2. gyakorlat

1. Az informatika logikai alapjai INCK401Előadó: Dr. Mihálydeák Tamás Sándor Gyakorlatvezető: Kovács Zita 2014/2015. I. félév 2. gyakorlat

2. 6. Két halmaz Descartes (direkt) - szorzata • Azoknak a rendezett pároknak a halmazát, amelyeknek az első komponense az A-nak, a második komponense a B-nek eleme, az A és a B halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. • Jele: A x B • A x B = { (x;y) | x ∈ A és y ∈ B } • Ha |A|=n és |B|=m, akkor |A x B|=n*m

3. Descartes-szorzat Példa: • A = {1; 2} • B = {1; 3} • A x B = {(1;1); (1;3); (2;1); (2;3)}

4. 6+1. n db halmaz Descartes (direkt) - szorzata • Azoknak a rendezett elem-n-eseknek a halmazát, amelyeknek az első komponense az A1-nek, a második komponense a A2-nek, …, és az n-dik komponense az An-nek eleme, az A1, A2, …An halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. • Jele: A1 x A2 x … x An • A1x A2x … xAn = { (a1,a2,…,an) | a1∈A1, a2∈ A2, …, an∈ An }

5. Halmazműveletek főbb azonosságai • Két halmaz egyenlő, ha ugyanazok az elemeik. • Kommutatív • Asszociatív • Disztributív • Idempotens • De-Morgan • Stb…

6. 2. Relációk • Definíció: Az A és B halmazok Descartes-szorzatának egy R ⊆ AxB részhalmazát az A és B halmazok közötti (binér) relációnak nevezzük. • Ha (a,b) ∈ R, akkor azt mondjuk, hogy „az a elem R relációban van b-vel”; aRb • A=B esetén A-n értelmezett relációnak mondjuk.

7. 2. Relációk • Definíció: Az A halmazon értelmezett R ⊆ AxA relációt • Ekvivalenciarelációnak nevezzük, ha R • Reflexív (∀a ∈ A: aRa) • Szimmetrikus (∀a, b ∈ A: ha aRb, akkor bRa) • Tranzitív (∀a, b, c ∈ A: ha aRb és bRc, akkor aRc) Példa: = (feladat ellenőrizni)

8. 2. Relációk • Definíció: Az A halmazon értelmezett R ⊆ AxA relációt • Féligrendezési relációnak nevezzük, ha R • Reflexív • Antiszimmetrikus (∀a, b ∈ A: ha aRb és bRa, akkor a=b) • Tranzitív Példa: részhalmaz (feladat ellenőrizni)

9. 2. Relációk • Definíció: Az A halmazon értelmezett R ⊆ AxA relációt • Rendezésnek nevezzük, ha R • Féligrendezés és • Minden a, b eleme A esetén: aRb vagy bRa Példa: A=R, ≤ (feladat ellenőrizni)

10. Példák, feladatok • Legyen A a sík összes egyeneseinek halmaza! • Ekvivalenciareláció-e az A halmazon a párhuzamosság? • Melyek az ekvivalenciaosztályok?

11. 3. Függvények • Definíció: Egy R ⊆ AxB relációt függvénynek nevezzük, ha abból, hogy (a,b)∈R és (a,c)∈R következik, hogy b=c. • Bármely adott dologhoz legfeljebb egy dolgot rendelünk hozzá.

12. 3. Függvények, mint egyértelmű hozzárendelések • A hozzárendelések között vannak olyanok, amelyek az egyik halmaz minden eleméhez a másik halmaznak pontosan egy elemét rendelik hozzá. • Ezek az egyértelmű hozzárendelések. Az egyértelmű hozzárendeléseket függvényeknek nevezzük. • A függvényeket kisbetűkkel jelöljük: f,g,h, … stb. • Azokat a függvényeket, amelyek mindkét irányban egyértelműek („megfordíthatóak”), kölcsönösen egyértelmű függvényeknek nevezzük.

13. 3. Függvények • A függvényt megadhatjuk • táblázattal • grafikonnal • nyíl-diagrammal • képlettel vagy egyéb utasítással • Azt a halmazt, amelynek az elemeihez hozzárendeljüka másik halmaz elemeit, alaphalmaznak, a másik halmazt, amelybe a hozzárendelt elemek tartoznak, képhalmaznak nevezzük. • A hozzárendelési szabály (utasítás) adja meg a függvényt, amely szerint az alaphalmaz elemeihez egyértelműen hozzárendeljük a képhalmaz elemeit.

14. Értelmezési tartomány - ÉT • Az alaphalmaz azon elemeinek a halmaza, amelyekre a hozzárendelési szabály érvényes. Ez lehet maga az alaphalmaz is. • Az értelmezési tartomány elemeit szokás változóknakis nevezni.

15. Értékkészlet - ÉK • A képhalmaz azon elemeinek a halmaza, amely értékeket a függvény felvesz. Ez lehet a teljes képhalmaz is. • Elemei a függvényértékek.

16. Tulajdonságok • injektív: ha különböző elemekhez különbözőket rendel hozzá (pl. log, exp) • szürjektív:minden elem előáll képelemként • bijektív (kölcsönösen egyértelmű): ha injektív és szürjektív

17. Példák, feladatok • f: R → R, x → 2x • g: R → R , x → x2 • stb…

18. Induktív definíció • Egy sajátos és nagyon megbízható definíciós módszer. Elsősorban halmazok és függvények definiálására használható. • A definíció két fő részből áll: • A bázis megadása • A szabály, vagy szabályok megadása

19. Példák • Természetes számok halmaza: • Bázis: a 0egy természetes szám • Bővítési szabály: ha a egy természetes szám, akkor a+1 is egy természetes szám • Pozitív páratlan számok halmaza :=P • Bázis: az 1 eleme P-nek • Bővítési szabály: ha a eleme P-nek, akkor a+2 is eleme P-nek

20. Példák • Öttel osztva kettő maradékot adó számok halmaza :=K • Bázis:2 eleme K-nak • Bővítési szabály: ha a eleme K-nak, akkor a+5 eleme K-nak • Hárommal osztható egész számok halmaza:=H • Bázis:3 eleme H-nak • Bővítési szabályok: • ha a eleme K-nak, akkor a+3 eleme K-nak • ha b eleme K-nak, akkor b-3 eleme K-nak

21. Példák • Faktoriális függvény (f) • Bázis: • (0;1) eleme f-nek • „(1;1) eleme f-nek” • Bővítési szabály: • ha (a;b) eleme f-nek, akkor (a+1; b*(a+1)) eleme f-nek (0;1); (1;1); (2;2); (3;6); (4;24); (5;120);…

22. Segédletek logikából • Halmazokhoz: http://www.math.klte.hu/~kovacsa/Halmaz.pdf • Dr. Mihálydeák Tamás: • http://www.inf.unideb.hu/~mihalydeak/Logika_html_2011_11_15.zip • http://www.inf.unideb.hu/~mihalydeak/Logika_my_twt-treeview.html • http://www.inf.unideb.hu/~mihalydeak/Inf_log_ea_06_07_1.pdf • Dr. Várterész Magda: • http://www.inf.unideb.hu/~varteres/logika/Logikafo.pdf • http://www.inf.unideb.hu/~varteres/logika_peldatar/matlog.pdf • http://www.inf.unideb.hu/~varteres/logika_peldatar/megoldas.pdf • Lengyel Zoltán: • http://www.inf.unideb.hu/~lengyelz/docs/logika.pdf