1 / 20

GRUP & GRUP BAGIAN

GRUP & GRUP BAGIAN . Grup. Suatu cabang matematika yang mempelajari struktur aljabar  aljabar abstrak ( abstract algebra ).

chelsa
Télécharger la présentation

GRUP & GRUP BAGIAN

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. GRUP & GRUP BAGIAN

  2. Grup • Suatucabangmatematika yang mempelajaristrukturaljabar aljabarabstrak (abstract algebra). • Sistimaljabar (algebraic system) terdiridarisuatuhimpunanobyek, satuataulebihoperasipadahimpunanbersamadenganhukumtertentu yang dipenuhiolehoperasi. • Salahsatualasan yang paling pentinguntukmempelajarisistimtersebutadalahuntukmenyatukansifat-sifatpadatopik-topik yang berbedadalammatematika.

  3. Definisi II.1 Suatugrup (group) < G , * > terdiridarihimpunananggotaGbersamadenganoperasibiner * yang didefinisikanpadaGdanmemenuhihukumberikut : • Hukumtertutup : a * bGuntuksemuaa, bG, • Hukumassosiatif : ( a * b ) * c = a * ( b * c ) untuksemuaa, b, cG,

  4. (3) Hukumidentitas : terdapatlahsuatuanggotaeGsehingga e * x = x * e = x untuksemuaxG, (4) Hukuminvers : untuksetiapaG, terdapatlahaGsehinggaa * a = a * a = e. Biasanyalambang < G , * > hanyadituliskanG, demikianjugaabartinyaa * bdana-1adalahlambanguntukinversa.

  5. Contoh II.1 • HimpunanbilanganbulatZmerupakangrupterhadapoperasi +. • HimpunanbilanganasliNbukangrupterhadapoperasi +. • HimpunanbilangankompleksCmerupakangrupterhadapoperasi +. • Himpunanbilangan real R – {0} merupakangrupterhadapoperasiperkalian. • Himpunanbilanganbulat modulo nmerupakangrupterhadapoperasipenjumlahan modulo n.

  6. Sifat-sifatsederhanadalamgrup • Dalampembahasanterdahulutelahdicacatbahwasebagaiakibatdefinisigrup, sebarangpersamaana * x = bmempunyaipenyelesaiandalamsuatugrupyaitux = a * b. • Sifatsifatsederhana yang lain dinyatakandalamteoremaberikutini.

  7. Teorema II.1 Dalamsebaranggrupberlakusifatsifatberikut : • Hukumkanselasikiri: Jikaax = a ymakax = y. • Hukumkanselasikanan : Jikax a = y amakax = y. • AnggotaidentitasitutunggalyaitujikaedaneelemenG yang memenuhihukumidentitasmakae = e. • InversdarisebaranganggotaGakantunggalyaitujika a dan b merupakaninversdarixmakaa = b. • ( ab) -1 = b-1a-1

  8. Bukti : • 1. Diberikanax = ay. KarenaGgrupdanaGmakaterdapata-1sehinggaa a-1 = a-1a = edenganeidentitas. Akibatnya a-1 (ax) = a-1 (ay) dandenganmenggunakanhukumassosiatifdiperoleh (a-1a)x = (a-1a)y dandenganhukuminversdiperoleh ex = ey akhirnyadenganhukumidentitas x = y

  9. 3. Karenaesuatuanggotaidentitasmakaee = e. Padasisi lain e e = e, sehinggae e = e = e. 4. Karenaadanbmerupakaninversxmakaberlakuxa = edanxb = e. Karenaanggotaidentitasitutunggalmakaxa = e = xb Akibatnyadenganmenggunakanhukumkanselasikirimakaa = b. 5. Karena ab . b-1a-1 = a (b b-1) a-1 = a e a-1 = a a-1 = e danb-1a-1 . ab = b-1(a-1a)b = b-1e b = b-1b = e maka (ab)-1 = b-1a-1 .

  10. Kapel

  11. GrupBagian • Sistemaljabar yang besarbiasanyamengandungsistembagian yang lebihkecil. • Sistem yang lebihkecilmungkinlebihpentingdanmungkinmembangunsistim yang lebihbesar. • Sebagaicontohgrup < R, + > mengandunggrup yang lebihkecilseperti < Q , + > dan < Z , + >. Dengancara yang samaC* = C – { 0 } mengandungR* = R – { 0 }. • Contoh-contohdiatasmenyarankanbahwadisampingtipetertentudarisistimjugadipelajarisistimbagian ( subsystem )sehinggadalampenelaahangrupjugadibahastentangsistimbagiannya yang dinamakangrupbagian.

  12. Definisi III.1 • SuatugrupbagianSdarigrupGadalahhimpunandaribagianG yang merupakangrupdibawahoperasi yang samadalamG yang dibatasipadaS. Contoh III.1 • HimpunanbilanganbulatZmerupakangrupbagiandariR. • S = { 0,2,4 } merupakangrupbagiandari Z6. • Z6bukangrupbagiandariZ12.

  13. Teorema III.1 • DiketahuiShimpunanbagiandarigrupGdenganelemenidentitase. HimpunanSmerupakangrupbagiandariGjikadanhanyajikamemenuhisifat : 1. eS, 2. StertutupdibawahoperasidariG , 3. untuksebarangxS, inversnyax-1terletakdalamS.

  14. Contoh III.2 • Q* = { p/q | pdanqtidaknoldalamZ } merupakangrupbagiandariR*. • HimpunanbilangangenapEmerupakangrupbagiandariZ. • S = { 3k | kZ } merupakangrupbagiandariR*.

  15. Soal III.1 : • Tentukangrupbagiandari Z4 yang dibangunoleh 2. Jawab : • Grup Z4 = { 0, 1, 2, 3 } merupakangrupterhadapoperasipenjumlahan modulo 4. • Elemen 2 dalam Z4sehinggagrupbagian yang dibangunoleh 2 adalah • (2) = { k . 2 | k  Z} = { 0, 2 }.

  16. Soal III.2 • Tentukangrupbagiandari R yang dibangunoleh 1. Jawab : • Grup R merupakangrupterhadapoperasipenjumlahan. • Elemen 1 dalam R sehinggagrupbagian yang dibangunoleh 1 adalah • (1) = { k . 1 | k  Z} = { ….., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …… } = Z. • Hal ituberartigrupbagian yang dibangunoleh 1 dalam R adalahhimpunanbilanganbulat Z.

  17. Latihan 1. JikaR+menyatakanbilangan real positifmakabuktikanbahwaR+bukangrup. 2. TunjukkanbahwahimpunanbilanganbulatZbukangrupterhadappengurangan. 3. Buktikanbahwa < Q ,+ > merupakangrupkomutatif ( grupabelian ). 4. MisalkanM2  2 adalahhimpunansemuamatrikordo 2. Buktikanbahwa M2  2 merupakangrupterhadapoperasipenjumlahanduamatriks.

  18. LatihanGrupBagian

  19. LatihanGrupBagian (lanjutan)

  20. TERIMA KASIH

More Related