Aplicaţii ale integralei definite în diferite domenii

1. Aplicaţii ale integralei definite în diferite domenii

2. Concentraţia unei soluţii apoase a unei substanţe,variază urmând legea: • C , fiind grosimea stratului de soluţie. Care este cantitatea Q de substanţăconţinută într-o coloană verticală de soluţie a cărei secţiune dreaptă este S=1 m2 şi grosimea variind între 0 şi 200m ? Solutie: Considerăm un strat foarte mic al coloanei de soluţie apoasă cu secţiunea S si grosimea dx , situat la adâncimea x. Cantitatea de substanţă conţinută în acest strat este: dQ=CSdx= dx Integrând de la 0 la 200 se obţine:

3. 2.O firmă de publicitate a primit comanda de a inscripţiona pe 50 de tricouri sigla clientului, aceasta având forma ovală, încadrate într-un dreptunghi de dimensiuni 10 cm şi 20 cm. Costul inscripţionării este de 5 lei pe centimetru pătrat , iar adaosul practicat este de 20% Calculaţi profitul firmei de publicitate obţinut după executarea acesteicomenzi. (indicaţie: aproximaţi suprafaţa siglei cu aria unei elipse, considerând funcţiile unei unităţi de pe axă corespunzându-i 1 cm) , Soluţie: Cu ajutorul calculului integral calculăm aria elipsei:A=2 Raţionalizăm, despărţim în două integrale, una este formulă directă, iar cealaltă se calculează prin părţi.Obţinem

4. 3. Un cazan in formă cilindrică se termină cu un segment de paraboloid de rotaţie, generat de parabola (vezi figura 3). Să se calculeze: a) înălţimea parţii cilindrice a cazanului; b) aria secţiunii axiale S a cazanului; c) volumul cazanului, ştiind că h=4 m, d=1 m. • Ştiind că punctul A se află pe parabola, deci • rezultă Figura 3 b) Aria mulţimii , mărginite de arcul de parabola OA, axa Ox si este Aria mulţimii, mărginite de arcul de parabola BOA si dreapta AB, este:

5. Aria mulţimii ,a dreptunghiului ABCD, are expresia: Deci, c) Dacă notăm cu volumul segmentului de parabola şi respectiv al cilindrului, obţinem: Prin urmare, In cazul particular dat (h=4m, d=1m), rezultă aria, respectiv

6. 4. Să se arate ca într-un proces ireversibil izoterm, lucrul mecanic maxim efectuat este dat de variaţia energiei libere cu semn schimbat. Conform principiului al II lea al termodinamiciirezultă:

7. 5. O cantitate m=1kg de apă aflată la temperatura este pusă în contact termic cu un termostat având temperatura T=373K. a. Care este variaţia entropiei apei, a termostatului şi a ansamblului apa-termostat? b. Dacă apa este pusă in contact termic cu un termostat de temperatura şi apoi, dupa atingerea echilibrului termic cu un alt termostat cu temperatura , care este variaţia entropiei ansamblului apa-termostat? Sistemul apă-termostat este izolat adiabatic fata de mediul exterior. a.Caldura primită de apă este: dT Undeeste caldura specifică a apei. Variaţia de entropie a apei va fi atunci :

8. Termostatul aflat la termperatura T= const. Cedează apoi cantitatea de caldura iar variaţia de entropie corespunzătoare va fi: Variaţia de entropie a ansamblului va fi: b. Ţinând cont de rezultatul de mai sus, Variaţia entropiei ansamblului va fi in acest caz: Se observă că în cazul acesta, variaţia entropiei ansamblului este mai mică decât în primul caz.

9. 6.O găleată goală se pune sub robinet şi se umple cu apă. t reprezintă timpul cât stă galeata sub robinet. Debitul apei care curge este egal cu 2,3-0,1t galoane pe minut. Câtăapă este în galeată dupa 5 minute? Variabila independentă este timpul t măsurat în minute din momentul în care galeata a fost pusă sub robinet. Ni se dă formula pentru debitul apei r(t) cu care intră găleata în timpul t. Astfel r(t) va juca rolul unei functii f(x)menţionată mai sus. Notăm V(t) volumul în galoane a apei din galeată in timpul t. Ne interesează V(5) din ce moment ni s-a spuscăV(0)=0 (galeata este goală când o punem sub robinet) vom avea V(5)=V(5)-V(0) şi intervalul de interes este intervalul[0,5]. Functia r(t) este continuă în acest interval. Mai mult relaţia dintre debitul şi schimbarea de volum a apei este astfel dacă apa curge în galeată cu un debit constant r în intervalul de timp [c,d] atunci se schimba volumul intre timpul c si d după formula V(d)-V(c)=r(d-c). Astfel presupunerile 1 şi 2 sunt vf şi putem exprima V(5) ca o integrală definită: V(5)=V(5)-V(0)=

10. 7. O albină călătoreşte cu viteza . Unde t-timpul măsurat în secunde în momentul plecării de la stup. Cât de departe ajunge albina în timpul celei de a doua secundă? Soluţie: 8. Se confecţionează un vas având forma corpului de rotaţiedeterminat de funcţia , f(x)= , unei unităţi de pe axă corespunzându-i 10 cm. Verificaţi dacă încap în acest corp 50 litri de apă. Soluţie: 10cm=1dm, 1dm3=1l Calculăm volumul corpului de rotaţie determinat prin rotirea în jurul axei Ox a graficului funcţiei f: V= 50l

11. Probleme propuse • O colonie de bacterii creşte la o rată de 5,3 × 105 × 1.7t, în cazul în care nu se măsoară în ore. În cazul în care iniţial există 106 bacterii prezente, cât de multe bacterii vor fi în colonie după trei ore?

12. 2. Un fabricant de materiale de constructie vrea să realizeze un pavaj din dale având forma şi dimensiunile din figura 2, unde mijlocul I al segmentului AB este centru de simetrie pentru arcul . a. Să se arate că există o funcţie al cărei grafic este b. Dacă calculaţi aria dalei şi verificaţi rezultatul prin considerente geometrice.

13. 3. Un leu urmareşte o gazelă. Timpul se măsoara în secunde şi t=0 marchează începutul cursei ,de exemplu în momentul în care gazela îl vede pe leu. Pentru t≥0 viteza leului în km/h este dată de formula V(L)=90-2t (deci leul fuge deja cu viteza gazelei in km/h este dată de formula V(G)=5t (astfel gazela are viteza mai mare). a) În ce moment t gazela şi leul au aceeaşi viteză? b) Cu cât se diminuează distanţa dintre leu şi gazelă în timpul primelor 2 secunde ale cursei? c) Cât trebuie să se aproprie L de G la începutul cursei astfel incât să o prindă pe gazelă?