3. Representa o di drica de pontos, rectas e planos

1. 3. Representa��o di�drica de pontos, rectas e planos Geometria Descritiva 2005/2006

2. Geometria de Monge Utilizam-se simultaneamente dois sistemas de projec��o paralela ortogonal. Os planos de projec��o s�o perpendiculares.

3. Planos de projec��o

4. Semi-planos de projec��o

5. Cota e asfastamento

6. Representa��o num plano

7. Planos bissectores

8. Representa��o do ponto Pontos situados no 1� quadrante ou 1� diedro de projec��o.Pontos situados no 1� quadrante ou 1� diedro de projec��o.

9. Representa��o do ponto Pontos situados no 1� quadrante ou 1� diedro de projec��o.Pontos situados no 1� quadrante ou 1� diedro de projec��o.

10. Representa��o do ponto Pontos situados no 1� quadrante ou 1� diedro de projec��o.Pontos situados no 1� quadrante ou 1� diedro de projec��o.

11. Representa��o do ponto Pontos situados no 1� quadrante ou 1� diedro de projec��o.Pontos situados no 1� quadrante ou 1� diedro de projec��o.

12. Representa��o do ponto

13. Representa��o da recta As projectantes dos v�rios pontos da recta definem planos projectantes A intersec��o dos planos projectantes com os planos de projec��o s�o as projec��es da recta.

14. Representa��o da recta Recta obl�qua

15. Representa��o da recta Recta vertical

16. Representa��o da recta Recta de topo

17. Representa��o da recta Recta horizontal ou recta de n�vel

18. Representa��o da recta Recta frontal ou de frente

19. Representa��o da recta Recta horizontal de frente

20. Representa��o da recta Recta de perfil Todas as rectas contidas no mesmo plano de perfil t�m a mesma projec��o. Isto �, as duas projec��es n�o identificam a recta no espa�o. Esta identifica��o s� � poss�vel mediante a indica��o da projec��o de dois dos seus pontos. Todas as rectas contidas no mesmo plano de perfil t�m a mesma projec��o. Isto �, as duas projec��es n�o identificam a recta no espa�o. Esta identifica��o s� � poss�vel mediante a indica��o da projec��o de dois dos seus pontos.

21. Representa��o da recta Recta passante Todas as rectas contidas no mesmo plano de perfil t�m a mesma projec��o. Isto �, as duas projec��es n�o identificam a recta no espa�o. Esta identifica��o s� � poss�vel mediante a indica��o da projec��o de dois dos seus pontos. Todas as rectas contidas no mesmo plano de perfil t�m a mesma projec��o. Isto �, as duas projec��es n�o identificam a recta no espa�o. Esta identifica��o s� � poss�vel mediante a indica��o da projec��o de dois dos seus pontos.

22. Representa��o da recta Uma recta do 1� bissector ter� projec��es sim�tricas em rela��o ao eixo X.

23. Representa��o da recta Uma recta do 2� bissector ter� projec��es coincidentes.

24. Tra�os de uma recta Tra�o de uma recta num plano � o ponto de intersec��o da recta com o plano. Tra�os de uma recta nos planos de projec��o:

25. Tra�os de uma recta Tra�o horizontal da recta tem cota nula Tra�o frontal da recta tem afastamento nulo

26. Tra�os de uma recta Para encontrar os tra�os frontal e horizontal de uma recta procuram-se os pontos da recta que t�m respectivamente afastamento e cota nulas.

27. Tra�os de uma recta

28. Tra�os de uma recta Tra�os de uma recta no plano bissector b13

29. Tra�os de uma recta Tra�os de uma recta no plano bissector b24

30. Ponto pertencente a uma recta Um ponto pertence a uma recta se e s� se as projec��es do ponto estiverem sobre as projec��es hom�nimas da recta (excepto no caso da recta ser de perfil)

31. Posi��o relativa de duas rectas Rectas complanares (rectas situadas sobre o mesmo plano) Concorrentes: t�m um e um s� ponto comum Paralelas: n�o t�m nenhum ponto comum Rectas enviesadas

32. Posi��o relativa de duas rectas Representa��o de rectas concorrentes: O ponto comum �s duas rectas tem as suas projec��es situadas sobre as projec��es hom�nimas das rectas e sobre a mesma linha de refer�ncia.

33. Posi��o relativa de duas rectas Representa��o de rectas paralelas: Duas rectas paralelas, n�o de perfil, t�m as suas projec��es hom�nimas paralelas

34. Representa��o do plano Um plano � definido por: Tr�s pontos n�o colineares Uma recta e um ponto exterior � recta

35. Representa��o do plano Um plano � definido por: Duas rectas concorrentes Duas rectas paralelas rectas concorrentes num ponto impr�prio (no infinito)

36. Representa��o do plano Qualquer uma das formas apresentadas serve para definir e representar um plano em Geometria de Monge No entanto, n�o d�o uma ideia imediata da posi��o do plano Assim, recorre-se habitualmente � sua representa��o pelos seus tra�os (duas rectas concorrentes especiais)

37. Representa��o do plano Tra�o de um plano noutro plano � a recta de intersec��o dos dois planos Tra�o horizontal do plano Recta de intersec��o do plano com o plano horizontal de projec��o Tra�o frontal do plano Recta de intersec��o do plano com o plano frontal de projec��o

38. Representa��o do plano

39. Representa��o do plano Plano obl�quo

40. Representa��o do plano Plano vertical ou projectante horizontal

41. Representa��o do plano Plano de topo ou projectante frontal

42. Representa��o do plano Plano horizontal ou de n�vel

43. Representa��o do plano Plano frontal ou de frente

44. Representa��o do plano Plano de perfil

45. Representa��o do plano Plano de rampa

46. Representa��o do plano Plano passante

47. Determinar os tra�os de um plano Definido por duas rectas Se uma recta pertence a um plano os seus tra�os encontram-se sobre os tra�os do mesmo nome do plano.

48. Determinar os tra�os de um plano

49. Determinar os tra�os de um plano Definido por tr�s pontos n�o colineares Passa-se pelos tr�s pontos duas rectas Procede-se de acordo com o procedimento indicado para determinar o tra�o de um plano definido por duas rectas

50. Rectas pertencentes a planos Determinar se uma recta pertence a um plano Uma recta pertence a um plano se contiver dois pontos desse plano Toda a recta que � concorrente com duas rectas de um dado plano em pontos diferentes � tamb�m recta do plano Toda a recta que � concorrente com uma recta do plano e paralela a outra recta desse plano � tamb�m recta do plano

51. Rectas pertencentes a planos Determinar uma recta pertencente a um plano definido por duas rectas concorrentes

52. Rectas pertencentes a planos Determinar uma recta pertencente a um plano definido por duas rectas paralelas

53. Rectas pertencentes a planos Determinar uma recta pertencente a um plano definido por uma recta e um ponto Converte-se num dos problemas anteriores Passando pelo ponto uma recta concorrente ou paralela � recta dada.

54. Rectas pertencentes a planos Determinar se uma recta pertence a um plano Uma recta pertence a um plano (n�o paralelo nem a ?0 nem a ?0) se tiver os seus tra�os situados sobre os tra�os hom�nimos do plano Uma recta frontal pertence a um plano frontal se o seu �nico tra�o pertencer ao �nico tra�o (horizontal) do plano Uma recta horizontal pertence a um plano horizontal se o seu �nico tra�o pertencer ao �nico tra�o (frontal) do plano

55. Rectas pertencentes a planos Determinar uma recta pertencente a um plano definido pelos seus tra�os

56. Rectas pertencentes a planos Determina��o das rectas horizontais de um plano Uma recta horizontal � uma recta cujos pontos t�m todos a mesma cota Uma recta horizontal de um plano com determinada cota � o conjunto de todos os pontos do plano com a essa cota

57. Rectas pertencentes a planos Determina��o das rectas horizontais (com uma cota dada) de um plano dado por duas rectas concorrentes

58. Rectas pertencentes a planos Determina��o das rectas frontais de um plano Uma recta frontal � uma recta cujos pontos t�m todos o mesmo afastamento Uma recta frontal de um plano com determinado afastamento � o conjunto de todos os pontos do plano com a esse afastamento

59. Rectas pertencentes a planos Determina��o das rectas frontais (com um afastamento dado) de um plano dado por duas rectas concorrentes

60. Rectas pertencentes a planos Determina��o das rectas de maior declive de um plano Rectas de maior declive de um plano s�o as rectas que fazem o maior �ngulo com o plano horizontal de projec��o

61. Rectas pertencentes a planos Determina��o das rectas de maior declive de um plano

62. Rectas pertencentes a planos Determina��o das rectas de maior declive de um plano definido por duas rectas concorrentes

63. Rectas pertencentes a planos Determina��o das rectas de maior inclina��o de um plano Rectas de maior inclina��o de um plano s�o as rectas que fazem o maior �ngulo com o plano frontal de projec��o

64. Rectas pertencentes a planos Determina��o das rectas de maior inclina��o de um plano

65. Rectas pertencentes a planos Determina��o das rectas de maior inclina��o de um plano definido por duas rectas paralelas (rectas concorrentes num ponto impr�prio)

66. Pontos pertencentes a planos Determinar um ponto (de que se conhece uma das projec��es) pertencente a um plano dado pelos seus tra�os

67. Pontos pertencentes a planos Determinar um ponto pertencente a um plano definido pelos seus tra�os Escolha a posi��o de uma das projec��es do ponto Identifique a posi��o da outra projec��o do ponto utilizando o procedimento indicado no acetato anterior

68. Pontos pertencentes a planos Determinar um ponto pertencente a um plano definido por rectas concorrentes

69. Pontos pertencentes a planos Determinar se um dado ponto pertence a um plano Parte-se de uma das projec��es do ponto Aplicam-se os m�todos anteriores para verificar se a sua outra projec��o corresponde ou n�o � projec��o que o ponto deveria ter para pertencer ao plano