Download
1 / 16
170 likes | 400 Vues
MATEMATIKA. Obsah přednášky. Opakování, motivační příklady Funkce. 3. Limita funkce Derivace funkce Průběh funkce 1 proměnné, motivační příklady Lineární algebra 6. Integrál neurčitý 7. Integrál určitý.
E N D
MATEMATIKA Obsah přednášky. • Opakování, motivační příklady • Funkce. 3. Limita funkce • Derivace funkce • Průběh funkce 1 proměnné, motivační příklady • Lineární algebra 6. Integrál neurčitý 7. Integrál určitý • pro udělení zápočtu je nutno splnit současně: • nejvýše 4 absence na cvičeních včetně omluvených absencí • dostatečnou úspěšnost v průběžných testech • klasifikace u zkoušky v řádném termínu je výsledkem procenta úspěšnosti na cvičeních a zkouškového testu. • klasifikace u zkoušky v opravných termínech je výsledkem opravného testu.
Každý test na cvičeních je hodnocen procentem úspěšnosti 0% – 100%. Pro získání zápočtu musí být průměr úspěšností všech krátkých testů na cvičeních alespoň 55%. Pokud student nezíská zápočet, nemůže skládat zkoušku je hodnocen známkou “4“ (neprospěl) Klasifikace u zkoušky řádný termín: Klasifikace u zkoušky opravné termíny: • body pro klasifikaci jsou tvořeny • 70% za zkouškový test • 30% za procento úspěšnosti na cvičeních • body pro klasifikaci jsou tvořeny • 100% za opravný test • klasifikace: x je dosažené procento úspěšnosti: • x < 55, známka 4 • 55 x < 65, známka 3 • 65 x < 70, známka 2- • 70 x <80, známka 2 • 80 x <90, známka 1- • x 90, známka 1 • klasifikace: x je dosažené procento úspěšnosti: • x < 55, známka 4 • 55 x < 65, známka 3 • 65 x < 70, známka 2- • 70 x <80, známka 2 • 80 x <90, známka 1- • x 90, známka 1
Literatura. Dostálková I. Matematika 0, BF JU, Č. Budějovice,1992. Bušek I., Calda E. Matematika pro gymnázia. Základní poznatky, 2008 Charvát J., Zhouf J. Matematika pro gymnázia. Rovnice a nerovnice, 2008 Hrubý D, Kubát J. Matematika pro gymnázia. Diferenciální a integrální počet, 2008 Kočandrle M., Boček L. Matematika pro gymnázia. Analytická geometrie, 2008 Odvárko O. Matematika pro gymnázia. Funkce, 2008 Odvárko O. Matematika pro gymnázia. Goniometrie, 2008 Internetové odkazy. http://www.mojeskola.cz/ http://mathonline.fme.vutbr.cz/ http://www.ft.utb.cz/czech/um/studium/sbirka.htm http://www.priklady.eu/sk/Riesene-priklady-matematika.alej http://maths.cz/mapa-webu/ss-matematika.html
OPAKOVÁNÍ toho, co byste měli umět. • výroky, množiny • operace s reálnými čísly • absolutní hodnoty, relace mezi nimi • Výroky, množiny. Výrok je sdělení, u něhož mohou nastat pouze 2 možnosti: pravda, nepravda. Množina je soubor prvků určité vlastnosti. Výroky. V1 je zataženo V2 prší Operace s výroky. je zataženo a současně prší konjunkce (V1 V2) = (V1 a V2) = (V1 and V2) je zataženo nebo prší alternativa (V1 V2) = (V1 nebo V2) = (V1 or V2) když je zataženo, prší implikace (V1 V2) zataženo je právě, když prší ekvivalence (V1 V2) neprší negace ( V1) = (V1’) = (not V1)
Tabulky pravdivostních hodnot. V1 … mléko obsahuje vápník V2 … mléko obsahuje chlorofyl V1 ˄ V2 …mléko obsahuje vápník a chlorofyl Výrok je nepravdivý. V1 ˅ V2 …mléko obsahuje vápník nebo chlorofyl Výrok je pravdivý. Jestliže mléko obsahuje chlorofyl, pak obsahuje vápník. Výrok je pravdivý. Jestliže mléko obsahuje vápník, pak obsahuje chlorofyl. Výrok je nepravdivý.
Krávy létají jen tehdy, když kapr je savec. Výrok je pravdivý. ¬V1 … mléko neobsahuje vápník Výrok je nepravdivý. ¬V2 … mléko neobsahuje chlorofyl Výrok je pravdivý. Příklad. tautologie Negace konjunkce výroků V1 a V2.
Příklad. Negace implikace mezi výroky V1 a V2. tautologie Příklad. Negace ekvivalence mezi výroky V1 a V2.
Množiny. Způsoby definice množiny M: • M = {0, 2, 4, 6, 12}konečná množina zadaná výčtem prvků • M = {0, 1, 2, 3, ...}nekonečná množina • M = {xsplňující určité vlastnosti}množina zadaná vlastnostmi prvků x M x patří do množiny M 0 {0, 2, 4, 6, 12} x M x nepatří do množiny M 1 {0, 2, 4, 6, 12} A M A je podmnožinou množiny M{0, 2}{0, 2, 4, 6, 12} A MAnení podmnožinou množiny M{1, 3}{0, 2, 4, 6, 12} Definice. Nechť A a B jsou množiny. Pak • A Bprávě, kdyžpro každý prvek množiny A platí, že je prvkem množiny B. • A = Bprávě, kdyžA je podmnožinou Ba současněB je podmnožinou A. Struktura definice. • předpoklad (za jakých podmínek platí) • závěr (čeho se definice týká)
Příklad. A = B právě, když Aje podmnožinou Ba současněBje podmnožinou A. Z negace konjunkce plyne, že A ≠B právě, když (Anení podmnožinou B)NEBO (Bnení podmnožinou A). Speciální množiny. prázdná množina = množina neobsahující žádný prvek N množina přirozených čísel = {1, 2, 3, 4, ...} Zmnožina celých čísel = {...,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} Q množina racionálních čísel = {p/q, kde pZ, q N } R množina reálných čísel = všechny “body přímky“. Kvantifikátory. pro každý “pro každý prvek množiny A platí, že je prvkem množiny B.“ existuje “existuje (alespoň jedno) číslo, které nepatří do množiny N.“ Poznámky. prázdná množina {} množina obsahující 1 prvek, prázdnou množinu {x} R jednoprvková množina je podmnožinou množiny reálných čísel x Rprvek množiny reálných čísel
Operace s množinami. Nechť A a B jsou množiny. Pak • Průnik množin: A B = {x; x Aa současněx B}. Jestliže A B = , množinyse nazývají disjunktní. • Sjednocení množin: A B = {x; x Anebox B}. • Doplněk množiny A’= {x; x A} • Rozdíl množin: A -B = {x; x Aa současněx B} A B AB =(A-B)(B-A)(AB), při tom (A-B) (B-A)= a současně (A-B) (AB) = a současně (B-A) (AB) = . Říká se tomu disjunktní rozklad AB A-B AB B-A
Negace výroků. Příklady. V: Každý student umí malou násobilku. V: Nejvýše žádný student neumí násobilku. V/: Aspoň 1 student neumí násobilku. V/: Existuje student, který neumí násobilku. V: Existuje student, který umí malou násobilku. V: Aspoň 1 student umí násobilku. V/: Nejvýše 0 studentů umí násobilku. V/: Žádný (každý) student neumí násobilku. V: Aspoň 3 prvky patří množině A. V/: Nejvýše 2 prvky patří množině A. V: Nejvýše 3 prvky patří množině A. V/: Alespoň 4 prvky patří množině A.
Příklad. M A B C AC D AD AB = CB = DB = , množiny A, C, D jsou disjunktní s B D C, současně však C D, proto D C.
Operace s reálnými čísly. Nechť a, b, c R. komutativní zákon asociativní zákon jednotkový prvek Sčítání • a + b = b + a • (a + b) + c = a + (b + c) • a + 0 = a Násobení • ab = ba • (ab)c = a(bc) • a.1 = a , a.(-1) = -a • (a + b)c = ac + bc distributivní zákon Relace mezi reálnými čísly. • ab> 0 [(a> 0) (b > 0)] [(a < 0) (b < 0)] (x+1)(x+2)>0 [(x> -1) (x > -2)] [(x < -1) (x < -2)] (x < -2) (x> -1) • ab< 0 [(a> 0) (b < 0)] [(a < 0) (b > 0)] (x+1)(x+2)>0 [(x> -1) (x < -2)] [(x < -1) (x > -2)] -2 < x < -1 • ab = 0 (a = 0) (b = 0) (x+1)(x+2)= 0 (x = -2) (x = -1) • a / b> 0, b 0 [(a> 0) (b > 0)] [(a < 0) (b < 0)] • a / b < 0,b 0 [(a> 0) (b < 0)] [(a < 0) (b > 0)] • a / b= 0,b 0 (a = 0) • a> 0 - a < 0.
Příklad. Pro která reálná r, s platí Příklad. Pro která reálná r, s platí
Intervaly. • R = (-, + ) = {x; - < x <+ } • (a, b) = {x R; a < x <b } • (a, b > = {x R; a < x b } • Absolutní hodnoty. Nechť a R. Absolutní hodnota čísla a je nezáporné číslo (| a | 0) definované takto: a, pro a 0 | a | = - a, pro a 0 Příklad. Řešme rovnici | x – 4 | = 2. • Určíme “nulové body“ všech absolutních hodnot x – 4 = 0 x = 4. • Pro x> 4 je x – 4 > 0, tedy | x – 4 | = x – 4, | x – 4 | = x – 4 = 2 x = 6. • Pro x< 4 je x – 4 < 0, tedy | x – 4 | = - x + 4, | x – 4 | = - x + 4 = 2 x = 2. Rovnice má 2 řešení: x = 2 a x = 6.
Příklad. Řešme rovnici | x – 4 | = 2 na množině <5, + ). • Určíme “nulové body“ všech absolutních hodnot x – 4 = 0 x = 4. • Pro x> 4 je x – 4 > 0, tedy | x – 4 | = x – 4, | x – 4 | = x – 4 = 2 x = 6. • Pro x< 4 je x – 4 < 0, tedy | x – 4 | = - x + 4, | x – 4 | = - x + 4 = 2 x = 2. Na množině <5, + ) má rovnice 1 řešení: x = 6. Příklad. Řešme nerovnici | x – 4 | 2. • Určíme “nulové body“ všech absolutních hodnot x – 4 = 0 x = 4. • Nulový bod rozdělí reálnou osu na 2 intervaly: (- , 4 >, < 4, + ). • x– 4 ≤ 0 pro x (- , 4>,tedy | x – 4 |= 4 – x 2 2 x. Tedy x (- , 4> < 2, + ) = < 2, 4>. • x– 4 ≥ 0 pro x <4, + ),tedy | x – 4 |= x - 4 2 x6. Tedy x (- , 6 > <4 , + )= <4, 6 >. • Řešením nerovnice je tedy interval < 2, 4> <4, 6 > = <2, 6>.
