1 / 50

FUNGSI

MATEMATIKA DISKRIT. K- 6. FUNGSI. Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Indonesia. DEFINISI FUNGSI. Relasi biner f dari himp A ke himp B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B .

chuck
Télécharger la présentation

FUNGSI

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. MATEMATIKA DISKRIT K- 6 FUNGSI DepartemenMatematika FakultasMatematikadanIlmuPengetahuanAlam Universitas Indonesia MatematikaDiskrit

  2. DEFINISI FUNGSI RelasibinerfdarihimpAkehimpBmerupakansuatufungsijikasetiapelemendidalamAdihubungkandengantepatsatuelemendidalamB. Notasi : JikafadalahfungsidariAkeBkitamenuliskanf : AB yang artinyafmemetakanAkeB. MatematikaDiskrit

  3. DEFINISI FUNGSI • Adisebutdaerahasal (domain) darifdanBdisebutdaerahhasil(codomain) darif. • Nama lain untukfungsiadalahpemetaanatautransformasi. • Kita menuliskanf(a) = bjikaelemenadidalamAdihubungkandenganelemenbdidalamB. MatematikaDiskrit

  4. PenyajianFungsi • Himpunanpasanganterurut. Sepertipadarelasi. • Formula pengisiannilai (assignment). Contoh: • f(x) = 2x + 10, f(x) = x2, dan • f(x) = 1/x. • Kata-kata, Contoh: • “fadalahfungsi yang memetakanjumlah bit 1 didalamsuatustringbiner”. MatematikaDiskrit

  5. PenyajianFungsi • Kode program (source code) Contoh: Fungsimenghitung |x| • function abs(x:integer):integer; begin if x < 0 then abs:=-x else abs:=x; end; MatematikaDiskrit

  6. Contoh 1: • Relasif = {(1, u), (2, v), (3, w)} dariA = {1, 2, 3} keB = {u, v, w} adalah • fungsidariAkeB. • Di sinif(1) = u, f(2) = v, danf(3) = w. • Daerah asaldarifadalahAdandaerahhasiladalahB. • Jelajahdarifadalah {u, v, w}, yang dalamhalinisamadenganhimpunan B. MatematikaDiskrit

  7. Contoh 2: • Relasif = {(1, u), (2, u), (3, v)} dariA = {1, 2, 3} keB = {u, v, w} adalah fungsidariAkeB, • meskipunumerupakanbayangandariduaelemenA. • Daerah asalfungsiadalahA, daerahhasilnyaadalahB, dan • jelajahfungsiadalah {u, v}. MatematikaDiskrit

  8. Contoh 3: • Relasif = {(1, u), (2, v), (3, w)} dariA = {1, 2, 3, 4} keB = {u, v, w} adalah bukanfungsi, • karenatidaksemuaelemenAdipetakankeB. MatematikaDiskrit

  9. Contoh 4: • Relasif = {(1, u), (1, v), (2, v), (3, w)} dariA = {1, 2, 3} keB = {u, v, w} adalah bukanfungsi, • karena1 dipetakankeduabuahelemenB, yaituudanv. MatematikaDiskrit

  10. Contoh 5: Misalkanf : Z Zdidefinisikanolehf(x) = x2. Daerah asaldandaerahhasildarif adalahhimpunanbilanganbulat, danjelajahdarifadalahhimpunanbilanganbulattidak-negatif. Apakahfmerupakanfungsi ? MatematikaDiskrit

  11. Contoh 6: • Relasif = {(1, w), (2, u), (3, v)} dariA = {1, 2, 3} keB = {u, v, w, x} adalah fungsisatu-ke-satu, • Tetapirelasif = {(1, u), (2, u), (3, v)} dariA = {1, 2, 3} keB = {u, v, w} adalah bukanfungsisatu-ke-satu, • karenaf(1) = f(2) = u. MatematikaDiskrit

  12. Contoh 7: Misalkanf : Z Z. Tentukanapakah a. f(x) = x2 + 1 dan b. f(x) = x – 1 merupakanfungsisatu-ke-satu ? MatematikaDiskrit

  13. JawabContoh 7: • a. f(x) = x2 + 1 adalah bukanfungsisatu-ke-satu, • karenauntukduax yang bernilaimutlaksamatetapitandanyaberbedanilaifungsinyasama, misalnyaf(2) = f(-2) = 5 padahal –2  2. • b. f(x) = x – 1 adalah fungsisatu-ke-satu • karenauntukab, makaa – 1 b – 1. • Misaluntukx = 2, f(2) = 1 dan untukx = -2, f(-2) = -3. MatematikaDiskrit

  14. Contoh 8: • Relasif = {(1, u), (2, u), (3, v)} dariA = {1, 2, 3} keB = {u, v, w} adalah bukanfungsipada • karenawtidaktermasukjelajahdarif. • Relasif = {(1, w), (2, u), (3, v)} dariA = {1, 2, 3} keB = {u, v, w} adalah fungsipada • karenasemuaanggotaBmerupakanjelajahdarif. MatematikaDiskrit

  15. Contoh 9: Misalkanf : Z Z. Tentukanapakah a. f(x) = x2 + 1 dan b. f(x) = x – 1 merupakanfungsipada ? MatematikaDiskrit

  16. JawabContoh 9: • a. f(x) = x2 + 1 adalah bukanfungsipada, • karenatidaksemuanilaibilanganbulatmerupakanjelajahdarif. • b. f(x) = x – 1 adalah fungsipada • karenauntuksetiapbilanganbulaty, selaluadanilaix yang memenuhi, yaituy = x – 1 akandipenuhiuntukx = y + 1. MatematikaDiskrit

  17. FUNGSI BIJEKTIF • Fungsifdikatakanberkorespondensatu-ke-satuataubijektif(bijection) jikaia: • fungsisatu-ke-satudanjuga • fungsipada. MatematikaDiskrit

  18. Contoh 10: • Relasif = {(1, u), (2, w), (3, v)} dariA = {1, 2, 3} keB = {u, v, w} adalah fungsiyang berkorespondensatu-ke-satu, • karenafadalahfungsisatu-ke-satumaupunfungsipada. MatematikaDiskrit

  19. Contoh 11: f : Z Z. Fungsididefinisikanf(x) = x – 1 apakahf merupakanfungsibijektif ? Jawab : f merupakanfungsibijektif karenafadalahfungsisatu-ke-satumaupunfungsipada. MatematikaDiskrit

  20. FUNGSI INVERS • Jikafadalahfungsiberkorespondensatu-ke-satudariAkeB, makakitadapatmenemukanbalikan (invers) darif. • Balikanfungsidilambangkandenganf –1. MisalkanaadalahanggotahimpunanAdanbadalahanggotahimpunanB, makaf -1(b) = ajikaf(a) = b. MatematikaDiskrit

  21. FUNGSI INVERS • Fungsi yang berkorespondensatu-ke-satuseringdinamakanjugafungsi yang invertible (dapatdibalikkan), karenakitadapatmendefinisikanfungsibalikannya. Sebuahfungsidikatakannot invertible (tidakdapatdibalikkan) jikaiabukanfungsi yang berkorespondensatu-ke-satu, karenafungsibalikannyatidakada. MatematikaDiskrit

  22. Contoh 12: Relasif = {(1, u), (2, w), (3, v)} dariA = {1, 2, 3} keB = {u, v, w} adalah fungsiyang berkorespondensatu-ke-satu. Balikanfungsif adalah f -1= {(u, 1), (w, 2), (v, 3)} Jadi, fadalahfungsiinvertible. MatematikaDiskrit

  23. Contoh 13: Tentukanbalikanfungsif(x) = x+ 1. Jawab : Fungsif(x) = x+1 adalahfungsi yang berkorespondensatu-ke-satu, jadibalikanfungsitersebutada. Misalkanf(x) = y, sehinggay = x+ 1, makax = y– 1. Jadi, balikanfungsibalikannyaadalahf-1(y) = y– 1. MatematikaDiskrit

  24. BeberapaFungsiKhusus 1. FungsiFloordanCeiling Misalkanx adalahbilanganriil, berartixberadadiantaraduabilanganbulat. Fungsifloordari x: x menyatakannilaibilanganbulatterbesar yang lebihkecilatausamadenganx. MatematikaDiskrit

  25. BeberapaFungsiKhusus Fungsiceilingdarix: x menyatakannilaibilanganbulatterkecil yang lebihbesaratausamadenganx. Dpl, fungsifloormembulatkanxkebawah, sedangkanfungsiceilingmembulatkanxkeatas. MatematikaDiskrit

  26. Contoh 16 : Beberapacontohnilaifungsifloordanceiling: 3.5 = 3 3.5 = 4 0.5 = 0 0.5 = 1 4.8 = …. 4.8 = …. – 0.5 = …. – 0.5 = …. –3.5 = …. –3.5 = …. MatematikaDiskrit

  27. Contoh 17 : 132/8 = 17 byte. Padakomputer, data dikodekandalamuntaianbyte, satubyteterdiriatas 8 bit. Jikapanjang data 132 bit, makajumlahbyte yang diperlukanuntukmerepresentasikan data adalah : Bahwa 17  8 = 136 bit, sehinggauntukbyte yang terakhirperluditambahkan 4 bit ekstra agar satubytetetap 8 bit (bit ekstra yang ditambahkanuntukmenggenapi 8 bit disebutpadding bits). MatematikaDiskrit

  28. BeberapaFungsiKhusus 2. Fungsi modulo Misalkanaadalahsembarangbilanganbulatdanmadalahbilanganbulatpositif. a mod mmemberikansisapembagianbilanganbulatbilaadibagidenganm a mod m = rsedemikiansehinggaa = mq + r, dengan 0 r < m. MatematikaDiskrit

  29. Contoh 18 : Beberapacontohfungsi modulo 25 mod 7 = 4 15 mod 4 = 0 3612 mod 10 = … 0 mod 5 = …. –25 mod 7 = …. (sebab –25 = 7  (–4) + 3 ) MatematikaDiskrit

  30. BeberapaFungsiKhusus 3. FungsiFaktorial MatematikaDiskrit

  31. BeberapaFungsiKhusus 4. FungsiEksponensial Untukkasusperpangkatannegatif,  MatematikaDiskrit

  32. BeberapaFungsiKhusus 5. FungsiLogaritmik berbentuk MatematikaDiskrit

  33. FungsiRekursif • Fungsi f dikatakan fungsi rekursif jika definisi fungsinya mengacu pada dirinya sendiri. • Contoh: n! = 1  2  …  (n – 1) n = (n – 1)! n. MatematikaDiskrit

  34. FungsiRekursif Fungsi rekursif disusun oleh dua bagian: (a) Basis • Bagian yang berisi nilai awal yang tidak mengacu pada dirinya sendiri. Bagian ini juga sekaligus menghentikan definisi rekursif. (b) Rekurens • Bagian ini mendefinisikan argumen fungsi dalam terminologi dirinya sendiri. Setiap kali fungsi mengacu pada dirinya sendiri, argumen dari fungsi harus menuju ke nilai awal (basis). MatematikaDiskrit

  35. Contoh 19 Basis : n! = 1 Jikan = 0 Rekurens: n! = n x (n-1)! Jikan > 0 MatematikaDiskrit

  36. AlgoritmaFaktorialdarin Fakt (n) IF n < 1 THEN Fakt 1 ELSE Fakt  n * Fakt (n -1) END IF; Struktur Data & Algoritma - Rekursif

  37. 4 3 2 1 4 3 2 SimulasiKasus 1 : 4!....? 24 * 6 * 2 * 1 Struktur Data & Algoritma - Rekursif

  38. AlgoritmaIteratifnya • Faktorialdarin INPUT n fak 1 FOR j = 1 TO n fak  fak + j NEXT J OUTPUT fak Struktur Data & Algoritma - Rekursif

  39. Contoh 20 : • JumlahnsukupertamabilanganAsli sum (n) IF n < 2 THEN sum 1 ELSE sum  n + sum (n -1) END IF; Struktur Data & Algoritma - Rekursif

  40. AlgoritmaIteratifnya INPUT n s 0 FOR i = 1 TO n s  s + i NEXT i OUTPUT s Struktur Data & Algoritma - Rekursif

  41. AlgoritmaIteratifnya • Denganpwngulangan WHILE-DO INPUT n s 0 i  1 WHILE i≤n DO s  s + i i  i + 1 END WHILE OUTPUT s Struktur Data & Algoritma - Rekursif

  42. Contoh 21 : Contoh lain fungsirekursif MatematikaDiskrit

  43. Contoh 22 : Fungsi Fibonacci : f(6) = ? f(40) = ? Berapa kali pemanggilanfungsirekursifnya ? MatematikaDiskrit

  44. Referensi : • Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and Application to Computer Science5th Edition, Mc Graw-Hill, 2003. • Richard Johsonbaugh, Discrete Mathematics, Prentice-Hall, 2009. • Rinaldi Munir, Matematika DiskritPenerbit Informatika, Bandung. MatematikaDiskrit

More Related