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Juros Compostos

Juros Compostos. Quando uma pessoa sente necessidade de dinheiro: Empregado : vai automaticamente procurar emprego Autônomo : vai freq ü entemente fazer algo s ó Dono : vai criar ou comprar um sistema que produz dinheiro

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Juros Compostos

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Presentation Transcript

  1. Juros Compostos Quando uma pessoa sente necessidade de dinheiro: Empregado: vai automaticamente procurar emprego Autônomo: vai freqüentemente fazer algo só Dono: vai criar ou comprar um sistema que produz dinheiro Investidor: vai procurar uma oportunidade de investir num ativo que produza dinheiro

  2. Valores Futuros ou Montante Na aula anterior vimos que: • Valor Futuro ou Montante– Quantia para a qual um investimento crescerá após receber juros. • Juros Compostos – Juros ganhos sobre o total (montante) a cada período. • Juros Simples – Juros ganhos somente sobre o investimento original.

  3. Valores Futuros ou Montante • Exemplo – Juros Simples • Juros ganhos à taxa de 10% a.a. durante cinco anos sobre o principal de $1000. Juros Ganhos Por Ano = principal x .10 = $ 10

  4. Valores Futuros • Exemplo – Juros Simples • Os juro ganhos a uma taxa de 10% a.a. durante cinco anos sobre o principal de $1000.

  5. Valores Futuros • Exemplo – Juros Simples • Os juro ganhos a uma taxa de 10% a.a. durante cinco anos sobre o principal de $1000. • Hoje Anos Futuros • 12345 • Juros Ganhos • Valor 1000

  6. Valores Futuros • Exemplo – Juro Simples • Os juro ganhos a uma taxa de 10% a.a. durante cinco anos sobre o principal de $1000. • Hoje Anos Futuros • 12345 • Juros Ganhos 100 • Valor 1000 1100

  7. Valores Futuros • Exemplo – Juros Simples • Os juro ganhos a uma taxa de 10% a.a. durante cinco anos sobre o principal de $1000. • Hoje Anos Futuros • 12345 • Juros Ganhos 100 100 • Valor 1000 1100 1200

  8. Valores Futuros • Exemplo – Juros Simples • Os juro ganhos a uma taxa de 10% a.a. durante cinco anos sobre o principal de $1000. • Hoje Anos Futuros • 12345 • Juros Ganhos 100 100 100 • Valor 1000 1100 1200 1300

  9. Valores Futuros • Exemplo – Juros Simples • Os juro ganhos a uma taxa de 10% a.a. durante cinco anos sobre o principal de $1000. • Hoje Anos Futuros • 12345 • Juros Ganhos 100 100 100 100 • Valor 1000 1100 1200 1300 1400

  10. Valores Futuros • Exemplo – Juros Simples • Os juro ganhos a uma taxa de 10% a.a. durante cinco anos sobre o principal de $1000. • Hoje Anos Futuros • 12345 • Juros Ganhos 100 100 100 100 100 • Valor 1000 1100 1200 1300 1400 1500 • Valor no fim do Ano 5 = $1500

  11. Valores Futuros • Exemplo – Juros Compostos • Juros ganhos à taxa de 10% a.a. durante cinco anos sobre o saldo do ano anterior.

  12. Valores Futuros • Exemplo – Juros Compostos • Juros ganhos à taxa de 10% a.a. durante cinco anos sobre o saldo do ano anterior. • Juros Ganhos Por Ano = Saldo do Ano Anterior x .10

  13. Valores Futuros • Exemplo – Juros Compostos • Juros ganhos à taxa de 10% a.a. durante cinco anos sobre o saldo do ano anterior. • Hoje Anos Futuros1 2 34 5 • Juros Ganhos • Valor 1000

  14. Valores Futuros • Exemplo – Juros Compostos • Juros ganhos à taxa de 10% a.a. durante cinco anos sobre o saldo do ano anterior. • Hoje Anos Futuros1 2 3 4 5 • Juros Ganhos 100.00 • Valor 1000 1100.00

  15. Valores Futuros • Exemplo – Juros Compostos • Juros ganhos à taxa de 10% a.a. durante cinco anos sobre o saldo do ano anterior. • Hoje Anos Futuros1 2 34 5 • Juros Ganhos 100.00 110.00 • Valor 1000 1100.00 1210.00

  16. Valores Futuros • Exemplo – Juros Compostos • Juros ganhos à taxa de 10% a.a. durante cinco anos sobre o saldo do ano anterior. • Hoje Anos Futuros 1 2 34 5 • Juros Ganhos 100.00 110.00 121.00 • Valor 1000 1100.00 1210.00 1331.00

  17. Valores Futuros • Exemplo – Juros Compostos • Juros ganhos à taxa de 10% a.a. durante cinco anos sobre o saldo do ano anterior. • Hoje Anos Futuros 1 2 345 • Juros Ganhos 100.00 110.00 121.00 133.10 • Valor 1000 1100.00 1210.00 1331.00 1464.10

  18. Valores Futuros • Exemplo – Juros Compostos • Juros ganhos à taxa de 10% a.a. durante cinco anos sobre o saldo do anoanterior. • Hoje Anos Futuros • 1 2 34 5 • Juros Ganhos 100.00 110.00 121.00 133.10 146.41 • Valor 1000 1100.00 1210.00 1331.00 1464.10 1610.51 • Valor no final do Ano 5 = $161.51

  19. Pagamentos Simples x Série Uniforme • Como dissemos anteriormente no sistema de Juros Compostos, os juros vão acumulando-se ao capital e rendendo juros também nos períodos seguintes. É o que chamamos de juros sobre juros. • Existem duas formas de capitalização composta: • Pagamento Simples • e • Série Uniforme

  20. Pagamento Simples Uma única aplicação e um único montante. O dinheiro foi rendendo juros sobre juros durante a aplicação.

  21. Série Uniforme Várias aplicações (ou retiradas) iguais que foram se acumulando (ou sacadas).

  22. Juros Compostos – Pagamentos Simples • Vamos inicialmente estudar os Juros Compostos sob o regime de capitalização simples

  23. FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL – FACPagamento Simples • PROBLEMA: Determinar a quantia VFque seria obtida pela aplicação do principalVP, à taxa de juro i, durante n períodos. Ou seja, qual o montante VF acumulado a partir do principal VP? • Qual o Valor Futuro dado o Valor Presente?

  24. FÓRMULA: Investindo VP a taxa i, tem-se: ao final do primeiro período: VP + VP. i . 1 = VP. (1 +i) ao final do segundo período: [VP(1 + i)] (1 + i) = VP [(1 +i) (1 + i)] = VP (1 + i)2 e, assim. sucessivamente, teremos: VF: montante no regime de juros compostos, também representado por FV (Future Value) VP: principal ou capital inicial, também representado por PV (Present Value) (1 + i)n : fator de acumulação de capital, também representado por FAC’(n,i).

  25. Valores Futuros ou Montante Exemplo - VF Qual é o valor futuro de $100 se o juro é composto anualmente à taxa de 6% a.a., durante cinco anos?

  26. Valores Futuros Exemplo - VF Qual é o valor futuro de $100 se o juro é composto anualmente à taxa de 6% a.a., durante cinco anos?

  27. Comparação entre Juros Simples e Compostos Observe a Tabela 4.1, a qual mostra o crescimento de $1.000 na sua conta durante o período de cinco anos. A tabela mostra claramente que o total de juro ganho a cada ano é igual à quantia inicial multiplicada pela taxa de juros de 10%.

  28. Gráfico dos Valores Futuros e Juros Compostos J.S.

  29. Valores Futuros com Composição Taxas de Juros

  30. Calculando Valores Futuros – Fórmulas e Calculadora HP-12C • Suponha que você herdou $10.000 e você quer economizá-lo e usá-lo para viajar quando você se formar daqui a quatro anos. Você encontrou um investimento pagando 8 % de juros ao ano. Quanto será o valor do seu investimento daqui a 4 anos

  31. Calculando Valores Futuros – Fórmulas e Calculadora HP-12C • VFn = VP × (1+ i)nou, • VF4 = $10.000 × (1+ 0,08)4 • A qual poderia ser resolvida simplesmente multiplicando-se $10.000 por 1,08 quatro vezes: • VF4 = $10.000 × (1+ ,08) × (1+ ,08) × (1+ ,08) × (1+ ,08) = $13.604,89 • Este método é agradável se o período não for muito grande. Mas quando o número de períodos, n, torna-se grande, este método torna-se tedioso.

  32. Calculando Valores Futuros – Fórmulas e Calculadora HP-12C 8 4 -1000 13.604,89 A calculadora não é mágica, ela simplesmente realiza a matemática financeira mais rapidamente do que fazemos na mão. Você ainda deve ficar ciente dos conceitos básicos do valor do dinheiro no tempo (VDT). Você terá de saber como montar o problema. Uma calculadora pode somente fazer a matemática para você, ela não pode montar o problema para você. Lembre-se do velho adágio “porcaria que entra é igual a porcaria que sai”. Se você não montar o problema corretamente, a calculadora NÃO fornecerá magicamente a resposta correta.

  33. Observação Importante sobre a Composição • Os valores futuros dependem fortemente da taxa de juros usada e isto é especialmente verdadeiro para investimentos de longo prazo. A razão para isto é que os juros compostos são muito mais importantes em investimentos de longo prazo do que em investimentos de curto prazo. Por exemplo, vimos que $10.000 investidos por quatro anos a 8%, cresceram para $13.604,89. Dos $3.604,89 de juros totais, $3.200 ($800 × 4 anos), são juros simples (sobre o investimento) e apenas $404,89 são juros sobre juros. • Mas o que acontecerá se investirmos os mesmos $10.000 por 25 anos? O valor futuro cresceria para $68.484,75: • VF25 = $10.000 × (1+ ,08)25= $68.484,75 • Destes $20.000, ($800 × 25 anos), são juros simples e $38.384,75 representam juros compostos ou juro sobre juro. No final deste investimento, você terá aproximadamente ganho duas vezes mais reinvestindo os juros do que você ganharia como juros simples sobre o original principal. Esta é a maravilha da composição!

  34. Observação Importante sobre a Composição

  35. Poupando para a Velhice Você está com 20 anos e considerando aplicar $1.000 numa conta de poupança que está pagando 8% ao ano, por 45 anos. Quanto você deverá ter na conta, na idade de 65 anos? Quanto deste valor seria de juros simples, e quanto seria de juros compostos? Se você pudesse encontrar uma conta pagando 9% ao ano, quanto mais você terá na idade de 65?

  36. Poupando para a Velhice Devido ao original principal ser $1.000, o total de juro ganho é $30.920,45. Os juros simples são ou $3.600,00 ($80 × 45 = $3.600,00), enquanto os juros compostos são $ 27.320,45 A uma taxa de juros de 9% ao ano, encontramos: VF45 = $1000 × (1+ .09)45= $48.327,29 Assim, um crescimento aparentemente pequeno de 1% na taxa de juros resulta num extra de $16.406,84 ($48.327,45 - $31.920,45) na idade de 65 anos. Isto é mais do que um aumento de 50% (16.406,84/31.920,45 = 0,514). O ponto principal deste exemplo é que uma pequena diferença na taxa de juros pode fazer uma grande diferença nos valores futuros sobre longos períodos de tempo.

  37. Exemplo Extra • Aplico R$ 1.000,00, por 10 anos a juros de 5% a . a .Quanto terei no final? • SOLUÇÃO • VP = R$ 1.000,00 i = 5% = 5/100 = 0.05 n = 10 • VF = VP (1 + i)n = 1000 (1 + 0,05)10 = 1000 (1,05)10 = 1000 (1,629) = 1.629 ou R$ 1.629,00 10 Na HP-12C F FIN f 2 1000 CHS PV 5 i 10 n FV

  38. Extra 2 • Quanto teremos daqui a 12 meses se aplicarmos R$ 1.000,00 a 2,5% ao mês, capitalizável mensalmente? • SOLUÇÃO • Pela FÓRMULA • VP = R$ 1.000,00 i = 2,5% a.m. n = 12 meses • VF = VP (1 + i)n = 1.000,00 (1 + 0,025)12 = 1.000,00 (1,025)12 = 1.345,00 Na HP-12C teremos: 1.344,49

  39. Extra 3 • Qual o juro devido a um capital de R$ 1.000,00, colocado a juros compostos na taxa de 5,5% a . a . por um prazo de 10 anos? • SOLUÇÃO • O que se quer é o rendimento produzido por um capital em determinado tempo. J = VF - VP ou seja J = Valor Futuro (VF) - Valor Presente (VP) • J = [1.000 (1 + 0,055)10 ] - 1.000 = [1.000 (1,055)10] - 1.000 = [1.000 (1,7081)] -1.000 = 1.708,10 - 1.000 = 708,10J = R$ 708,10

  40. Reinvestindo a Taxas Diferentes • Você tem $10.000 para investir por dois anos e se deparou com a seguinte decisão de investimento. Investir em CDBs de dois anos que está pagando 7% ao ano ou em CDBs de um ano que está pagando 6%. O que você faria?

  41. Solução • Para tomar esta decisão você deve primeiro decidir como será a taxa de juros sobre CDBs de um ano, no próximo ano. Esta é chamada de taxa de re-investimento, isto é, a taxa de juros em que o dinheiro recebido antes do final do seu horizonte de planejamento possa ser reinvestido. Suponha que você tenha certeza que ela será 8% ao ano. • Agora podemos usar o conceito de valor futuro para tomar esta decisão de investimento. Você calcula o valor futuro sob cada investimento alternativo e escolhe aquele um que dá mais dinheiro no final dos dois anos. Com os CDBs de dois anos, o valor futuro será: VF2 = $10.000 × (1+ ,07)2= $11.449,00 • f FIN f2 1000 CHS PV • n • 7 i • FV ....11449.00

  42. Continuação • Com a seqüência de dois CDBs de um ano, o valor futuro pode ser calculado em duas partes: Primeiramente investimos os $10.000 a 6% por um ano. Daí, designando uma taxa de juros esperada na linha de tempo para representar aquela taxa variável. VF1 = $10.000 × (1+ ,06)1= $10.600,00 Daí, re-investimos VF1 por mais um ano a 8% ao ano: VF2 = $10.600 × (1+ ,08)1= $11.448,00 Assim, você ficará um pouco melhor se investir em CDBs de dois anos onde você terminará com $11.449 em vez de $11.448. Você notou que podemos ter calculado o VF2dos dois CDB como segue: VF2 = $10.000 × (1+ ,06)× (1+ ,08)= $11.448,00

  43. Conclusão • Para calcular VF2 simplesmente multiplicamos o investimento de $10.000 por (1 + i1) e novamente por (1 + i2) onde i1 e i2 são as taxas de juros do pri-meiro e segundo ano, respectivamente. Infelizmente este cálculo não pode ser feito diretamente com as funções financeiras de uma calculadora financeira. Para cálculos incorporando muitas variações de taxas de juros uma planilha seria muito valiosa.Nela po-demos usar uma função financeira chamada VFPLANO (capital;plano). Esta função é muito interessante.

  44. Ressarcindo um Empréstimo • Cinqüenta anos após a sua graduação, você recebeu uma carta de sua faculdade notificando que eles acabaram de descobrir que você não pagou sua última matrícula das atividades estudantis no valor de $100 naquela época. Devido a isto ter sido um engano da sua faculdade, ela decidiu cobrar de você uma taxa de juros de apenas 6% ao ano. Sua faculdade gostaria que você pagasse isso durante o qüinquagésimo encontro dos ex-alunos da sua turma de graduação. Como um bacharel fiel, você se sente obrigado a pagar. Quanto você deve a eles?

  45. EXERCÍCIOS PROPOSTOS • 1. Em 1626 Peter Minuit comprou a Ilha de Manhattam dos Nativos Americanos por cerca de $24 em bugigangas. Se a tribo tivesse ao invés disso exigido dinheiro e investido todo ele a 10% ao ano de juro composto anualmente, quanto a tribo teria em 2006, 380 anos mais tarde? Quanto do valor futuro é de juros simples? E quanto é de juros compostos? Resposta:  128 quatrilhões; $912,00; $ o que falta para 128 quatrilhões • 2. Suponhamos que Peter Minuit não tivesse se tornado o primeiro magnata imobiliário de Nova Iorque, mas que em vez disso tivesse investido seus $ 24 a uma taxa de juros de 5% a.a. no Banco Econômico de Nova Amsterdã. Quanto ele teria de saldo em sua conta de pois de 5 anos? E de 50 anos? • 3. A Novos Empreendimentos teve vendas no passado de apenas $0,5 milhão. No entanto, um analista da bolsa de valores está otimista sobre a empresa e prevê que as vendas dobrarão a cada ano por 4 anos. De quanto são as vendas projetadas até o final desse período? • 4. Alan investiu $10.000 num fundo de investimento. Exatamente quatro meses depois resgatou $10.877,34. O gerente do fundo informou que as taxas de rentabilidade mensais do fundo durante o prazo do investimento de Alan foram 1,8%, 2%, 2,2% e 2,5% ao mês. Alan gostaria de verificar se o resgate recebido correponde realmente às taxas mensais de juro informadas e qual foi a taxa de juro efetiva durante o período de quatro meses? • 5. O excesso de caixa de uma empresa $ 18.000 foi aplicado em um fundo durante cinco dias coma taxa de juro de 0,3% aos cinco dias. A seguir o valor resgatado foi reaplicado em renda fixa durante oito dias com taxa de juro de 0,48% aos oito dias. Finalmente, o valor resgatado da aplicação em renda fixa foi aplicado durante doze dias com taxa de juro de 0,75% aos doze dias. Qual o resgate dessa operação? Resp: VF = $ 18.276,71 • 6. Continuando com o problema 5, qual a taxa total de juro desta operação? Resp: i = 1,5373% aos vinte e cinco dias • 7. Foram aplicados $760.000 durante dez dias com taxa total de juro de 0,8%. O valor resgatado foi reaplicado durante seis dias com taxa total de juro de 0,4%. O valor resgatado da segunda aplicação foi reaplicado durante doze dias com taxa total de juro de 1,05%. A quarta aplicação foi realizada durante sete dias com taxa total de juro de 0,5%. Quais os valores da taxa de juro e o resgate no final da quarta aplicação? Resp: i = 2,78% aos trinta e cinco dias e VF = $781.106,44 • 8. John manteve $10.000 em Caderneta de Poupança durante dez meses seguidos. Analisando o valor resgatado, John verificou que a taxa total de juro da operação foi 9,65% aos dez meses. Se a taxa de juro durante os primeiros seis meses da operação foi 5,33% aos seis meses, qual a taxa de juros dos últimos quatro meses? Resp: i = 4,10% aos quatro meses.

  46. Venda da Ilha de Manhattan Peter Minuit comprou dos índios a Ilha de Manhattan por $24 em 1626, pagando com mercadorias e quinquilharias. Este foi um bom negócio? Para responder, determine quanto vale aqueles $24 no ano de 2006, composto a 10%. OBS – Isto é muito dinheiro. Daria para comprar os Estados Unidos todo. Com o troco, daria ainda para comprar o resto do mundo!.

  47. Venda da Ilha de Manhattan • Embora divertida, na verdade essa análise é um tanto enganosa. Primeiro, a taxa de juros de 10% que usamos para comparar valores futuros é bastante alta com relação aos padrões históricos. A uma taxa de juros de 3,5% a.a., mais consistente com a experiência histórica, o valor futuro dos $ 24 seria drasticamente mais baixo, apenas $ 24 x(1,035)380 = $11.416.793, ou seja 11,5 bilhões de dólares! Segundo, nós subestimamos os retornos para o Sr. Minuit e seus sucessores: ignoramos toda a renda proveniente de aluguel que as terras da ilha têm gerado nos últimos três ou quatro séculos. Considerando tudo, se estivéssemos vivos em 1626, teríamos pago os $24 pela ilha com muito prazer.

  48. Sobre o Peter Minuit • Suponhamos que Peter Minuit não tivesse se tornado o primeiro magnata imobiliário de Nova Iorque, mas que em vez disso tivesse investido seus $ 24 a uma taxa de juros de 5% a.a. no Banco Econômico de Nova Amsterdã. Quanto ele teria de saldo em sua conta de pois de 5 anos? E de 50 anos? • 5 anos ......$ 30,63 • 50 anos.....$ 275,22 • Imóveis são excelentes investimentos a longo prazo!

  49. Valor Presente (VP): Descontando Fluxos de Caixa Futuros • PROBLEMA: Determinar a quantia VP que deve ser investida, a juros i, para que se tenha o montante VFapós n períodos de capitalização, ou seja, determinar o valor atual de VF. • Qual o Valor Presente (ou Atual) dado o Valor Futuro?

  50. FATOR DE VALOR ATUAL - FVA

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