1. Gödels stelling

2. Gödel bepaalt het formele systeem PM zijn de Principia Mathematica. Deze vormen een formeel systeem voor de wiskunde. Ze zijn beschreven door A.N. Whitehead and B. Russell.

3. Gödel benoemt R R is een formule in PM.

4. Gödel benoemt R Rn is de n-de formule Rin PM. ( n behoort tot de natuurlijke getallen: n )

5. Gödel benoemt R Rn(n) is de n-de formule R met variabele n in PM. ( n behoort tot de natuurlijke getallen: n )

6. Gödel benoemt R Gödel noemt Rn(n) een klasseteken.

7. Gödel definieert K K isde verzameling van natuurlijke getallen n ... K= { n}

8. Gödel definieert K K isde verzameling van natuurlijke getallen n, waar ... K= { n|}

9. Gödel definieert K K is de verzameling van natuurlijke getallen n, waar de formule Rn(n) ... K= { n| Rn(n)}

10. Gödel definieert K K is de verzameling van natuurlijke getallen n, waar de formule Rn(n) niet ... K= { n| (Rn(n))}

11. Gödel definieert K K is de verzameling van natuurlijke getallen n, waar de formule Rn(n) niet bewijsbaar is ... K= { n| Bewijsbaar(Rn(n))}

12. Gödel definieert K Volledig: K is de verzameling van natuurlijke getallen n, waar de formule Rn(n) niet bewijsbaar is in het systeem PM. K= { n| Bewijsbaar(Rn(n))} (1)

13. Gödel benoemt S Er is een klasseteken S.

14. Gödel benoemt S De formule S(n) stelt dat een natuurlijk getal n behoort tot K. S(n) nK En meer specifiek voor een natuurlijk getal q: S(q) qK

15. Gödel benoemt S en Rq Als klasseteken is S identiek met een specifieke Rqvoor een bepaald natuurlijk getal q, in formule: SRq

16. Gödel benoemt S en Rq En S(q) is identiek met Rq (q), in formule: S(q)Rq (q)

17. Gödels stelling De propositie Rq(q) is onbeslisbaar in PM. (Een propositie is een bewering)

18. Uitwerking van Gödels stelling Stel dat de propositie Rq(q) bewijsbaar is, dan zou hij ook waar zijn; maar dat betekent dat q tot K behoort, en dus Bewijsbaar(Rq(q)) waar zou zijn, in tegenstelling tot onze beginaanname. In formule: Bewijsbaar(Rq(q)) Rq(q) S(q) qKBewijsbaar(Rq(q))

19. Uitwerking van Gödels stelling Als echter de ontkenning van Rq(q) bewijsbaar zou zijn, dan zou qniet behoren tot K, dat wil zeggen Bewijsbaar(Rq(q)) waar zijn. In formule: Bewijsbaar(Rq(q)) (Rq(q)) (S(q)) qK Bewijsbaar(Rq(q))

20. Uitwerking van Gödels stelling Rq(q) zou dan dus bewijsbaar zijn tegelijkertijd met zijn ontkenning, wat onmogelijk is.

21. Reflexie over Gödels stelling De analogie van dit resultaat en Richard's paradox is opvallend; er is ook een nauwe verwantschap met de paradox van de leugenaar, aangezien de onbeslisbare propositie Rq(q) precies stelt dat q tot K behoort, ofwel overeenkomstig (1), dat Rq(q) niet bewijsbaar is.

22. Reflexie over Gödels stelling We hebben dus een theorie, die zijn eigen onbewijsbaarheid stelt. De bewijsmethode, die we zojuist toepasten is klaarblijkelijk toepasbaar voor elk formeel systeem dat enerzijds voldoende expressief is om de definiëring van de bovengenoemde concepten toe te staan (in het bijzonder het concept "bewijsbare formule") en waarin aan de andere kant alle bewijsbare formules ook waar zijn.

23. Reflexie over Gödels stelling Vanuit de opmerking dat Rq(q) zijn eigen onbewijsbaarheid stelt volgt onmiddellijk dat Rq(q) correct is, aangezien Rq(q) in feite onbewijsbaar is (omdat hij onbeslisbaar is). De stelling die onbeslisbaar is in het systeemPM wordt dus beslist door metawiskundige overwegingen. De exacte analyse van dit vreemde feit leidt tot het verrassende resultaat over consistentiebewijzen voor formele systemen.