Le Isometrie nel piano

1. Le Isometrie nel piano

2. FASE A: INTRODUZIONE ESEMPI REALI • si stimolano gli studenti all’osservazione • Le simmetrie hanno sempre interessato l’uomo, sin dall’antichità • nella pittura di cui Escher (1898-1972) è il maggior esponente • Spesso le trasformazioni geometriche vengono riscontrate nella realtà di tutti i giorni (ad esempio quando viene aperta una porta essa ruota attorno al suo cardine ma le sue dimensioni non variano; lo stesso si può dire quando si aprono le pagine di un libro, quando si vede una giostra che gira) • Le simmetrie si trovano anche nella natura (ad esempio le molecole, fiori, stelle marine, insetti)

3. In tale fase si chiede agli alunni di descrivere le figure per vedere quali proprietà vengono individuate e con quali trasformazioni geometriche hanno già familiarità • L’introduzione del piano cartesiano, che verrà ripreso ampiamente per la rappresentazione di fenomeni, potrebbe suggerire un nuovo approccio e aiutare l’allievo a passare da un livello intuitivo a uno più razionale.

4. LAVORO DI GRUPPO Propongo un’attività a piccoli gruppi che abbia la finalità di giungere all’individuazione delle trasformazioni “di oggetti” nella realtà. • FASE 1: Consegna della scheda • FASE 2: Un’esponente del gruppo presenta cosa il gruppo ha individuato come “trasformazione”. • FASE 3: si scrivono alla lavagna i risultati • FASE 4: si determinano gli invarianti e i varianti delle trasformazioni individuate.

5. FASE 1: SCHEDA Relatore:____________ Individuate come nella realtà gli oggetti possono subire delle trasformazioni: Es: Se consideriamo un oggetto reale e lo fotografo, l’immagine che otteniamo è la stessa dell’oggetto solo che è rimpicciolita. Prova a trovare altri esempi. _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

9. FASE B: GENERALITA’ SULLE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO trasformazione geometrica: corrispondenza biunivoca che associa punti del piano a punti del piano stesso (vale anche per i segmenti, angoli, rette e figure geometriche). NB. Assegnare una trasformazione del piano significa, concretamente, definire un procedimento mediante il quale si possono trasformare tutti i suoi punti in altri punti dello stesso piano. trasformazione identica o identità è una trasformazione che associa ad ogni punto se stesso.

10. Quindi non sempre le caratteristiche di una figura in una trasformazione restano immutate; • in tal caso si dicono varianti, • nel caso contrarioinvarianti.

16. Altre definizioni: • elementi uniti di una trasformazione geometrica sono gli elementi del piano che hanno per trasformati se stessi. • involutoria: una trasformazione che, applicata 2 volte, coincide con la trasformazione identica.

17. ISOMETRIA: • la trasformazione geometrica che ad ogni coppia di punti A e B di un piano associa i punti A’ e B’ dello stesso piano, in modo che il segmento AB sia congruente a A’B’ (cioè è una trasformazione del piano che conserva la distanza tra due punti). isometrie: dal greco (isos = uguale ; metron = misura) che hanno come invarianti la misura ossia la distanza tra due punti. Proprietà dell’isometria: le isometrie trasformano segmenti in segmenti, rette in rette, rette parallele in rette parallele, rette incidenti in rette incidenti, angoli in angoli a esso congruenti, figure in figure congruenti.

18. Fase C: LE ISOMETRIE La classe abile nel costruire con riga e compasso molti oggetti geometrici, può conoscere metodologie capaci di riprodurre molte delle proprietà ad essi associate, anche se si possono riscontrare alcuni dubbi sulla vera consapevolezza nel merito. Quindi è attraverso la costruzione di oggetti già noti come segmenti, rette, angoli e triangoli, che verranno introdotti i concetti relativi alle isometrie. Sul piano metodologico ritengo quindi conveniente presentare le isometrie secondo un’impostazione sperimentale, evitando di appesantire la trattazione con dimostrazioni, che a volte risultano anche molto impegnative. In tale fase, alla presentazione di ogni singola isometria seguirà un’analisi delle proprietà specifiche di ciascuna; questo avverrà mediante quesiti posti alla classe, che condurranno gradualmente alla scoperta delle proprietà in questione e tramite l’assegnazione di esercizi da svolgere sia singolarmente sia alla lavagna.

19. Simmetria assiale di retta σ è la trasformazione geometrica che associa ad ogni punto P di un piano il punto P’, in modo che σ sia l’asse del segmento PP’

20. Proprietà: i punti che appartengono alla retta r (asse di simmetria) sono punti uniti; una retta a incidente in un punto Q su r che forma con essa un angolo α, ha per trasformata una retta a’ che passa ancora per Q e che forma un angolo congruente ad α ; una retta a perpendicolare ad r ha per trasformata se stessa (retta unita) (a non è una retta di punti uniti, perché ciascun punto della retta non ha per trasformato se stesso);

21. Proprietà (continua): una retta a parallela ad r ha per trasformata una retta a’ ancora parallela ad r; se il punto A’ è il trasformato di A, il trasformato di A’ è ancora A (carattere involutorio); se i vertici del triangolo ABC si susseguono in senso orario, i loro corrispondenti A’B’C’ si susseguono in senso antiorario (isometria inversa); inoltre i due triangoli, in generale 2 figure, sono congruenti (invarianti).

23. SIMMETRIE NOTEVOLI IN FIGURE GEOMETRICHE PIANE:Se una figura è trasformata in se stessa nella simmetria assiale di retta r, allora tale retta è detta asse di simmetria della figura (es. angolo, rettangolo, rombo, quadrato, cerchio, poligono regolare, triangolo isoscele, segmento, striscia definita da 2 rette parallele)

24. Equazioni rispetto agli assi cartesiani: se x è l’asse di simmetria del punto A(x;y), allora avrà come trasformato il punto A’(x;-y) (fig. sotto); analogamente se y è l’asse di simmetria del punto B(x;y), allora avrà come trasformato il punto B’(-x;y). Quindi: x’ = x y’ = - y oppure: x’ = -x y’ = y

25. Simmetria centrale di centro O è la trasformazione geometrica che associa ad ogni punto P di un piano il punto P’, in modo che il segmento PP’ ha come punto medio O

26. Proprietà: ha solo il punto O come punto unito, mentre tutte quelle che passano per il centro sono infinite rette unite (non sono rette di punti uniti); se il punto A’ è il trasformato di A, il trasformato di A’ è ancora A (carattere involutorio); se i vertici del triangolo ABC si susseguono in senso orario, i loro corrispondenti A’B’C’ ancora si susseguono in senso orario (isometria diretta); inoltre i due triangoli, in generale 2 figure, sono congruenti (invarianti); a ogni retta corrisponde una retta parallela; a ogni segmento corrisponde un segmento, ad ogni angolo corrisponde un angolo congruente.

27. SIMMETRIE NOTEVOLI IN FIGURE GEOMETRICHE PIANE:Se una figura è trasformata in se stessa nella simmetria centrale di centro O, allora il punto O è detto centro di simmetria della figura (es. segmento, parallelogrammo, cerchio, poligono regolare con nr lati pari, striscia definita da 2 rette parallele)

28. Equazioni rispetto agli assi cartesiani: Si è detto che se x è l’asse di simmetria del punto P(x;y), allora avrà come trasformato il punto P’(x;-y) e analogamente se y è l’asse di simmetria del punto P’(x;-y), allora avrà come trasformato il punto P’’(-x;-y), per cui: Quindi: x’=-x y’=-y

29. Traslazione

30. Traslazione di vettore v (segmento orientato individuato da una direzione, verso e modulo) è la trasformazione geometrica che associa ad ogni punto P di un piano il punto P’, in modo che il vettore PP’ sia congruente a v (cioè sia equipollente)

31. Proprietà: non ha nessun punto unito, mentre le infinite rette che hanno la stessa direzione del vettore v sono rette unite (non sono rette di punti uniti); se i vertici del triangolo ABC si susseguono in senso orario, i loro corrispondenti A’B’C’ ancora si susseguono in senso orario (isometria diretta); inoltre i due triangoli, in generale 2 figure, sono congruenti (invarianti);. a ogni retta corrisponde una retta parallela; a ogni segmento orientato corrisponde un segmento equipollente; a ogni angolo corrisponde un angolo congruente con i lati rispettivamente paralleli.

32. Per traslare una figura, si deve traslare ogni suo punto del vettore v; allora il vettore v è detto vettore di traslazione(es. segmento, retta, triangolo)

33. Equazioni rispetto agli assi cartesiani: Dato il punto P(x;y) e il vettore v di componenti (a,b), il suo trasformato P’(x’;y’) avrà a e b come le proiezioni di PP’ sugli assi, per cui: Quindi: x’ = x+a y’ = y+b

35. Rotazione di centro O e angolo orientato α (presuppone sia un’ampiezza che un verso di rotazione) è la trasformazione geometrica che associa ad ogni punto P di un piano il punto P’, in modo che il OP è congruente a OP’ e l’angolo POP’ è congruente a α

36. Proprietà: ha solo il punto O come punto unito, mentre le rette che passano per O e che hanno un angolo orientato piatto sono rette unite; solo la rotazione pari ad un angolo giro coincide con la trasformazione identica; se i vertici del triangolo ABC si susseguono in senso orario, i loro corrispondenti A’B’C’ ancora si susseguono in senso orario (isometria diretta); inoltre i due triangoli, in generale 2 figure, sono congruenti (invarianti). a ogni retta corrisponde una retta

37. Per ruotare una figura, si deve considerare sia il punto O detto centro di rotazione, sia l’angolo α detto ampiezza della rotazione (es. triangolo) NB. una simmetria centrale di centro O è una rotazione con centro di rotazione O e ampiezza della rotazione di 180° .

38. Equazioni rispetto agli assi cartesiani: Consideriamo una rotazione antioraria di ampiezza  e centro nell’origine degli assi che faccia corrispondere al punto P(x;y) il punto P’(x’;y’). Dalla figura x’ = OR = OP’ cos(+) = OP(coscos - sensen), quindi x’ = xcos - ysen. Analogamente y’ = RP’ = OP’ sen(+) = OP(sencos + cossen), per cui: y’ = xsen + ycos Quindi: x’ = xcos - ysen y’ = xsen + ycos

44. In Laboratorio Un ulteriore contributo sarà dato dall’utilizzo di Cabrì Geometre®, il quale possiede un menù chiamato Trasformazioni, contenente le 4 isometrie che verranno considerate di seguito, cioè:simmetria assiale, simmetria centrale, traslazione, rotazione.Queste particolari trasformazione sono importanti, perché ogni altra isometria può essere ottenuta come combinazione di queste 4 fondamentali.