Le trasformazioni del piano

1. Le trasformazioni del piano A cura della Prof.ssa Maddalena Dominijanni

2. Le Trasformazioni Geometriche Vogliamo conoscere le relazioni che sussistono tra gli oggetti geometrici quando subiscono trasformazioni • Si chiama trasformazione geometrica una corrispondenza biunivoca fra i punti di un piano A cura della Prof.ssa Maddalena Dominijanni

3. La trasformazione identica oidentitàè quella che associa ad ogni punto se stesso Si diceinvolutoriauna trasformazione che, applicata due volte, coincide con la trasformazione identica Si chiamanoinvarianti le caratteristiche che rimangono inalterate Varianti le caratteristiche che si modificano Elementi uniti gli elementi che hanno per trasformati se stessi A cura della Prof.ssa Maddalena Dominijanni

4. Gioco del Tangram: In questo antico gioco cinese, si realizzano trasformazioni spezzettando una figura geometrica. Due figure diverse ottenute con il Tangram si scompongono negli stessi pezzi (equiscomponibili) e quindi hanno come elemento invariato l’area. Che scomposto può essere visto così E trasformarsi così e così via A cura della Prof.ssa Maddalena Dominijanni

5. Invarianti • Le principali caratteristiche che una trasformazione può lasciare invariate sono: • La Lunghezza dei segmenti • L’ampiezza degli angoli • Il parallelismo • Le direzioni • Il rapporto tra i segmenti • L’orientamento dei punti del piano A cura della Prof.ssa Maddalena Dominijanni

6. Trasformazioni geometriche • Si possono suddividere in tre categorie: • Trasformazioni che si ottengono mediante deformazioni(esempio: disegno su tela elastica) • Trasformazioni che si ottengono per proiezioni (esempio: ombra di un oggetto) • Trasformazioni che si ottengono mediante movimenti (esempio: immagine riflessa) A cura della Prof.ssa Maddalena Dominijanni

7. Trasformazioni geometriche: LE ISOMETRIE Sono trasformazioni geometriche nelle quali la figura trasformatarimane congruente alla figurainiziale, conservandone sia la forma e sia la dimensione. Le trasformazioni isometriche si ottengono mediante movimenti rigidi delle figure, che cambiano unicamente la loro posizione nel piano. A cura della Prof.ssa Maddalena Dominijanni

8. Le isometrie Le principali isometrie sono: • Traslazioni • Rotazioni • Simmetria assiale • Simmetria centrale A cura della Prof.ssa Maddalena Dominijanni

9. La traslazione La figura F con un lato appoggiato sulla retta r è stata spostata con un movimento rigido ottenendo F’. F’ r F Destro  destro Il movimento che ha portato F in F’ è unatraslazione: ogni punto di F si è spostato della stessa lunghezza (6 cm), nella stessa direzione (parallelo ad r) e nello stesso verso ( a destra) dando origine ad F’. A cura della Prof.ssa Maddalena Dominijanni

10. Gli elementi che caratterizzano la traslazione sono quindi tre: La sua lunghezza (6 cm) La sua direzione (parallela ad r) Il suo verso (da sinistra a destra) Queste tre caratteristiche definiscono un segmento orientato, chiamato vettore, indicato con v o con AB A cura della Prof.ssa Maddalena Dominijanni

11. Per individuare un vettore occorre indicare: La sua direzione, cioè la retta a cui appartiene Il suo verso, che indica il senso di percorrenza La sua intensità o modulo, che rappresenta la lunghezza del segmento AB Teorema: la traslazione è un’isometria Con questo teorema affermiamo che due figure che si corrispondono in una traslazione sono congruenti. A cura della Prof.ssa Maddalena Dominijanni

12. Inoltre la traslazione ha come caratteristiche invarianti: • L’allineamento dei punti (collineazione) • La lunghezza dei segmenti • L’ampiezza degli angoli • Il parallelismo • Le direzioni • Il rapporto tra segmenti • L’orientamento dei punti del piano A cura della Prof.ssa Maddalena Dominijanni

13. La rotazione Un’altratrasformazione che mantiene invariatetutte le misure lineari e angolari è la rotazione attorno ad un punto. Per definire una rotazione è necessario che siano dati: Un punto, detto centro di rotazione L’ampiezza dell’angolo di rotazione Il verso di rotazione (orario o antiorario) A cura della Prof.ssa Maddalena Dominijanni

14. Teorema: la rotazione è un’isometria La rotazione quindi ha le proprietà delle isometrie ed in particolare trasforma una figura in un’altra ad essa congruente. Valgono le seguenti proprietà: Il solo punto unito è il centro di rotazione Non esistonorette unite se non quelle che si corrispondono in una rotazione pari ad un angolo piatto La rotazione di ampiezza pari ad un angolo giro coincide con la trasformazione identità A cura della Prof.ssa Maddalena Dominijanni

15. La rotazione ha come caratteristiche invarianti: • L’allineamento dei punti (collineazione) • La lunghezza dei segmenti • Il parallelismo • L’ampiezza degli angoli • Il rapporto tra segmenti • L’orientamento dei punti del piano • E’ una trasformazione involutoria A cura della Prof.ssa Maddalena Dominijanni

16. Una Rotazione Particolare:La Simmetria Centrale Una rotazione di 180° attorno ad un punto C è una simmetria centrale. Il centro di simmetria è il centro della rotazione Teorema: la simmetria centrale è un’isometria Questo teorema garantisce che due figure simmetriche rispetto ad un punto sono congruenti Destro va in destro A cura della Prof.ssa Maddalena Dominijanni

17. Ogni retta passante per il centro è una retta unita, ma non fissa perché cambia l’ordinamento dei suoi punti Come in ogni rotazione l’unico punto fisso è il centro Due segmenti, o rette che si corrispondono in una simmetria centrale sono paralleli La simmetria centrale è involutoria A cura della Prof.ssa Maddalena Dominijanni

18. Il Ribaltamento:La Simmetria Assiale Esistono situazioni in cui le figure mantengono le loro misure, ma si‘ribaltano’ generando figure simmetriche rispetto ad un asse. Definizione: si dice simmetria assiale la trasformazione che, data una retta r, associa ad un punto P il suo simmetrico P’ rispetto ad r. La retta r prende il nome di asse di simmetria. A cura della Prof.ssa Maddalena Dominijanni

19. Sinistro  destro Segmenti corrispondenti sono uguali Si conservano gli angoli Triangoli corrispondenti sono congruenti Teorema: la simmetria assiale è un’isometria Questo teorema ci permette di dire che due figure che si corrispondono in una simmetria assiale sono congruenti. A cura della Prof.ssa Maddalena Dominijanni

20. Una retta a perpendicolare all’asse di simmetria ha per trasformata se stessa ed è quindi una retta unita; Attenzione però: non è una retta di punti uniti perché ciascun punto della retta non ha come trasformato se stesso. • Una retta a // all’asse di simmetria ha per trasformata una retta a’ ancora // all’asse e quindi a a stessa. A cura della Prof.ssa Maddalena Dominijanni

21. Se A’ è il trasformato di A nella simmetria di asse r, il trasformato di A’ è ancora A e quindi la trasformazione èinvolutoria; • Se i vertici del triangolo ABC si susseguono in senso orario, i loro corrispondenti A’B’C’ si susseguono in senso antiorario e quindi l’ordinamento dei punti non è un’invariante; (Mostrare la proprietà descritta in cabrì) A cura della Prof.ssa Maddalena Dominijanni

22. Un angolo ha come asse di simmetria la sua bisettrice Un triangolo ha un asse di simmetria solo se è isoscele Il rombo ha due assi di simmetria (diagonali) Il cerchio infiniti assi di simmetria Gli invarianti della simmetria assiale sono: • L’allineamento dei punti (collineazione) • La lunghezza dei segmenti • Il parallelismo • Il rapporto tra segmenti • L’orientamento dei punti del piano • È un’isometria invertente A cura della Prof.ssa Maddalena Dominijanni

23. Due riflessioni con assi incidenti producono una … rotazione Con due riflessioni…. …si ottiene una traslazione A cura della Prof.ssa Maddalena Dominijanni

24. Trasformazioni composte: scheda di lavoro Sia s una simmetria rispetto ad una retta a. 1. Disegna ABC e la retta a; costruisci A'B'C' usando SIMMETRIA assiale con asse a; poi usa SIMMETRIA su A'B'C' rispetto ad a. Cosa ottieni? Cosa puoi concludere? 2. Disegna ABC e due rette parallele a,b. Opera su ABC con simmetria assiale asse a ottenendo A'B'C'; opera su A'B'C' con simmetria assiale asse b ottenendo A"B"C". Quale trasformazione associa A"B "C" ad ABC? Cerca le caratteristiche di tale trasformazione: • Congiungi i vertici corrispondenti e misura i segmenti ottenuti; cosa osservi? A cura della Prof.ssa Maddalena Dominijanni

25. 3. • Disegna ABC e due rette a,b incidenti in O. Opera su ABC • con simmetria assiale asse a ottenendo A'B'C' e poi su A'B'C' con ssimmetria assiale asse b ottenendo • A"B"C". • Quale trasformazione associa A"B "C" ad ABC? • Cerca le caratteristiche di tale trasformazione • • Congiungi i vertici dei due triangoli con il punto O e • misura gli angoli AOA”, B0B”, COC”. • • Misura l'angolo tra le rette a, b. • • Cerca il legame tra le misure fatte. • 4. • Disegna un poligono P a tuo piacere con POLIGONO e • due rette a, b tra loro perpendicolari in O. Opera su P • con simmetria asse a, ottenendo P', poi su P' con simmetria asse b ottenendo P". • Quale trasformazione associa P” a P? A cura della Prof.ssa Maddalena Dominijanni