Trasformazioni geometriche

1. Trasformazioni geometriche Trasformata di una curva

2. Chi trasla? • Le equazioni di una traslazione sono: • Questo può significare due cose:

3. y O x Si muove il punto • Si muove il punto P(x, y) avanzando di a passi nella direzione dell’asse x e avanzando di b passi nella direzione dell’asse y e posizionandosi in P’ P’ y’= yo+ b b P yo a xo x’= xo + a

4. Equazioni dirette • Le coordinate del nuovo punto generato dalla trasformazione sono:

5. Si muovono gli assi • Possiamo pensare che il punto resti fermo e gli assi arretrino di a passi nella direzione dell’asse x e di b passi nella direzione dell’asse y: y PP’ yo y’= yo+b a xo O x b O’ x’ = xo+a x’

6. Equazioni inverse In questo caso, il vettore che determina la traslazione è l’opposto del precedente, per cui le coordinate di un punto pensato nel primo sistema diventano: Come si vede bene dalla figura

7. Quale scegliere? • Quando si devono considerare i trasformati dei punti è conveniente la prima forma • Quando si devono considerare le trasformazioni subite da curve è conveniente la seconda forma

8. Esempio Consideriamo la retta y = x – 2 e la traslazione Ci chiediamo quale sia l’equazione, nello stesso sistema, della retta trasformata. Vediamo il disegno:

9. Trasformata di una retta Applicando le trasformazioni ai punti A(2, 0) e B(0,2) si ottengono i punti A’(1, 3) e B’(-1, 1) indicati in figura. Possiamo ora ottenere l’equazione in due modi:

10. Retta per due punti

11. Retta attraverso le trasformazioni

12. Considerazioni finali Tutto ciò si spiega anche considerando che le coordinate (x, y) dei punti di r devono soddisfare l’equazione y = x – 2. Per scrivere il legame tra x’ e y’ è allora necessario ricavare le coordinate x e y dalle equazioni della trasformazione e sostituirle nell’equazione della retta data. Riassumendo: • Scrivere le equazioni della trasformazione inversa • Sostituire alle coordinate correnti quelle ricavate al punto precedente • L’equazione ottenuta è quella della curva trasformata.