1. GRUP & GRUP BAGIAN

2. Grup • Suatucabangmatematika yang mempelajaristrukturaljabar aljabarabstrak (abstract algebra). • Sistimaljabar (algebraic system) terdiridarisuatuhimpunanobyek, satuataulebihoperasipadahimpunanbersamadenganhukumtertentu yang dipenuhiolehoperasi. • Salahsatualasan yang paling pentinguntukmempelajarisistimtersebutadalahuntukmenyatukansifat-sifatpadatopik-topik yang berbedadalammatematika.

3. Definisi II.1 Suatugrup (group) < G , * > terdiridarihimpunananggotaGbersamadenganoperasibiner * yang didefinisikanpadaGdanmemenuhihukumberikut : • Hukumtertutup : a * bGuntuksemuaa, bG, • Hukumassosiatif : ( a * b ) * c = a * ( b * c ) untuksemuaa, b, cG,

4. (3) Hukumidentitas : terdapatlahsuatuanggotaeGsehingga e * x = x * e = x untuksemuaxG, (4) Hukuminvers : untuksetiapaG, terdapatlahaGsehinggaa * a = a * a = e. Biasanyalambang < G , * > hanyadituliskanG, demikianjugaabartinyaa * bdana-1adalahlambanguntukinversa.

5. Contoh II.1 • HimpunanbilanganbulatZmerupakangrupterhadapoperasi +. • HimpunanbilanganasliNbukangrupterhadapoperasi +. • HimpunanbilangankompleksCmerupakangrupterhadapoperasi +. • Himpunanbilangan real R – {0} merupakangrupterhadapoperasiperkalian. • Himpunanbilanganbulat modulo nmerupakangrupterhadapoperasipenjumlahan modulo n.

6. Sifat-sifatsederhanadalamgrup • Dalampembahasanterdahulutelahdicacatbahwasebagaiakibatdefinisigrup, sebarangpersamaana * x = bmempunyaipenyelesaiandalamsuatugrupyaitux = a * b. • Sifatsifatsederhana yang lain dinyatakandalamteoremaberikutini.

7. Teorema II.1 Dalamsebaranggrupberlakusifatsifatberikut : • Hukumkanselasikiri: Jikaax = a ymakax = y. • Hukumkanselasikanan : Jikax a = y amakax = y. • AnggotaidentitasitutunggalyaitujikaedaneelemenG yang memenuhihukumidentitasmakae = e. • InversdarisebaranganggotaGakantunggalyaitujika a dan b merupakaninversdarixmakaa = b. • ( ab) -1 = b-1a-1

8. Bukti : • 1. Diberikanax = ay. KarenaGgrupdanaGmakaterdapata-1sehinggaa a-1 = a-1a = edenganeidentitas. Akibatnya a-1 (ax) = a-1 (ay) dandenganmenggunakanhukumassosiatifdiperoleh (a-1a)x = (a-1a)y dandenganhukuminversdiperoleh ex = ey akhirnyadenganhukumidentitas x = y

9. 3. Karenaesuatuanggotaidentitasmakaee = e. Padasisi lain e e = e, sehinggae e = e = e. 4. Karenaadanbmerupakaninversxmakaberlakuxa = edanxb = e. Karenaanggotaidentitasitutunggalmakaxa = e = xb Akibatnyadenganmenggunakanhukumkanselasikirimakaa = b. 5. Karena ab . b-1a-1 = a (b b-1) a-1 = a e a-1 = a a-1 = e danb-1a-1 . ab = b-1(a-1a)b = b-1e b = b-1b = e maka (ab)-1 = b-1a-1 .

10. Kapel

11. GrupBagian • Sistemaljabar yang besarbiasanyamengandungsistembagian yang lebihkecil. • Sistem yang lebihkecilmungkinlebihpentingdanmungkinmembangunsistim yang lebihbesar. • Sebagaicontohgrup < R, + > mengandunggrup yang lebihkecilseperti < Q , + > dan < Z , + >. Dengancara yang samaC* = C – { 0 } mengandungR* = R – { 0 }. • Contoh-contohdiatasmenyarankanbahwadisampingtipetertentudarisistimjugadipelajarisistimbagian ( subsystem )sehinggadalampenelaahangrupjugadibahastentangsistimbagiannya yang dinamakangrupbagian.

12. Definisi III.1 • SuatugrupbagianSdarigrupGadalahhimpunandaribagianG yang merupakangrupdibawahoperasi yang samadalamG yang dibatasipadaS. Contoh III.1 • HimpunanbilanganbulatZmerupakangrupbagiandariR. • S = { 0,2,4 } merupakangrupbagiandari Z6. • Z6bukangrupbagiandariZ12.

13. Teorema III.1 • DiketahuiShimpunanbagiandarigrupGdenganelemenidentitase. HimpunanSmerupakangrupbagiandariGjikadanhanyajikamemenuhisifat : 1. eS, 2. StertutupdibawahoperasidariG , 3. untuksebarangxS, inversnyax-1terletakdalamS.

14. Contoh III.2 • Q* = { p/q | pdanqtidaknoldalamZ } merupakangrupbagiandariR*. • HimpunanbilangangenapEmerupakangrupbagiandariZ. • S = { 3k | kZ } merupakangrupbagiandariR*.

15. Soal III.1 : • Tentukangrupbagiandari Z4 yang dibangunoleh 2. Jawab : • Grup Z4 = { 0, 1, 2, 3 } merupakangrupterhadapoperasipenjumlahan modulo 4. • Elemen 2 dalam Z4sehinggagrupbagian yang dibangunoleh 2 adalah • (2) = { k . 2 | k  Z} = { 0, 2 }.

16. Soal III.2 • Tentukangrupbagiandari R yang dibangunoleh 1. Jawab : • Grup R merupakangrupterhadapoperasipenjumlahan. • Elemen 1 dalam R sehinggagrupbagian yang dibangunoleh 1 adalah • (1) = { k . 1 | k  Z} = { ….., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …… } = Z. • Hal ituberartigrupbagian yang dibangunoleh 1 dalam R adalahhimpunanbilanganbulat Z.

17. Latihan 1. JikaR+menyatakanbilangan real positifmakabuktikanbahwaR+bukangrup. 2. TunjukkanbahwahimpunanbilanganbulatZbukangrupterhadappengurangan. 3. Buktikanbahwa < Q ,+ > merupakangrupkomutatif ( grupabelian ). 4. MisalkanM2  2 adalahhimpunansemuamatrikordo 2. Buktikanbahwa M2  2 merupakangrupterhadapoperasipenjumlahanduamatriks.

18. LatihanGrupBagian

19. LatihanGrupBagian (lanjutan)

20. TERIMA KASIH