اقتصاد رفاه

1. اقتصاد رفاه مفهوم بهينه پارتو پارتو بيان مي‌كند كه هر سياست اقتصادي نمي‌تواند به ضرر همه افراد جامعه باشد، بلكه با اجراي هر سياستي حداقل وضعيت بعضي افراد بهتر و بعضي ديگر بدتر مي‌گردد. بهينه پارتو با كمك جعبه اجورث كه براساس فرض مطلوبيت ترتيبي مي‌باشد، تحلیل مي‌شود. «تخصيصي بهينه پرتو است كه نتوان با تخصيص مجدد و بهم زدن آن تخصيص قبلي مطلوبيت فرد يا افرادي را اضافه نمود بدون آنكه از مطلوبيت فرد يا افراد ديگري كاست.»

3. تحلیل نحوه دستیابی به بهینه پارتو در قسمت قبل مفهوم بهینه پارتو در خصوص مصرف‌کننده معرفی شد. تحلیل بدون استفاده از فرمول‌هاي رياضي بود كه بتوان با آن شرايط بهينه را حل نمود. اما لرنر و هيكس بعدها شرايط نهايي كه قادر به محاسبه نقطه بهينه پارتو بود، را ارائه نمودند. اين شرايط بر اساس فروض زير مطرح گرديدند: 1) منحني مطلوبيت هر شخص معلوم مي‌باشد، 2) تابع توليد هر بنگاه و سطح تكنولوژي آن داده شده و ثابت مي‌باشد، 3) كالاها كاملاً بخش‌پذير هستند، 4) توليدكنندگان با حداقل هزينه‌اي كه از تركيب عوامل توليد بدست مي‌آيد، توليد می‌كنند، 5) هر مصرف‌كننده مقداري از همه كالاها را مي‌خرد و مصرف مي‌كند، 6) همة عوامل توليد كاملاً متحركند.

4. بهينه پارتو در اقتصاد بدون توليد با دو مصرف‌كننده اقتصادي را در نظر بگيريد كه در آن توليدي صورت نمي‌گيرد. همچنين در اين اقتصاد دو مصرف‌كنندهA و B وجود دارد. توابع مطلوبيت دو فرد را بصورت زير درنظر بگيريد: موجودی کالای دوم موجودی کالای اول مصرف فرد اول از کالای دوم مصرف فرد اول از کالای اول مصرف فرد دوم از كالاي دوم مصرف فرد دوم از كالاي اول اکنون براساس تعريف بهينه پارتو مطلوبيت شخص دوم را ثابت در نظر گرفته و مطلوبيت شخص اول را حداكثر می‌كنيم.

5. براي حل رابطه بالا و پيدا كردن جواب بهينه، تابع لاگرانژ را بصورت زير تشكيل مي‌دهيم: شرايط مرتبه اول بهينه‌يابي به صورت زير خواهد بود: از تقسيم روابط سطر اول و دوم رابطه بالا بر یکدیگر، شرایط مرتبه اول را می‌توان به صورت زير نوشت:

6. لذا ميزان بهينه مصرف كالاي 1 و 2 توسط مصرف‌کننده اول و دوم به صورت زير است: بنابراين براساس روابط بالا مي‌توان گفت كه شرط لازم بهينه پارتو در يك اقتصاد مصرفي بدون توليد، تساوي نرخ‌هاي نهايي جانشيني افراد است. جهت درك بهتر مي‌توان از جعبه اجورث نيز جهت نمايش نتيجه فوق استفاده نمود.

7. تحليل هندسي تعريف بهینه پارتو در اقتصاد مصرفي بدون توليد

8. چون در تعريف بهينه پارتو گفته شده ميزان U2 بايد ثابت باشد بنابراين U2 مي‌تواند مقادير مختلفي را اختيار كند مانند . لذا اين بار بايد U1 را ماكزيمم كرد با فرض

10. به همین ترتیب اگر U2 را مقادیر متفاوتی بگیریم نقاط متفاوتی که که در واقع نقاط مماس منحنی های بی تفاوتی این دو فرد است بدست می آید که همه آنها بهینه پرتو هستند. اگر این نقاط را بهم وصل کنیم یک منحنی بدست می آید که به آن منحنی قرارداد مصرف می گویند. نکته اکنون به نمودار صفحه بعد توجه نماييد. براساس نمودار مي‌توان گفت كه نقطهH در حالت عدم كارايي بسر مي‌برد. اما نمي‌توان گفت كه نقطهA (كه بر روي منحني قرارداد واقع است) به نقطه H برتر پارتو است. زيرا با انتقال از نقطه H به نقطه A، درست است كه مطلوبيت فرد اول افزايش مي‌يابد اما در عين حال مطلوبيت شخص دوم كاهش مي‌يابد. زماني نقطه‌اي برتر پارتو است كه با افزايش مطلوبيت فرد اول حداقل مطلوبيت فرد دوم ثابت بماند.

12. نمودار زیر را در نظر بگيريد، با دقت در اين نمودار مشاهده مي‌شود كه با انتقال از نقطه H به نقطهA مطلوبيت فرد اول افزايش يافته، بدون اينكه كاهشي در مطلوبيت فرد دوم صورت گرفته باشد. زيرا كه فرد دوم بر روي همان منحني بي‌تفاوتي سابقش باقي مي‌ماند. در صورتي كه نقطه Mرا به عنوان سطوح مصرف اين دو فرد در حالت اوليه در نظر بگيريم، نمي‌توان در مورد اين نقطه اظهار نظر كرد، زيرا كه منحني‌هاي بي‌تفاوتي اشخاص مشخص نمي‌باشد و ممكن است هر انتقالي موجب نفع فردي و ضرر فرد ديگري گردد.

13. اکنون به مثالی ديگر توجه نماييد. در نمودار زیر جعبه اجورث جديدي را با حالات جديد نشان مي‌دهد. در اين نمودار نقطة A نسبت به همة تخصيص‌هاي روي دو منحنیU1 و U2 و همه نقاط مابین این دو منحنی، برتر پارتو است.

14. بهینه پارتو در اقتصاد با دو توليد کننده بهینه پارتو در خصوص تولید دلالت بر آن دارد که به فرض مشخص بودن میزان عوامل تولید، اين وضعيت در نقطه‌ای ایجاد می‌شود که نرخ نهايي جانشيني تكنيكي بين هر جفت از عوامل توليد دو بنگاه كه دو كالا را توليد و از اين دو عامل توليد استفاده مي‌كنند، برابر می‌باشد. مشخص است که در این وضعیت امکان تولید یک کالا برای یک تولید کننده بدون کاهش در تولید بنگاه دیگر ممکن نیست. سطح موجودی کالای 1 افزایش یابد

15. فرض کنید که دو تولیدکننده در بازار وجود دارد که با استفاده از عوامل تولید و کالاهای و را تولید می نمایند. • توابع تولید این دو بنگاه و میزان موجودی مواد اولیه که ثابت است را به صورت زیر در نظر می‌گیریم: مقدار استخدام عامل توليد اول توسط واحد توليدي اول، مقدار استخدام عامل توليد دوم توسط واحد توليدي اول، موجودي جامعه از عامل توليد اول، مقدار استخدام عامل توليد اول توسط واحد توليدي دوم، مقدار استخدام عامل توليد دوم توسط واحد توليدي دوم، موجودي جامعه از عامل توليد دوم.

16. بهینه پارتو تولیدکنندگان مستلزم آن است که سطح تولید هر کالا با مشخص بودن تولید سایر کالاها در حداکثر باشد. شرايط مرتبه اول بهينه‌يابي بصورت زیر خواهد بود:

17. دو سطر اول معادله قبل را بر هم تقسیم می‌کنیم، داریم: (1) از حل معادله بالا خواهیم داشت: با توجه به رابطه (1) روشن است که شرط لازم براي برقراري تعريف بهینه پار‌تو در اقتصادی که در آن توليدصورت می‌پذیرد، تساوي نرخ‌هاي نهايي جانشيني فني است.

18. اکنون به تحلیل هندسی می‌پردازیم. بدین منظور مي‌توان از جعبة اجورث استفاده نمود. فرض مي‌كنيم كه منحني توليد يكسان دو بنگاه به صورت نمودار زیر باشد. هر دو بنگاه مقداري از هر نهادة توليد را جهت توليد كالاهايشان استفاده مي‌كنند:

19. و از تلفيق دو نمودار ترسیم شده جعبه اجورث را تشكيل مي دهيم، و نقطه بهينه پارتو را براساس تعريف بررسي مي‌نماييم: ارائه می‌نماید. نقاط مماس منحني‌هاي توليد يكسان دو بنگاه برابر نرخ نهايي جانشينی فنی بين عوامل توليد مي‌باشد و چنانچه اين نقاط را به هم وصل كنيم منحني قرارداد توليد استخراج مي‌گردد. منحني قرارداد توليد، مكان هندسي كليه نقاطی است كه تخصيص‌هاي بهينه مختلفی از عوامل توليد را براي توليد كالاها ارائه می دهد.

20. با يك جعبة بهینه توليد مي‌توان بي‌نهايت جعبة بهینه مصرف را رسم كرد. به عبارت ديگر براي هر نقطة پارتو در جعبة توليد، يك جعبة مصرف داريم. بهینه پرتو می گوید با ثابت بودن U2 ، U1 رابه هیچ وجه نمی توان بالا برد. U1 به دو صورت می تواند بالا برود: در این حالت بهینه پرتو برقرار نیست، زیرا این حالت زمانی برقرار است که تولید 1 با ثابت ماندن تولید 2 بالا رود، بنابراین تعریف بهینه پرتو نقص می شود.

21. یعنی در این حالت کل تولید جامعه ثابت مانده است. ولی با عوض کردن ترکیب توزیع توانسته ایم مطلوبیت فرد 1 را با ثابت نگه داشتن مطلوبیت فرد 2 افزایش دهیم. در این حالت نیز با وجود ثابت بودن میزان تولید بهینه پرتو نقض شده است. بنابراین بهینه پرتو جامعه وقتی که تولید هم وجود دارد این است که بطور همزمان هم MRSها مساوی باشند و هم MRTS ها با هم برابر باشند.

22. بهینه پارتو در حالت عمومی مصرف‌كننده هر مصرف‌كننده همة كالاهاي توليد شده را مصرف‌نموده و عوامل توليد خود را در اختيار توليدكننده قرار مي‌دهد. توليد‌كننده هم همة كالاهاي توليدي را عرضه مي‌كند. توليد‌كننده عامل اولية توليد كالاي توليد شده در چنين اقتصادي تابع مطلوبيت مصرف‌كننده i- ام و تابع تولید ضمنی h- ام به ترتیب به صورت زیر است: میزان استفاده مصرف‌کننده i- ام از کالای تولیدی s- ام

23. میزان موجودی خالص مصرف‌کننده i- ام از عامل اولیه n- ام، میزان تولید کالای s- ام توسط بنگاه h- ام میزان استفاده تولیدکننده h- ام از عامل اولیه n- ام براي سادگي فرض می‌شود که كالاي واسطه‌اي كه خود در فرآيند توليد ايجاد شده و مصرف‌مي‌شوند در محسوب نمی شود و لذا کل خالص تولید عرضه شده است. همچنین فرض می‌شود که هر توليد‌كننده همة كالاها را توليد كرده و همة عوامل توليد را مصرف‌مي‌كند. بازار کالای k-ام زمانی در تعادل است که: یعنی مجموع مصرف کلیه مصرف‌کنندگان برابر با تولید کلیه تولیدکنندگان باشد.

24. شرط تعادل در بازار عامل j- ام را نیز می‌توان به صورت زیر نوشت: یعنی مجموع عرضه عامل تولیدj- ام توسط کلیه مصرف‌کنندگان برابر با میزان استفاده از این عامل توسط کلیه تولیدکنندگان باشد. حال با اين فروض مي‌خواهيم بهینه پارتو در توليد و مصرف را به طور همزمان بدست آوريم يعني به شرطي برسيم كه نتوان مطلوبيت يك فرد را افزايش داد مگر آنكه مطلوبيت ديگران را كاهش دهيم.

25. براي اين كار مطلوبيت فرد 1 را با ثابت گرفتن مطلوبيت ساير افراد و در نظر گرفتن تابع توليد، ماکزیمم مي‌كنيم. لذا تابع لاگرانژ را برای مصرف‌کننده اول به صورت زیر می‌نویسیم: تعداد كل قيد‌ها‌ي اين تابع برابر است با:

26. شرايط اولية بهينه‌يابي در اين حالت بصورت روابط زیر خواهد بود: (1) (2) (3) (4) (5)

27. (6) (7) (8) (9) (10)

28. سه دسته شرایط (1) تا (3) به شرح زیر را برای بهینه پارتو خواهیم داشت که در ادامه به استخراج آنها می‌پردازیم: (1) بين مصرف‌كنندگان (سه شرط) (2) بين توليد‌كنندگان (سه شرط) (3) بين توليد‌كنندگان و مصرف‌كنندگان (سه شرط) در ابتدا سه شرط موجود بين مصرف‌کنندگان را بررسي مي‌كنيم. از سري معادلات (1) که مربوط به فرد اول است، دو معادله براي دو كالاي توليد شدةk و L را بر هم تقسیم می کنیم: (11) از سري معادلات (3) هم دو معادله براي دو كالاي توليد شدةk و L را برای فرد اول بر هم تقسیم می کنیم داریم: (12)

29. اگر عملیات صورت گرفته در (11) را براي فردe هم بنويسيم خواهيم داشت: بهینه پارتو ايجاب مي‌كند كه mrsهای افراد بين هر دو كالاي توليد شده انتخابي برابر باشد. اکنون از سري معادلات (2)، دو معادله را براي دو عامل توليدj و g را براي فرد اول بر هم تقسيم مي‌كنيم داريم:

30. از سري معادلات (4) هم دو معادله براي دو عامل توليدj وg را براي فرد i بر هم تقسيم مي‌كنيم، داريم: اگر عملیات صورت گرفته در بالا را براي فرد e هم بنويسيم، خواهيم داشت: بهینه پارتو ايجاب مي‌كند كه MRS های افراد بين هر دو عامل توليد استخدام شده انتخابي برابر باشد. یعنی: (13)

31. از سري معادلات (2) براي عامل توليد j و از سری معادلات (1) براي كالاي توليد شدهk ، هر كدام يك معادله در نظرگرفته و بر هم تقسيم مي‌كنيم داريم: از سري معادلات (4) براي عامل توليد j و از سری معادلات (13) براي كالاي توليد شدة k، براي افرادi-ام وe- ام هر كدام يك معادله گرفته و بر هم تقسيم مي‌كنيم، داريم: با توجه به رابطه بالا شرط سوم بهینه پارتو در خصوص مصرف‌کننده ايجاب مي‌كند كه mrs افراد بين هر عامل توليد j و هر كالاي توليد شدة k انتخابي برابر باشد، یعنی:

32. اکنون سه شرط موجود بين توليدكنندگان را بررسي مي‌كنيم. از سري معادلات (5) دو معادله براي دو كالاي توليد شدة k و L براي بنگاهh- ام در نظر گرفته و بر هم تقسيم مي‌كنيم. همين كار را براي بنگاه o نيز تكرار مي‌كنيم. داريم: بنابراین شرط چهارم بهینه پارتو که مربوط به تولیدکننده است ايجاب مي‌كند كه MRPT بنگاه‌ها براي توليد هر دو كالاي انتخابي برابر باشد. یعنی: از سری معادلات (6) دو معادله برای دو عامل تولید j و g را برای بنگاه h بر هم تقسیم می‌کنیم. همین عملیات را برای بنگاه o انجام می‌دهیم، بنابراین:

33. بنابراین شرط پنجم بهینه پارتو که برای تولیدکننده است ايجاب مي‌كند كه MRTS بنگاه‌ها براي هر دو عامل توليد انتخابي برابر باشد. یعنی: از سري معادلات (6) معادله مربوط به عامل توليد j و از سری معادلات (5) معادله مربوط به كالاي توليد شدة k برای بنگاه h- ام را در نظر گرفته و بر هم تقسيم مي‌كنيم. به طریق مشابه براي بنگاه o همین کار را تكرار مي‌كنيم، داريم:

34. بنابراین شرط ششم بهینه پارتو که در خصوص تولید کننده است ايجاب مي‌كند كه mpx (توليد نهايي هر عامل توليد در توليد هر محصول) بنگاه‌ها براي هر عامل توليد و هر محصول توليد شدة انتخابي برابر باشد، یعنی: سه شرط موجود بين مصرف‌کنندگان و تولیدکنندگان (یعنی شرایط هفتم تا نهم) به صورت روابط زیر قابل تحقیق است.

35. سئوال اين است كه چه بازاري مي‌تواند شرايط 9 گانه بهینه پارتو را اعمال نمايد؟ جواب اين است كه بازاري كه قيمت‌هاي آن ضرایب لاگرانژ و یا ضريب ثابتي از ضرايب لاگرانژ باشند، يعني: اين فروض در همة شرايط بهینه پارتو برقرار است. پس فقط بازار رقابت كامل است كه مي‌تواند شرايط 9 گانة بهینه پارتو را داشته باشد.