Value at Risk

1. Value at Risk Gestión de Riesgos Profesor: Miguel Ángel Martín Mato

2. Distintos tipos de riesgo Riesgo de reinversión Riesgo decrédito Riesgo de iliquidez Riesgopaís Riesgo de tipo de cambio Riesgo operativo Riesgo de mercado

3. Riesgo: algunos aspectos por considerar • Un problema esencial asociado al término es que no se cuenta con una definición única para “riesgo”. Se pueden obtener ventajas relativas al trabajar con distintas técnicas para implementar su medición. • Del diccionario: • Contingencia o proximidad de un daño (un “risco”) • El peligro o la posibilidad de sufrir pérdidas • El monto que una compañía puede perder • La variabilidad de los retornos de una inversión • La posibilidad de no recibir el pago de una deuda • Cada una de las contingencias que pueden ser objeto de un contrato de seguro

4. Visión intuitiva del riesgo de mercado • Puntos por considerar: • La oscilación de las variables económicas clave. • Cambios en el perfil de riesgo de una empresa, de un patrimonio o de una emisión particular. • Valor de la diversificación de portafolio: riesgo diversificable y riesgo no diversificable. • Límites impuestos a la diversificación (legales o institucionales). • Consecuencias • Efectos directos e indirectos sobre el valor de los componentes de un portafolio. • Efecto acumulado sobre el valor total del portafolio.

5. Riesgo simétrico versus riesgo asimétrico • Algunas medidas de riesgo simétrico: • Desviación estándar y varianza • Desviación absoluta respecto a la media • Algunas medidas de riesgo asimétrico: • Semidesviación estándar • Probabilidades empíricas de pérdida • Value-at-Risk

6. Riesgo simétrico versus riesgo asimétrico Distribución asimétrica hacia ganancias Resultado esperado Distribución asimétrica hacia pérdidas

7. Riesgo simétrico versus riesgo asimétrico • Ambas tienen el mismo riesgo simétrico • Los indicadores asimétricos identifican la segunda distribución de resultados como más riesgosa que la primera Distribución asimétrica hacia ganancias Resultado esperado Distribución asimétrica hacia pérdidas

8. Presupuestos Es posible reunir información representativa sobre los posibles resultados de una inversión en el corto plazo. Datos históricos o supuestos expertos Esta información permite describir el futuro (“comportamiento estable”) Tres elementos distintivos de la definición El Value-at-Risk incorpora: Definición del Value-at-Risk Criterio asimétrico Horizonte deinversión Significancia estadística

9. Definición Es la máxima pérdida esperada dentro de un horizonte de inversión de “n” días con una probabilidad de error de “α”% Definición del Value-at-Risk Criterio asimétrico Horizonte deinversión Significancia estadística

10. Qué es Value at Risk (VaR) • El VaR resume la pérdida máxima esperada (o peor pérdida) a lo largo de un horizonte de tiempo objetivo dentro de un intervalo de confianza dado. El cálculo del VaR está dirigido a elaborar un reporte de la siguiente forma: • Se tiene una certeza de X% de que no se perderá más de V dólares en los siguientes N días • V es el VaR de N -días para un nivel de confianza de X% • Según la propuesta del Comité de Basilea el intervalo de confianza ideal es de 99% (1% de probabilidad, -2.33 desviaciones) y • según la metodología de RiskMetrics es de un 95% (5% de probabilidad y -1.65 desviaciones).

11. Las similitudes Los tres métodos buscan estimar un valor crítico para las pérdidas potenciales. Las diferencias Cada método realiza distintos supuestos acerca de qué valores son representativos sobre las futuras pérdidas potenciales y cómo éstas se distribuyen estadísticamente. Metodologías VaR alternativas Método “Analítico”(Delta Normal) Método “Montecarlo”(Simulaciones) Método “Histórico”(Histogramas)

12. Metodologías VaR alternativas Método “Analítico”(Delta Normal) Método “Montecarlo”(Simulaciones) Método “Histórico”(Histogramas)

13. Supuestos El supuesto clave es que es posible conocer la función de distribución de rendimientos (futuros) de la inversión o paquete de inversiones que se plantea manejar. Se asume que la distribución es normal (y, por ello, simétrica), con media y varianza conocidas. Sin embargo… ¿Es realmente normal? Problemas de estabilidad de medias y varianzas ¿De dónde procede la información sobre media y varianza? ¿Y los momentos superiores? A partir de los supuestos sobre la distribución, es posible calcular directamente el percentil de riesgo apropiado. VaR Analítico - Delta Normal

14. VaR Analítico - Delta Normal Probabilidad deocurrencia 0 -2% -1% 0% 1% 2% Posibles valores de la variable aleatoria

15. VaR Analítico - Delta Normal Probabilidad deocurrencia Posibles valores de la variable aleatoria 0 μ -3σ μ -2σ μ-1σ μ μ +1σ μ +2σ μ +3σ 68.26% 95.44% 99.74%

16. VaR Analítico - Delta Normal • Con una probabilidad de 95% en una cola … • =DISTR.NORM.ESTAND.INV(5%)= -1.6448 • Valor crítico: 1.6448 Desviaciones estándar Probabilidad deocurrencia 5% 90% 5% Posibles valores de la variable aleatoria

17. VaR Analítico - Delta Normal • Generalización • Si llevamos esta generalidad a una distribución normal N(m,s) tendríamos que normalizar para calcular qué valor de “x” se superará con una probabilidad de 5%.

18. VaR Analítico - Delta Normal • Los dos componentes: la media y la volatilidad • La media (μ) de los rendimientos suele calcularse como el promedio aritmético de las rentabilidades observadas en el corto plazo. Distinguir la diferencia entre media aritmética y geométrica en este caso. • La volatilidad (σ) de los rendimientos se aproxima utilizando la desviación estándar de las rentabilidades observadas en el corto plazo. • Conversión de plazos • Es común (aunque no recomendable) convertir los rendimientos y volatilidades de un día en sus correspondientes anuales del siguiente modo:

19. VaR Analítico - Delta Normal • Período de anulación de riesgo • El periodo de Anulación de Riesgo (Defeasance Period), es el horizonte de tiempo elegido al cual se hará referencia para el cálculo de la medida de riesgo. • Las medidas de riesgo vendrán referenciadas en función de ese horizonte temporal. • Rendimiento: • Volatilidad:

20. VaR Analítico - Delta Normal • El intervalo de confianza • Según la propuesta del Comité de Basilea[1] el intervalo de confianza ideal es de 99% (1% de probabilidad, -2.33 desviaciones estándar) a 10 días. • Según la metodología de RiskMetrics[2] es de un 95% (5% de probabilidad y -1.65 desviaciones estándar) a 1 día. • [1] Banco de Pagos Internacionales, “Amendment to the Capital Accord to Incorporate Markets Risk”, Comité de Basilea, Basilea, Suiza, Enero de 1996. • [2] Riskmetrics “Technical Document” – JP Morgan 1996

22. Dow Jones desde enero de 1997 hasta marzo del 2001

23. Data-> 1302 díasMean -> 0.000553448 StandardDeviation -> 0.0112249 Kurtosis -> 6.78236Skewness -> -0.489853

24. Asunción de Normalidad Data-> 252 días Mean -> -0.0000567592 Skewness -> -0.101167 Kurtosis -> 3.557397 StandardDeviation -> 0.0109072

26. Metodologías VaR alternativas Método “Analítico”(Delta Normal) Método “Montecarlo”(Simulaciones) Método “Histórico”(Histogramas)

27. Supuestos El supuesto clave es que es posible conocer la función de distribución de rendimientos (futuros) de la inversión o paquete de inversiones que se plantea manejar. Se asume que la distribución es una distribución conocida (no necesariamente normal o simétrica). Para ello es posible utilizar algún procedimiento de ajuste o bootstrapping. Sin embargo… ¿Es necesario que una serie de rendimientos se distribuya siguiendo un patrón conocido? Problemas de estabilidad de parámetros VaR Montecarlo

28. Procedimiento A partir de los supuestos sobre las distribuciones y sus covarianzas, es posible generar numerosos rendimientos futuros hipotéticos. Mediante la combinación de dichos retornos, se puede estimar resultados alternativos del portafolio y formar así un histograma empírico. Finalmente, a partir de este histograma, se puede estimar el percentil de riesgo apropiado. En síntesis Se asume que las distribuciones son conocidas y se generan numerosos “mundos imaginarios” que siguen estas distribuciones. El VaR se calcula comparando dichos escenarios simulados. VaR Montecarlo

29. Movimiento Browmiano

31. Simulación de Montecarlo 1) Selección un proceso estocástico y sus parámetros. 2) Elección de la amplitud de periodo u horizonte de tiempo. 3) Selección de la serie de variables aleatorias. 4) Cálculo del pronóstico al final del horizonte temporal. 5) Creación de numerosos caminos aleatorios y de sus precios finales. 6) Cálculo de la distribución de los precios finales 7) Cálculo del VaR 8) Simulación con un mayor número de caminos aleatorios.

32. Selección de la serie de variables aleatorias: 10 pasos • {7715.4, 7747.79, 7838.4, 7945.7, 8071., 8061.95, 7968.63, 7996.51, 8014.19, 8008.27, 8225.35}

33. Simulación: 50 pasos {8231.28, 8326.23, 7752.63, 7515.54, 7692.93, 7722.12, 7406.46, 8215.77,7733.26, 7708.26, 7667.66, 7987.14, 7659.5, 7724.84, 7505.23, 7607.72, 7960.08, 7215.38, 7663.24, 7633.67, 7740.72, 7823.22, 7952.66, 7272.22, 7703.3, 8171.57, 7435.34, 7850.22, 7851.2, 7836.13, 7618.75, 7606.02, 7762.65, 7480.32, 8018.9, 7843.87, 7689.99, 7695.14, 7600.88, 7699.05, 7423.71, 7759.96, 8210.56, 7269.68, 7564.04, 7829.16, 7473.52, 7795.48, 8258.2, 7581.22}

34. 200 caminos

35. 500 caminos

36. Histograma: 200 Mean -> 7707.1, StandardDeviation -> 256.394, Skewness -> 0.0282609, Kurtosis -> 2.80355 VaR= 7094 - 7703.24=-609.24 puntos de indice

37. Histograma:500 VaR=7107.14 - 7707.1=-599.96 puntos de índice

38. Metodologías VaR alternativas Método “Analítico”(Delta Normal) Método “Montecarlo”(Simulaciones) Método “Histórico”(Histogramas)

39. Supuestos A diferencia de los dos primeros métodos, este enfoque no realiza supuestos sobre la manera de “suavizar” la distribución de los retornos. Se mantiene el supuesto previo de que el comportamiento pasado es representativo del futuro cercano. Procedimiento Se utiliza el propio histograma empírico de los retornos históricos para calcular el nivel de pérdidas crítico. Notar que los patrones de covarianza entre variables se incorporan directamente en el procedimiento. VaR Histórico

40. VaR Histórico – Síntesis del proceso Variables actuales Cambios históricos Valores posibles Tasas de interés Tasas de interés Tasas de interés Tipos de cambio Tipos de cambio Tipos de cambio + = Spreads de riesgo Spreads de riesgo Spreads de riesgo Índices bursátiles Índices bursátiles Índices bursátiles Histograma de valoresposibles Valoración del portafolio

41. ¿Qué hay más allá del Value-at-Risk?: Conditional Value at Risk

42. ¿Por qué el VaR no es suficiente? • Los trabajos de Artzner y Delbaen (1997), demuestran que el VaR tiene características indeseables: • Falta de subaditividad • Falta de convexidad • Por ello, de modo agregado se dice que el VaR no es una medida “coherente” de riesgo. • El VaR únicamente es coherente cuando está basado en distribuciones continuas normalizadas (ya que para una distribución normal el VaR es proporcional a la desviación estándar).

43. Definición El Conditional-Value-at-Risk (CVaR) a un nivel de confianza dado es la pérdida esperada entre las pérdidas que son mayores que el VaR. Dicho de otra forma, es la pérdida esperada que es más grande o igual que el VaR. [Uryasev S., y Rockafellar, R.T 2000] Implicancias Es un promedio de las pérdidas que exceden el VaR. Va a ser un indicador que no sólo tiene en cuenta el VaR sino también las pérdidas extremas de la distribución. ¿Qué es el CVaR?

44. VaR -> -4.899% CVaR-> -7.166% Acción de Yahoo

45. VaR -> -4.899% CVaR-> -11.29% VaR -> -4.899% CVaR-> -9.125% Acción de Yahoo (Variantes)

46. Resumen de las ventajas del CVaR • El CVAR calcula riesgos más allá del VAR lo que la hace una medida más conservadora, puesto que por definición así lo exige, por lo que el CVAR domina al VAR. • El CVAR tiene la propiedad de ser una función siempre convexa respecto a las posiciones lo que permite la optimización en la posición de una cartera. • El CVAR es continuo respecto al nivel de confianza. • Es consistente con la aproximación de mínima varianza, ya que la cartera de mínima varianza es la que minimiza también el CVAR.

47. Sol Meliá Telefónica BSCH 486 observaciones

48. Carteras de dos acciones - Telefónica y BSCH CVaR VaR Valor del portafolio Telefónica Evolución del VaR y del CVaR en función a la proporción invertida en Telefónica (w1) para un nivel de confianza del 95% y un horizonte temporal de un día. 61.22% Telefónica 38.78% BSCH CVaR -> 5.190%

49. El VaR para tres acciones - Sol Meliá, Telefónica y BSCH VaR Sol Meliá Telefónica Sol Meliá Evolución del VaR en función a la proporciones invertidas en Sol Meliá (w1) , Telefónica (w2) y BSCH (1- w1 -w2) para un nivel de confianza del 95% y un horizonte temporal de un día.

50. El CVaR para tres acciones - Sol Meliá, Telefónica y BSCH CVaR Sol Meliá Telefónica Sol Meliá Evolución del CVaR en función a la proporciones invertidas en Sol Meliá (w1) , Telefónica (w2) y BSCH (1- w1 -w2) para un nivel de confianza del 95% y un horizonte temporal de un día. 48.94% Sol Meliá 46.03% Telefónica 5.03% BSCH CVaR -> 4.530%