Il ruolo del linguaggio nell’apprendimento della matematica

1. Il ruolo del linguaggio nell’apprendimento della matematica Pier Luigi Ferrari Università del Piemonte Orientale ad Alessandria http://www.mfn.unipmn.it/pferrari

2. Schema • Sistemi semiotici • Lingue • Linguaggio della matematica • Linguaggio e apprendimento • Quale educazione linguistica? • Qualche idea per l’insegnamento

3. Autoriferimenti • Ferrari, P.L.: 2004, Matematica ed Educazione: il ruolo fondamentale dei linguaggi,Sem.Naz. di Ricerca in Didattica della Matematica, sessione XXI, http://www.dm.unito.it/semdidattica/ • Ferrari, P.L.: 2004, Matematica e linguaggio. Quadro teorico e idee per la didattica, Bologna: Pitagora Editrice.

4. Ferrari, P.L.: 2003, 'Costruzione di competenze linguistiche appropriate per la matematica a partire dalla media inferiore', L'insegnamento della matematica e delle scienze integrate, Vol.26A, N.4, 469-496. • Ferrari, P.L. & L.Lunardi: 2005, ‘Inventare notazioni per risolvere problemi’, L'insegnamento della matematica e delle scienze integrate, Vol.28°, N.5, 451-474.

5. Sistemi semiotici • Linguaggio verbale • Scritto, orale • Notazioni simboliche • Aritmetica, algebra • Rappresentazioni figurali • Figure geometriche, grafici, immagini

6. Da un libro di testo L'intersezione dei due insiemi A e B, e si scrive AB, è l'insieme {x | xA e xB}. L'intersezione di A e B è così l'insieme degli elementi che appartengono sia ad A che a B. Vediamo quali sono le intersezioni degli insiemi visti sopra per illustrare l'unione. Per un qualunque insieme A, è AA=A, e anzi se B è un sottoinsieme di A, è AB=B.

7. La distanza di un punto generico (x,y) dall'origine (0,0) è data da: La condizione che la distanza sia uguale a 1 (cioè il raggio) è data da:

8. Lingua • Sistema semiotico umano, storicamente determinato • Creatività • possibilità di creare insiemi infiniti di segni • Doppia articolazione • Frasi  morfemi  fonemi • Riflessività discorsiva • Testi che analizzano altre rappresentazioni

9. Comprensione dei testi • Teorie del codice • L’interpretazione dei testi avviene per mezzo della grammatica e del dizionario. • Teorie dell’inferenza • L’interpretazione dei testi richiede attività creativa del soggetto, quindi anche un’enciclopedia.

10. Matematica e rappresentazioni • Non esistono accessi alle idee matematiche se non attraverso rappresentazioni. • Sono necessarie rappresentazioni non iconiche • Ad esempio: • Insiemi infiniti • Retta

11. Stat rosa pristina nomine,nomina nuda tenemus

12. Rappresentazioni multiple • Problema cognitivo: distinguere un concetto matematico dalle sue rappresentazioni • Esigenza di disporre di almeno due rappresentazioni distinte dello stesso concetto: • Conversioni da un sistema all’altro • Coordinamento di più rappresentazioni

13. Esempi • Numeri • Dita della mano • Costellazioni • Insiemi di oggetti • Scrittura in base dieci • Regoli • Abaco • Linea dei numeri • …

14. Esempi • Funzioni • Descrizione verbale • Equazione y = f(x) • Grafico • Tavola valori

15. Punti di vista su apprendimento e linguaggi

16. Ipotesi denotazionale • I concetti si costruiscono indipendentemente e i sistemi di segni servono solo per rappresentarli. • Piagetiani ortodossi, cognitivisti, Lakoff & Nuñez, …

17. Ipotesi strumentale • La costruzione dei concettirichiede la disponibilità di sistemi di segni. • Vygotskij, Bruner, Duval, Sfard, approcci discorsivi, socioculturali, … • Il pensiero è una forma di comunicazione (A.Sfard) • Apprendimento matematico come partecipazione a un discorso • Non c’è noesis senza semiosis(R.Duval)

18. Per l’ipotesi denotazionale la povertà linguistica è un grave ostacolo alla comunicazione dei concetti in corso di apprendimento ma non al loro sviluppo. • Per l’ipotesi strumentale la povertà linguistica è un grave ostacolo allo sviluppo del pensiero: Povertà di linguaggio  povertà di pensiero

19. Funzioni cognitive

20. Reificazione • Fissare pensieri, processi, ipotesi, relazioni in oggetti che possono essere studiati e trasformati. • Testi scritti • Espressioni simboliche • Rappresentazioni figurali

21. Trattamento • Testi scritti • parafrasi, riassunto, … • Espressioni simboliche • Prodotti notevoli, sostituzioni, derivate, … • Rappresentazioni figurali • Trasformazioni geometriche, operazioni su grafici, …

22. Esempi • Esecuzione di algoritmi • Operazioni in colonna • Equazioni • Costruzioni con riga e compasso • Trasformazioni geometriche • Operazioni sui grafici delle funzioni reali

23. Algoritmi di calcolo in colonna 2643 554= 10572# 13215## 13215### 1464222# Quanto vale il prodotto di MMDCXLIII per DLIV? Calcoli

24. Trouame 1.n° che gioto al suo qdrat° facia.12 (Luca Pacioli, 1445 - 1514) Qdratu aeqtur 4 rebus p:32 (Girolamo Cardano, 1501 - 1576) x+x2 = 12 x2 = 4x+32 Notazione algebrica

25. Riflessività discorsiva • Con le lingue si esprimono giudizi su rappresentazioni di ogni tipo. • Lingua come guida del pensiero

26. Caratteristiche del linguaggio matematico • Scarsa dipendenza dal contesto • Significato come prodotto • Testi pianificati e gerarchizzati • Esplicitazione nessi con la sintassi • Distanza, mancanza di feedback Testi scritti, espressioni simboliche, rappresentazioni visuali

27. Caratteristiche del linguaggio colloquiale Testi orali, testi informali, schizzi • Forte dipendenza dal contesto • Significato come processo • Testi poco pianificati • Ruolo minore della sintassi • Interazioni, feedback, negoziazione significati

28. " Il nostro edificio si compone di 3 rettangoli 2 dei quali posti verticalmente e uno orizzontalmente che li unisce nella parte superiore.

29. Testi orali e testi scritti(Duval, 2000) • Accessibilità • Memoria a breve • Autonomia del ricevente • Il lettore ha più ‘potere’ dell’ascoltatore • Interpretazione globale • Attività metalinguistica • La riflessione sull’adeguatezza di un testo è più agevole se questo è in forma scritta. • Testi matematici 

30. Testi orali, testi scritti provvisori, testi scritti stabili • I testi scritti provvisori hanno caratteristiche intermedie • Funzioni linguistiche profondamente diverse • Organizzazioni testuali profondamente diverse • Funzioni cognitive profondamente diverse • Appartenenza riconoscibile a una stessa lingua 

31. Modi espressivi tipici della forma orale o delle scritture informali possono essere più adatti per trattare idee provvisorie o in formazione. 

32. Il punto di vista della pragmatica • Testi per rappresentare e descrivere ma anche per raggiungere scopi • Registri linguistici come varietà d’uso dei linguaggi in relazione a contesto e scopi • Registri: • orali – scritti • colloquiali – evoluti • Usi linguistici in matematica come registri • Non come insiemi di convenzioni

33. La mia tesi fondamentale è: I registri matematici sono casi estremi di registri evoluti. Le caratteristiche linguistiche che distinguono i registri evoluti da quelli colloquiali sono presenti in forma massiccia ed estrema nei registri matematici.

34. In classe • Durante le attività di matematica devono essere realizzate funzioni di: • Comunicazione • Relazione interpersonale • Organizzazione delle conoscenze • Esecuzione di algoritmi • In altre parole devono essere usati sia modalità tipiche dei registri colloquiali sia modalità tipiche dei registri matematici.

35. Un esempio Chiamare la figura di sinistra ‘rettangolo’ corrisponde a scopi di organizzazione della conoscenza. Ma scopi di comunicazione interpersonale sono meglio realizzati da ‘quadrato’

36. Un altro esempio Le trasformazioni non corrispondono a finalità comunicative riconoscibili ma soprattutto a esigenze computazionali.

37. Tuttoquestorichiede: • Capacità di gestire il rapporto fra testo, contesto e scopi • Capacità di usare i registri evoluti • Flessibilità per passare da un registro all’altro in funzione degli scopi

38. La notazione simbolica dell’algebra

39. Il simbolismo algebrico - 1 • Regole di trasformazione che non dipendono dai significati • Regole decidibili (è automatico stabilire se sono applicabili o no) • Proprietà testuali diverse dai linguaggi verbali

40. Il simbolismo algebrico - 2 2 tipi di espressioni • Termini: corrispondono ai nomi • 2 • x • 2+x • Formule: corrispondono alle frasi • 2+x =1 • 2=3-1 • 2 >3

41. Senso e riferimento -1 • Le espressioni • 5 • 6-1 • 15:3 • min{7, 6, 5} • 10log5 • 1+1+1+1+1 • 4.999999… rappresentano lo stesso numero (hanno lo stesso riferimento) ma hanno sensi diversi.

42. Senso e riferimento -2 Le proprietà matematiche hanno prevalentemente a che fare con i riferimenti. P(5) se e solo se P(1+1+1+1+1)

43. Problema In una città si è calcolato che in media ogni tre gatti (G) ci sono quattro cani (C). Quali fra le seguenti formule rappresentano tale relazione?

44. Risposta frequente: 3G = 4C ogni tre gatti ci sono quattro cani

45. Congruenza semantica “sette è maggiore di cinque”, 7>5 sono congruenti fra loro “cinque è minore di sette”, 7<5 sono congruenti fra loro Le espressioni del primo gruppo sono logicamente equivalenti ma non congruenti a quelle del secondo gruppo.

46. Se C rappresenta il numero dei cani e G quello dei gatti “Ogni tre gatti ci sono quattro cani” 3 G = 4 C non è equivalente alla frase data. 4 G = 3 C non è congruente ma è equivalente alla frase data.

47. Notazioni simboliche: sintassi rigida ‘=’ è un predicato a due argomenti Per affermare che i numeri x, y, z sono uguali fra loro servono tre equazioni x=y, y=z, x=z Linguaggio verbale: sintassi rilassata Numero di argomenti variabile “Gli uomini sono tutti uguali” Sintassi

48. Organizzazione dei testi Nei registri quotidiani l’organizzazione del testo è finalizzata a scopi comunicativi. Nella notazione algebrica è condizionata dalla sintassi e dall’esecuzione di algoritmi.

49. È ieri che Carlo è andato a giocare a tennis con Mara al circolo. • È Carlo che è andato ieri a giocare a tennis con Mara al circolo. • È a tennis che Carlo ha giocato ieri con Mara al circolo. • È Mara la persona con cui Carlo ha giocato a tennis ieri al circolo. • È al circolo che Carlo è andato ieri a giocare a tennis con Mara.

50. In 5<7 il tema è ‘5’. In 7>5 il tema è ‘7’. Le due formule sono matematicamente equivalenti. La scelta fra le due spesso dipende da esigenze non comunicative ma tecniche, in relazione al formato dei dati disponibili.