Dag van de Wiskunde 22 nov. 2008

1. Ww 11Riemannsommen Bernard Folens bernard.folens@sialme.be Dag van de Wiskunde 22 nov. 2008

2. Agenda • Aanleiding en situering van het onderwerp in het leerplan • Achtergrond en methode om Riemann-sommen te berekenen met TI rekentoestellen. • Bespreking en ervaringen met de BZL. • Nut van het onderwerp • Beperkingen

3. Aanleiding en situeringAV Wiskunde leerplan C - 3de graad ASO - D/2004/0279/021 • Verplichte leerinhoudelijke doelstellingen ca. 105 • Functieleer (5.2.1) 83 • Grafisch onderzoek 8 • Veeltermfuncties • Inleiding 5 • Afgeleiden 25 • Integralen 15 • Exponentiële en logaritmische functies 15 • Goniometrische functies 15 • Statistiek (5.2.2)20 • Keuzeonderwerpen ca. 45 • Matrices en stelsels (5.3.1) 15 • Financiële algebra (5.3.2) 25 • Ruimtemeetkunde (5.3.3) 15 • Lineaire regressie en correlatie (5.3.4) 15 • Betrouwbaarheidsintervallen (5.3.5) 10 • Toetsen van hypothesen (5.3.6) 7 • Telproblemen (5.3.7) 10 • Kansrekening (5.3.8) 15 • Mathematiseren en oplossen van problemen (5.3.9) 15 • De leraar werkt een eigen keuzeonderwerp uit max. 15

4. Achtergrond en Methode: definities (1) Een Riemann-som van f voor n ( N0) verdelingen van het interval [a, b] is het getal: met xi [a + (i-1)x; a + ix] en x1 x3 x2

5. Achtergrond en Methode: definities (2) Een Riemann-ondersom (sn ) van f voor n verdelingen van het interval [a, b] is het getal: met xi [a + (i-1)x; a + ix] en x [a + (i-1)x; a + ix] : f(xi) f(x) en 1  i  n

6. Achtergrond en Methode: definities (3) Een Riemann-bovensom (Sn ) van f voor n verdelingen van het interval [a, b] is het getal: met xi [a + (i-1)x; a + ix] en x [a + (i-1)x; a + ix] : f(xi) f(x) en 1  i  n

7. Achtergrond en Methode: Eigenschappen Met deze definities gelden voor een functie f en n verdelingen van het interval [a, b] de volgende eigenschappen: •  n  N0: sn sn  Sn • s = {sn : n  N0} is een stijgende rij • S = {Sn : n  N0} is een dalende rij • een willekeurig bovensom Sn (n  N0) is een bovengrens voor de rij van ondersommen s • Gevolg: de rij s heeft een supremum. • een willekeurig ondersom sn (n  N0) is een ondergrens voor de rij van bovensommen S • Gevolg: de rij S heeft een infimum. • sup(s) = inf(S) =

8. Illustratie: over [1; 4]sup(s) = = inf(S) =

9. Riemann-sommen met GRM (1) Als fstijgend is in [a, b] dan is {x1 , x2 , …, xn}een rekenkundige rij met verschil xi = xi-1 + x

10. Riemann-sommen met GRM (2) Voor een functie die dalend is in [a,b] geldt eveneens xi = xi-1 + x maar de begintermen zijn

11. Riemann-sommen met GRM • Het voorschrift van de functie moet altijd eerst geprogrammeerd worden in de functie mode. • wordt gestockeerd in geheugen D • De rij met x-waarden {x1 , x2 , …, xp}, waarvoor geldt xn= xn-1 + x , wordt gedefinieerd in u • de algemene term: u(n) = u(n-1) + D • u(nMin) = a of a+ D/2 (TS) of a+D • De rij v bevat f(xn). x (georiënteerde oppervlakte boven/onder het n-de interval PLUS de som van alle georiënteerde oppervlakten boven/onder de voorgaande intervallen. • de algemene term: v(n) = v(n-1) + D.Y1(u) • v(nMin)= D. Y1(a) of D. Y1(a +D) (TS) of D. Y1(a +D) • Probeer enkele Riemann-sommen van het voorbeeld van hiervoor te berekenen (dalend) over [1,4]

12. Tijdschema en BZL Riemannsommen • Tijdschema: Een 8-tal lessen • Les 1: Blz 1 – 4 • Les 2: Blz 5 - 7 (tot voor opdracht 4) • Les 3: Blz 7 – 10 (tot voor punt 2.4) • Les 4: Blz 10 – 13 (voor 3.3) • Les 5: Blz 13 - 14 • Les 6: Blz 15 – 17 (evt. rest als huiswerk) • Les 7: Samenvatting • Les 8: Klassikaal uitgewerkt voorbeeld • Iedere les beginnen met een herhaling • Examenvragen: vervolledigen van een tabel – uitleggen wat berekend wordt met de rijen – eigenschappen in de tabel aantonen • In studierichtingen met minder uren wiskunde moeten de eigenschappen visueel getoond worden.

13. Eigenschappen van Riemann-sommen (1) In wat volgt wordt veronderstelt dat [a, b] een interval is waar wij een functie met voorschrift y = f(x) beschouwen. Verder wordt het interval [a, b] in n( N0 ) gelijke deelintervallen verdeeld met lengte Riemann-sommen Eig.1:sn sn Sn want f(x1)  f(x1)  f(X1) ... f(xi)  f(xi)  f(Xi) ... f(xn)  f(xn)  f(Xn)

14. Eigenschappen van Riemann-sommen (2) De rij van de ondersommen met steeds meer verdelingen s = {s1 ,s2, ..., sn, ...} is een stijgende rij Concreet: s75  s110 s250  s800

15. Eigenschappen van Riemann-sommen (3) De rij van de bovensommen met steeds meer verdelingen S = {S1 ,S2, ..., Sn , ...} is een dalende rij Concreet: S75  S110 S250  S800

16. Eigenschappen van Riemann-sommen (3) • een willekeurig bovensom Sp is een bovengrens voor de stijgende rij van ondersommen s = {s1 ,s2, ..., sn , ...} Want Voor OS met minder verdelingen geldt (vb. s75en S120 ) : s75  s120  s120  S120 (OS stijgen bij meer verdelingen) Voor OS met meer verdelingen geldt (vb. s750 en S120 ) : s750  s750  S750  S120 (BS dalen bij meer verdelingen) • een willekeurig ondersom sp is een ondergrens voor de dalende rij van bovensommen S = {S1 ,S2, ..., Sn , ...} (Opgave: aantonen voor s300en S120en s300en S500)

17. Bepaalde integraal D.w.z. dat iedere bovensom een plafond is voor de stijgende rij van OS en dat iedere ondersom een bodem is voor de dalende rij van BS. De rij van ondersommen en de rij van bovensommen monden uit in hetzelfde getal dat wij de bepaalde integraal noemen van de functie f over [a, b] Notatie: Syntax GRM: fnInt(f(x), x, a, b) Rij van BS Eén getal = Bepaalde Integraal daalt stijgt Rij van OS

18. Nut van het onderwerp • Inleiding tot het begrip ‘Bepaalde Integraal’ • Praktisch werk met functies • Wiskundige notaties en gebruik van indices • Oordeelkundig gebruik van het rekentoestel • Geen computerklas nodig • Begrijpend lezen. De leerlingen ontdekken het zelf en moeten voortdurend nadenken en logische stappen zetten.

19. Beperkingen • Bij groot aantal verdelingen: vrij lange rekentijd. Oppassen voor examenvragen. • Liefst geen O.S. en B.S. over intervallen waar de functie én stijgend én dalend is. In dit geval enkel T.S. gebruiken.