TASSELLAZIONE DEL PIANO

2. Tassellare il piano significa riempirlo senza lasciare spazi vuoti. La tassellazione regolare � il ricoprimento del piano con poligoni regolari che, a due a due, hanno in comune un lato. Esiste un procedimento matematico per capire se si possono effettuare delle tassellazioni con un determinato poligono. Esempio relativo ad un esagono regolare k (n� intero)= n� poligoni che occorrono per tassellare il piano n = n� di lati a�= 180� * (n-2)/n k*a�= 360� k*180�*(n-2)/n = 360� k = 2n/(n-2) n = 3 (triangolo equilatero) => k = 6 (6*60�= 360�) n = 4 (quadrato) => k = 4 (4*90�=360�) n = 5 (pentagono regolare) => k = 10/3 (no) n = 6 (esagono regolare) => k = 3 (3*120�=360�) n > 6 (poligono con pi� di 6 lati) => k = 2< k < 3 (no)

3. Un fatto importante nello sviluppo della geometria si ha con la presentazione da parte di Felix Klein, nel 1872, del cosiddetto �programma di Erlangen�, che ha allargato l�orizzonte matematico in questo settore. Fino a questo momento si erano sviluppate tante teorie geometriche che apparivano slegate tra loro. Klein riusc� a fornirne una visione unitaria, basata sul concetto di trasformazione geometrica. Nacque cos� la geometria delle trasformazioni: isometrie, similitudini, affinit�, proiettivit�.

4. Definiamo isometrie quelle trasformazione geometriche che lasciano invariate le distanze tra punti. Fra le isometrie, ricordiamo la simmetria centrale, la simmetria assiale o riflessione, la traslazione, la rotazione e la glissoriflessione (simmetria assiale + traslazione). L�arte ha fatto spesso ricorso a questi tipi di isometrie: i fregi si basano proprio su di esse.

5. Riflessione verticale b d Riflessione orizzontale b p

6. Traslazione b b Rotazione di 180� b q

7. Rotazione = 2 riflessioni b d q

8. Glissoriflessione b p p

9. Questi esempi mostrano che la riflessione ha un ruolo fondamentale; per questo motivo, i matematici definiscono la simmetria geometrica o isometria come un qualunque movimento che si ottenga combinando delle riflessioni. Inoltre, ogni simmetria geometrica, anche se apparentemente complicata, � in realt� riducibile ad una riflessione o una rotazione o una traslazione o una glissoriflessione. Due figure sono isometriche se � possibile passare da una all�altra mediante un�isometria.

10. ESCHER M. C. Escher fu un pittore e incisore olandese che nutriva una profonda passione per la matematica. Realizz� opere di tassellazione del piano che sono ancora oggi tra le pi� significative in questo ambito; utilizz� spesso i mosaici musulmani, aggiungendo, per�, ad essi figure animali. Scopr� che esistono 17 gruppi di simmetrie per tassellare il piano e studi� anche i paradossi percettivi, cio� delle argomentazioni apparentemente corrette, ma che portano a conclusioni contraddittorie.

11. ALCUNE OPERE DI ESCHER

13. LA TASSELLAZIONE VISTA DA PENROSE

14. I MIEI LAVORI realizzati con Cabri

20. Realizzato da Laura Degli Antoni Classe 1^C