اقتصاد خرد (2) دكتر داودي

2. اقتصاد خرد (2) دكتر داودي

3. انواع توابع توابع مستقيم انواع توابع: توابع غير مستقيم تابع همگن از نظر ریاضی تابعی را همگن از درجه h گویند که در آن با برابر شدن تمامی متغیرهای مستقل مقدار متغیر تابع برابر گردد، که در آن h درجه همگنی تابع مورد نظر می باشد. تابع مطلوبیت زیر را در نظر بگیرید: در صورت همگن بودن این تابع :

4. لذا تابعی همگن از درجه صفر است.

5. در صورتیکه اگر تابع مطلوبيت همگن از h باشد MRS را مي‌توان بصورت نسبتي از متغيرها نوشت.

6. بدست آوردن رابطه اولر: از طرفين نسبت به مشتق مي‌گيريم: • در صورتیکه

7. رابطه اولر براي دو متغيره: رابطه اولر : مجموع حاصلضرب هر كدام از متغيرها در مشتق تابع نسبت به آن متغير برابر است با درجه همگني ضربدر تابع : براي ‌n متغير

8. MRS تابع همگن، تابعي از نسبت متغيرها مي‌باشد؛ يعني: X2 B 3 2 A كشش درآمدي در اين حالت برابر واحد است. براي روشن شدن موضوع به شكل زير توجه كنيد: X1 O 4 6 X2 I.C.C B2 B A2 A X1 O A1 B1 M N

9. اگر I.C.C شعاع باشد كشش درآمدي برابر واحد است. نتيجه: كشش درآمدي بدست آمده از هر تابع مطلوبيت همگن برابر واحد خواهد بود. Px1 . E F . . h X1

10. ساير خواص تابع همگن: * كشش جانشيني

11. روابط زير را در نظر بگيريد: با جايگزيني اين سه عبارت در رابطه كشش جانشيني داريم:

12. (1) كشش جانشيني براي تمام توابع D علامت D تعيين كننده تحدب و تقعر منحني بي‌تفاوتي است.

13. درجه تحدب افزايش كشش جانشيني كاهش اگر تابع همگن باشد، پرانتز صورت رابطه (1) در واقع رابطه اولر است و مي‌توان معادل آن (درجه همگني ضربدر تابع) را نوشت . لذا: : براي تابع همگن اگر تابع همگن از درجه يك باشد، مي توان رابطه كشش جانشيني را بصورت زير نوشت: (1) راه ديگر: اگر تابع u همگن از درجه يك باشد در آن صورت تابع u1 و u2همگن از درجه صفر مي‌شود پس رابطه اولر در مورد u1 و u2 نيز صادق است:

14. از رابطه كلي رابطه داريم: (1)

15. (2) تابع كاپ-داگلاس : فرم عمومي تابع : درجه همگني : درجه همگني

16. (1) همانطور كه مشاهده مي‌كنيد MRS تابعي از نسبت متغيرها و همگن از درجه صفر است. بنابراين: • كشش درآمدي هر تابع كاپ-داگلاس عمومي حتماً برابر واحد است . • هر تابع كاپ-داگلاس عمومي حتماً يك تابع هموتتيك هم است . رابطه اولر : طبق رابطه (1)

17. مثال: تابع توليد كاپ- داگلاس: : رابطه اولر

18. در حالت كلي: طرفين در P ضرب ناسازگاري با بازار رقابت كامل ناسازگاري با بازار رقابت كامل سازگاري با بازار رقابت كامل نكته : موارد فوق براي توابع همگن برقرار است. • اگر تابع همگن از درجه يك باشد (چه كاپ- داگلاس باشد يا نباشد) شرط اينكه براي حداكثر شدن سود داراي بهينه باشد اين است كه كل درآمد جذب اين دو عامل باشد. • اگر تابع همگن از درجه بيشتر از يك باشد درآمدهاي آن كفاف هزينه‌هايش را نمي‌دهد.

19. . . . . استخدام بيشتر : نقاط كمتر از بهينه درآمد هزينه : نقاط بيشتر از بهينه هزينه درآمد استخدام كمتر

20. هزينه براي تابع توليد همگن از درجه ‌h : براي تابع همگن از درجه h

21. نتيجه • هر تابع توليد همگن از درجه h نسبت به مقدار عوامل توليد، TCاي مي‌دهد كه همگن از درجه است نسبت به توليد. • اگر تابع TC همگن باشد، تابع توليد نيز همگن خواهد بود.

22. پرداخت به L و K VMPL VMPL ميزان درآمد L

23. هزينه فزاينده، بازده كاهنده هزينه كاهنده، بازده فزاينده بازده ثابت نسبت به مقياس

24. فرم تعميم يافته تابع كاپ- داگلاس: توابع غير مستقيم كاپ- داگلاس: سؤال: تابع هزينه تابع هموتتيك را بدست آوريد.

25. تابع هموتتيك توابعی که شیب منحنی های بی تفاوتی آنها در طول شعاع گذرنده از مبدأ مختصات یکسان باشد را توابع هموتتیک گویند. X2 • اینگونه توابع توابعی هستند که نرخ نهایی جانشینی آنها تابعی از نسبت (X2/X1) باشد: • تقاضاي بدست آمده از هر تابع هموتتيك داراي كشش‌هاي درآمدي برابر واحد است. X1 O • اگر كشش درآمدي واحد باشد، I.C.C شعاع شده پس MRS همگن از درجه صفر است و در نتيجه تابع هموتتيك خواهد بود.

26. هر تابع همگني حتماً هموتتيك است ولي هر تابع هموتتيك لزوماً همگن نيست. به مثال زير توجه كنيد: دو تابع u و v را در نظر بگيريد به نحوي كه v تابعي يكنواخت فزاينده از u باشد: تابع u همگن است ولي تابع v همگن نيست.

27. توابع C.E.S توابعي هستند كه اولاً؛ همگن از درجه يك هستند ثانياً: داراي كشش جانشيني ثابت مي‌باشند.

28. : تعريف • كشش جانشيني بين دو متغير از صفر تا بي‌نهايت مي‌تواند تغيير كند.

29. : تعريف اگر اين تابع روي يك مطلوبيت ثابت بخواهد حركت كند مي‌توان را بصورت زير فرض كرد: : فرم تابع C.E.S

30. به دو صورت C.E.S به C.E.S تعميم يافته تبديل مي‌شود:

31. بدست آوردن معادله منحني بي‌تفاوتي توابع CES:

32. متغير جانشيني متغير تكنولوژي متغير تسهيم : از طرفي

33. اگر كشش جانشيني برابر یک باشد: تعریف : تابع کاپ- داگلاس: نتیجه: در تابع C.E.S وقتی باشد، تابع C.E.S به تابع کاپ- داگلاس تبدیل می شود.

34. حالت های مختلف تابع C.E.S: مبهم رفع ابهام

35. این حالتی است که منحنی بی تفاوتی مجانب به خط افقی باشد. عدد

36. تابع کاپ- داگلاس مبهم شکل تابع کاپ- داگلاس بصورت زیر است : مجانب به سمت محورها

37. منحنی بی تفاوتی محورها را قطع می کند.

38. تابع مطلوبیت استون و جری Stone-Geary – Klein- Robin مقادير حداقل معيشت و پارامترهاي تسهيم و (1)

39. با گرفتن آنتي لگاريتم از رابطه (1): آنچه كه باعث ايجاد مطلوبيت مي‌شود مازاد مصرف از يك مقدار معين است كه آن مقدار معين حداقل معيشتي است كه مطلوبيتي از آن حاصل نمي‌شود و از آن فقط فرد ارتزاق مي‌كند و اضافه بر آن شروع به ايجاد مطلوبيت مي‌كند. لذا را سطح حداقل معيشت گويند. بنابراين تابع استون و جري تمام خواص تابع كاپ- داگلاس را دارا مي‌باشد.

40. بدست آوردن معادله تابع تقاضاي استون و جري

41. عبارت صفحه قبل را مي‌توان بصورت زير نوشت: مخارج روي كالا سهمي از درآمد مازاد بر حداقل معيشت مخارج روي سطح حداقل معيشت مخارجي كه روي حداقل معيشت انجام مي‌شود. سهم مخارج روي كالاي 1 سهم مخارج روي كالاي 2

42. توابع مطلوبیت تفكيك پذير Separable Utility function Non- Addetive Strongly separable توابع مطلوبيت تفكيك پذير Addetive weakly separable Addetive Non- Addetive

43. 1) تابع مطلوبيت قوياً تفكيك پذير : شرط براي همه i ها وj ها : با توجه به شرط بنابراين زماني يك تابع قوياً تفكيك پذير است كه MRSهر دو متغير فقط تابعي از آن دو متغير باشد و تابعي از متغيرهاي ديگر نباشد به اين خاصيت، خاصيت قوياً تفكيك پذيري گويند.

44. 2) تابع مطلوبيت قوياً جمع‌پذير تفكيك پذير

45. 3) تابع مطلوبيت بطور ضعيف تفكيك پذير بنابراين خاصيت تابع بطور ضعيف تفكيك پذير اين است كه MRSبين هر دو متغير انتخابي از گروه اول تابع متغيرهاي گروه دوم نباشد.

46. سؤال: فايده تابع بطور ضعيف تفكيك پذير چيست؟ فرض كنيد تابع مطلوبيت زير را داريم: اگر به نوعي تفكيك پذيري وجود داشته باشد مثلاً مصرف فرد از خوراك، پوشاك و تفريح مستقل از مسكن و اتومبيل باشد؛ در اين صورت MRS بين مسكن و اتومبيل تابعي از خوراك و پوشاك و تفريح نخواهد بود بنابراين تابع مطلوبيت آنها را مي‌توان جدا كرد و رفتار آنها را جداگانه بررسي كرد: لذا : به جاي بررسي يك تابع پيچيده، مي‌توان يك تابع ساده را بررسي كرد.

47. 4) تابع مطلوبيت بطور ضعيف تفكيك پذير جمع پذير مقايسه تابع مطلوبيت قوياً تفكيك پذير جمع پذير با تابع قوياً تفكيك‌پذير -‌ رفتار بيروني اين دو تابع يكي است (رفتار بيروني را MRS مشخص مي‌كند) ولي رفتار ذهني آنها متفاوت است. -‌ تابع قوياً جمع پذير تفكيك‌پذير داراي يك رفتار ذهني است كه علاوه بر MRS مطلوبيت نهايي نيز فقط تابع خود متغير است و تابع بقيه متغيرها نيست. در حالي كه در توابع قوياً تفكيك‌پذير اين تنها در مورد MRS صادق است.

48. سؤال اثبات كنيد كه در توابع جمع پذير همواره رابطه زير برقرار است: نكته كشش قيمت خودي كشش درآمدي • تابع استون و جري يك تابع جمع پذير است لذا رابطه بالا در مورد آن صادق است. • تابع كاپ- داگلاس نيز يك تابع جمع پذير است و رابطه بالا در مورد آن صادق است.

49. توابع مطلوبیت متعالي اين تابع بدليل نقصي كه تابع كاپ- داگلاس داشت معرفي شده است. به تابع زير توجه كيند: مشاهده مي‌كنيد كه كشش توليدي ثابت فرض شده است و در واقعيت لزوماً كشش توليدي ثابت نيست. تابع متعالي در واقع يك تابع كاپ- داگلاس است كه در آن كشش‌هاي توليدي ثابت نيستند. فرم عمومي آن بشكل زير است:

50. نقص اين تابع اگر خطوط مرزي اين تابع محاسبه شود :