Operaciones con matrices

1. Objetivos: Operaciones con matrices • Distinguir y realizar los cálculos con las operaciones matriciales básicas. Introducción: Las operaciones matriciales permiten el abordaje de los métodos del álgebra lineal para resolución de sistemas de ecuaciones. Tiempo aproximado de estudio: 30 minutos.

2. Las operaciones matriciales básicas son Trasposición de matrices Suma y diferencia de matrices Producto de una matriz por un número Producto de matrices Propiedades simplificativas Matrices inversibles

3. Trasposición de matrices Dada una matriz de tamaño m x n, A = (aij), se llama matriz transpuesta de A,y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A. A= At =

4. Propiedades de la trasposición de matrices 1ª. Dada una matriz A, siempre existe su transpuesta y además es única. 2ª. La transpuesta de la matriz transpuesta de A es A. a (At)t = A. El procedimiento para su obtención es: La transpuesta de una matriz A cualquiera se obtiene cambiando filas por columnas y se representa por At. Si A = (aij), entonces At = (aji). Si A es mxn, entonces At es nxm.

5. Ejemplo La suma de dos matrices A=(aij), B=(bij) de la misma dimensión, dan otra matriz. S=(sij) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico S = (aij + bij). La suma de las matrices A y B se denota por A+B. Se suman estos dos + = A B A + B

6. Sin embargo, no se pueden sumar matrices de tamaños diferentes. + = NO ES POSIBLE SUMARLAS A B Por tanto, para poder sumar dos matrices éstas han de tener la misma dimensión. La diferencia de matrices A y B se representa por A–B y se define como la suma de A con la opuesta de B : A–B = A + (–B)

7. Propiedades de la suma y adición de matrices Sean A, B y C tres matrices del mismo orden. Entonces: I. Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C II. Conmutativa: A + B = B + A III. Elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A donde 0 es la matriz nula. IV. Elemento opuesto: A + (– A) = (– A) + A = 0 V. La matriz –A (opuesta) se obtiene cambiando de signo los elementos de A. VI. Si A + C = B + C  A = B VII. Si kA = kB  A = B si k es distinto de 0 VIII. Si Ka = hA  H = K SI a es distinto de 0

8. Ejemplo Se invierte su posición A= At = Propiedades: I. Para la matriz A, (At)t = A II. Para las matrices A y B, (A+ B)t = At + Bt III. Para la matriz A y el número real k, (k . A)t = k . At IV. Para las matrices A y B, (A . B)t = Bt. At V. Si A es una matriz simétrica, At= A

9. Producto de un número por una matriz Para multiplicar un número real por una matriz, se multiplican cada uno de los elementos de la matriz por dicho número. Si A = (aij), entonces kA = (kaij) = = (kaij) (k)(a) = (k)(aij) = k

10. Ejemplo = = (3) Se multiplica cada uno por 3

11. Propiedades de la multiplicación de un número por una matriz Sean A y B dos matrices del mismo orden y k y h dos números reales. I. Distributiva I: k(A + B) = kA + kB II. Distributiva II: (k + h)A = kA + hA III. Elemento neutro: 1 · A = A IV. Asociativa mixta: k(hA) = (kh)A El conjunto de las matrices m x n con las operaciones suma y producto por un escalar antes definidas, tiene estructura de espacio vectorial

12. Producto de matrices Producto de matrices Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos elementos se obtienen multiplicando las filas de A por las columnas de B (por lo que deben coincidir éstas). De manera más formal, los elementos de P son de la forma: Pij =  aik · bkj con k=1,….n Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B. Es más, si A tiene dimensión m x n y B dimensión n x p, la matriz P será de orden m x p.

13. Ejemplo 1. Se multiplica cada uno 2. Se suman después

14. Ejemplo

15. filas (cij)m,p (aij)m,n (bij)n,p = Posible columnas ¿Cuándo es posible el producto de matrices? El producto de matrices es posible cuando coincide el número de columnas de una matriz con el número de filas de la otra matriz.

16. Propiedades del producto de matrices I. Propiedad asociativa. Para las matrices A de dimensión m x n, B de dimensión n x p y C de dimensión p x r, tenemos que: A . (B . C) = (A . B) . C II. Elemento unidad. Si A es una matriz de tamaño m x n, y las matrices identidad de orden m y n, respectivamente, se tiene: Im· A = A · In = A

17. Propiedad distributiva IV. Propiedad distributiva a la derecha. Para las matrices A de dimensión m x n, B de dimensión m x n y C de dimensión n x p. Se cumple que: (A + B) . C = A . C + B . C III. Propiedad distributiva a la izquierda. Para las matrices A de dimensión m x n, B de dimensión n x r y C de dimensión n x r. Tenemos que: A . (B + C) = A . B + A . C

18. Producto: Potencia de una matriz Si A es una matriz cuadrada, las potencias de A, de exponente natural, se definen como en el caso de los números naturales: el exponente indica el número de veces que se multiplica la matriz por sí misma. An = A . A . ........... . A An = A … A = A  A n-1 = = n- veces

19. Ejemplo A = A2 = A2 =A A = A2 =

20. Referencias Bibliográficas Unidad 1 Matrices y Determinantes. (pp. 27 a 30) disponible en: http://gc.scalahed.com/buscador/recurso/ver/13166