noire» Mais les autres paramètres cosmologiques sont influencés indirectement et peuvent changer beaucoup !

38. Le Contexte Relativiste 1/3 aD= VR d2 s = - dt2 + gij dXi dXj t t Espace - Temps de Einstein gij

39. Les équations généralisées de Friedmann 　　　　 Les fluctuations intégrales (« backreaction ») : La condition d’intégrabilité : Le cas homogène :

40. Lisser la géometrie ,g t = const. E3

41. Conclusions : Les équations relativistes intégrales sont les mêmes que les équations Newtoniennes ! Globalement on n’a pas Q = 0 Q est relié à <R> ( La courbure globale change avec la formation des structures ! ) Les autres paramètres cosmologiques peuvent changer beaucoup, alors: l’effet de la courbure peut être important ( « l’énergie noire » )

42. Seconde Partie : Statistique Non-linéaire des Modèles Cosmologiques

43. Les Fonctionelles de Minkowski Propriétés intégrales du domaine Minkowski (1903) Les Fonctionelles de Minkowski : Gauss-Bonnet Ici: La Topologie !

44. La Morphologie du Domaine Les équations généralisées de Friedmann : Fonctionelles de Minkowski Le terme « réréaction » : Fonctionelles de Minkowski : Boule en Fer La boule en fer de Newton :

45. Point de Vue Morphologique : La morphologie du domaine contrôle l’évolution effective des champs dans le domaine Mais la topologie peut changer !!

46. Changement de Topologie

47. Singularités des Fronts

48. Comment construire un corps (un domaine) à partir des données observées ? Exemples des données : catalogues des galaxies = une collection de points

49. Le construction d’un corps I CfA Coma Les contours « excursion »

50. Le construction d’un corps II Modèle Boole