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Tema 5 * 3º ESO

Tema 5 * 3º ESO. Ecuaciones. Tema 5.4 * 3º ESO. Ecuaciones CUADRÁTICAS. ECUACIÓN DE 2º GRADO. ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

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Tema 5 * 3º ESO

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  1. Tema 5 * 3º ESO Ecuaciones Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  2. Tema 5.4 * 3º ESO Ecuaciones CUADRÁTICAS Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  3. ECUACIÓN DE 2º GRADO • ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO • También llamada ecuación cuadrática. Es aquella que, tras pasar todo el segundo miembro de una igualdad al primero, el polinomio característico es de grado 2. • Tiene la forma a.x2 + b.x + c = 0 • Donde a, b y c son números; y siempre a<>0 • Pueden darse varios casos: • CASO 1.- a = 0 NO SERÍA ECUACIÓN CUADRÁTICA. • CASO 2.- b = 0 y c = 0 Solución única: x = 0 • CASO 3.- b = 0 a.x2 + c = 0 INCOMPLETA • CASO 4.- c = 0 a.x2 + b.x = 0 INCOMPLETA • CASO 5.- b<>0, c<>0 a.x2 + b.x + c = 0 COMPLETA Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  4. Soluciones de una ecuación • SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO • Las soluciones de una ecuación de segundo grado son los valores de x que al ser sustituidos verifican la ecuación. • EJEMPLOS DE SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN • Sea x2 - 3.x + 2 = 0 • Si x = 1 • 12 - 3.1 + 2 = 0  1 – 3 + 2 = 0  0 = 0 • x = 1 es una solución. • Si x = 2 • 22 - 3.2 + 2 = 0  4 – 6 + 2 = 0  0 = 0 • x = 2 es otra solución. Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  5. Equivalencia de ecuaciones • EQUIVALENCIA DE ECUACIONES • Dos ecuaciones de segundo grado son equivalentes si tienen exactamente las mismas soluciones. • EJEMPLOS DE ECUACIÓN EQUIVALENTE • Sea x2 - 3.x + 2 = 0 • x = 1 y x = 2 son las dos soluciones de la ecuación. • 3.x2 - 9.x + 6 = 0 Es equivalente a la primera. • 2.x2 - 6.x + 4 = 0 Es equivalente a la primera. • - 5.x2 + 15.x – 10 = 0 Es equivalente a la primera. • Y así miles de ellas. ¿Cómo se hacen ecuaciones equivalentes? • Antes de resolver una ecuación hay que simplificarla, transformarla en una ecuación equivalente. En general dividiendo todo entre el valor de a. Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  6. ECUACIONES OBVIAS • CASO 1 • Tiene la forma b.x + c = 0 • a = 0  NO son ecuaciones cuadráticas, son lineales. • Ejemplos • 4.x + 5 = 0  a = 0, b = 4, c = 5  E. LINEAL • – 3.x + 1 = 0  a = 0, b = – 3 , c = 1  E. LINEAL • CASO 2 • Tiene la forma a.x2 = 0 • Resolución: x2 = 0/a  x2 = 0  x = +/- √0 = 0  x = 0 • Ejemplos • 4.x2 = 0 Resolución: x2 = 0/4  x2 = 0  x = +/- √0 = 0  x = 0 • – 5.x2 = 0 Resolución: x2 = 0/(– 5)  x2 = 0  x = +/- √0 = 0  x = 0 Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  7. ECUACIÓN INCOMPLETA • CASO 3 • Tiene la forma a.x2 + c = 0 • Resolución: • Paso 1.- a.x2 = - c • Paso 2.- x2 = - c / a • Paso 3.- x = +/- √ (- c / a) • Dándonos las dos raíces si existen. • EJEMPLO 1 • Sea x2 - 4 = 0 • Resolución: x2 = 4  x = +/- √ 4  x= +/- 2 • x1 = + 2 • x2 = - 2 Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  8. EJEMPLO 2 • Sea 2.x2 - 18 = 0 • Resolución: Simplificamos: x2 – 9 = 0  x2 = 9  x = +/- √ 9 • Dándonos las dos raíces: x1 = + 3 , x2 = - 3 • EJEMPLO 3 • Sea 9.x2 - 16 = 0 • Resolución: 9.x2 = 16  x2 = 16 / 9  x = +/- √ (16 / 9) • Dándonos las dos raíces: x1 = + 4/3 , x2 = - 4/3 • EJEMPLO 4 • Sea 5.x2 - 10 = 0 • Resolución: Simplificamos: x2 – 2 = 0  x2 = 2  x = +/- √2 • Dándonos las dos raíces: x1 = + √2 , x2 = - √2 • Nota: Aunque se puede emplear la fórmula ya conocida, para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas no es muy aconsejable. Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  9. ECUACIÓN INCOMPLETA • CASO 4 • Tiene la forma a.x2 + b.x = 0 • Resolución: Clave: Sacar factor común a x. • Paso 1.- x . (a.x + b ) = 0 • Paso 2.- x = 0 es un raíz • Paso 3.- a.x + b = 0 • de donde x = - b / a es otra raíz • EJEMPLO 1 • Sea 2.x2 + 8.x = 0 • Resolución: 2.x . (x + 4 ) = 0  x = 0 es una raíz • x + 4 = 0  x = - 4 es la otra raíz • x1 = 0 ,, x2 = - 4 Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  10. EJEMPLO 2 • Sea x2 + x = 0 • x . (x + 1 ) = 0  x = 0 es una raíz • x + 1 = 0  x = - 1 es otra raíz • x1 = 0 • x2 = - 1 • EJEMPLO 3 • Sea 4.x2 -- 3.x = 0 • x . (4.x – 3) = 0  x = 0 es una raíz • 4.x – 3 = 0  4.x = 3  x = 3 / 4 es otra raíz • x1 = 0 • x2 = 3 / 4 = 0,75 • EJEMPLO 4 • Sea 3.x2 - 8.x = 0 • x . (3.x - 8 ) = 0  x = 0 es una raíz • 3.x - 8 = 0  3.x = 8  x = 8 / 3 es la otra raíz • x1 = 0 • x2 = 8 / 3 Apuntes de Matemáticas 3º ESO

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