Esperienza di una prima nel calcolo dell’area di un cerchio di raggio 1

1. Esperienza di una prima nel calcolo dell’area di un cerchio di raggio 1 calcolo di aree col metodo della probabilità Simuliamo la caduta della pioggia Classe 1I Liceo Scientifico “Filippo Buonarroti A.S.2004 / 2005

2. la pioggia n° di gocce interne P = tutte le gocce • Abbiamo considerato un quadrato di lato 1 e all'interno un quarto di circonferenza di raggio 1. • Supponiamo che su questa superficie cadono casualmente delle gocce. • Noi vogliamo sapere la probabilità che una goccia cada all'interno dell’arco di cerchio

3. inizio procedura • Abbiamo considerato i punti interni al quadrato e abbiamo attribuito loro le coordinate X e Y, numeri a caso compresi fra 0 e 1 con la funzione random; • ne abbiamo considerato la distanza dall’origine con il teorema di Pitagora e ci siamo chiesti se questa distanza fosse minore o maggiore di 1. • Nel primo caso consideriamo l’evento “favorevole” e gli assegniamo il valore 1, nel secondo lo consideriamo “non favorevole” e gli assegniamo valore 0.

4. costruire il quarto di cerchio • Per costruire l’arco abbiamo • suddiviso il lato sull’asse X in 100 parti di ampiezza 0.01 • abbiamo calcolato la corrispondente ordinata • abbiamo fatto una tabella in Excel con i valori di x e i corrispondenti valori di y

5. il grafico Il grafico e’ un grafico a dispersione

6. 1000 eventi • Abbiamo estratto 1000 punti a caso e sommato tutti gli eventi favorevoli, ovvero tutti gli 1 • Questo risultato lo abbiamo diviso per la totalità degli eventi (ossia 1000) e abbiamo trovato un risultato del tipo 0.792 • Abbiamo moltiplicato per 4 la probabilità che le gocce cadano dentro al quarto di cerchio

7. ma le misure non sono tutte uguali • Allora abbiamo pensato di inserire in una colonna i dati presi dai singoli gruppi, magari anche più volte e di cercare di capire quale fosse il valore medio e il più frequente • I valori sembravano variare fra 3.0 e 3.3, così abbiamo suddiviso questo intervallo in intervallini di ampiezza 0.02 e abbiamo considerato le frequenze

8. costruire un istogramma i dati presi erano 40 e la distribuzione e’ stata la seguente

9. la distribuzione siamo stati fortunati !

10. ma questo numero lo conosciamo • abbiamo fatto la media dei dati ottenuti dai gruppi e abbiamo trovato 3.1445 • ma questo numero somiglia molto a π! • abbiamo ripercorso il cammino fatto e ci siamo resi conto che π e’ proprio l’area di un cerchio di raggio 1 • la nostra, oltre a essere una misura dell’area del cerchio e’ anche una misura approssimata di π

11. dove si può arrivare con lo stesso procedimento Y = x2 Area = 0.3305 Con 0 < x < 1

12. o anche in seguito... L’area sotto y =sin(x) per 0 < x < π Su 2000 eventi si ottiene 2.005

13. cosa rimane agli studenti il punto di vista dell’insegnante • hanno imparato ad usare il foglio elettronico che e’ molto utile in tante situazioni • hanno affrontato un problema che mette insieme molti aspetti della matematica anche se a livelli elementari, la probabilità, l’algebra, la geometria, il piano cartesiano • si sono impadroniti di uno strumento che verrà ripreso spesso per il calcolo di aree (parabola, cicloide, funzioni ) prima di poterle calcolare con gli integrali. • si sono resi conto che anche in matematica le misure non sono sempre esatte ma possono essere misure statistiche

14. cosa rimane agli studenti il punto di vista dell’insegnante ma soprattutto ... si sono divertiti !!!