Angles et distances dans R 2

1. Angles et distances dans R2 Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon

2. Introduction Dans cette présentation, nous verrons comment utiliser les vecteurs et le produit scalaire pour déterminer : • l’angle entre deux droites, • la distance d’un point à une droite, • le point d’une droite le plus rapproché d’un point hors de la droite.

3. Angle entre deux droites dans R2 S S S S S Pour calculer l’angle entre deux droites dans R2, on doit déterminer des vecteurs, normaux ou directeurs, à partir des équations et calculer l’angle entre ceux-ci. Rappelons que l’angle entre deux droites est toujours le plus petit des deux. Il est donc compris entre 0° et 90° alors que l’angle entre deux vecteurs est compris entre 0° et 180°. On peut rencontrer différents cas. Vecteurs directeurs faisant un angle obtus Vecteurs normaux faisant un angle obtus Vecteurs normaux faisant un angle aigu Vecteurs directeurs faisant un angle aigu Un vecteur directeur et un vecteur normal faisant un angle aigu Un vecteur directeur et un vecteur normal faisant un angle obtus L’angle entre les droites est le complémentaire de l’angle aigu entre les vecteurs. On a donc a = 90° – q. L’angle entre les droites est a = q – 90°. L’angle entre les vecteurs est l’angle supplémentaire de celui entre les droites. On a donc a = 180° – q. Dans ces deux cas, l’angle entre les vecteurs est l’angle entre les droites. On a donc a = q. Soit q , l’angle entre les vecteurs (normaux ou directeurs), l’angle a entre les droites est donné par : Dans les deux cas, l’angle entre les droites est le complémentaire de l’angle aigu obtenu en prenant la valeur absolue avant de calculer l’arccosinus. On prend ensuite a = 90° – q. Pour obtenir directement l’angle a (entre 0° et 90°), on prend la valeur absolue avant de calculer l’arccosinus. a = q, si 0° ≤ q ≤ 90° a = 180° – q, si 90° ≤ q ≤ 180°

4. Exemple 10.3.1 N1 N1 N1 13 25 13 25 N2 N2 N2 13 25 S Trouver l’angle entre les droites d’équation : ∆1 : 2x + 3y – 5 = 0 ∆2 : 3x – 4y + 8 = 0 Représenter graphiquement ces droites et les vecteurs normaux. Les équations cartésiennes permettent de déterminer les vecteurs normaux : = (3; –4) = (2; 3) et • –6 6 – 12 cos q = = = On a alors : –6 D’où q = arccos ≈ 109,4° L’angle entre les droites est donc a = 180 – q ≈ 70,6°.

5. Angle entre deux droites dans R2 Procédure pour trouver l’angle entre deux droites dans R2 1. Déterminer des vecteurs, directeurs ou normaux aux droites. 2. Déterminer l’angle entre ces vecteurs. 3. Déterminer l’angle entre les droites à partir de l’angle entre les vecteurs. Si les vecteurs sont tous les deux normaux ou tous les deux directeurs : • a = q, si 0° ≤ q ≤ 90° • a = 180° – q, si 90° ≤ q ≤ 180° Si l’un des vecteurs est normal à une des droites et l’autre est un vecteur directeur de la seconde droite : • a = 90° – q, si 0° ≤ q ≤ 90° • a = q – 90°, si 90° ≤ q ≤ 180°

6. Exercice D1 D1 D1 13 29 13 29 D2 D2 D2 13 29 S Trouver l’angle entre les droites d’équation : x = 4 + 3t y = 4 – 2t x = –1 + 5s y = 3 + 2s ∆1 : et ∆2 : Représenter graphiquement ces droites et les vecteurs utilisés. Les équations paramétriques permettent de déterminer les vecteurs directeurs : = (3; –2) et = (5; 2) • 15 – 4 11 cos q = = = On a alors : 11 D’où q = arccos ≈ 55,5° L’angle entre les droites est donc a = q ≈ 55,5°.

7. Exercice N1 N1 N1 10 8 10 8 D2 D2 D2 10 8 S Trouver l’angle entre les droites d’équation : x = 2 + 2t y = 6 + 2t ∆1 : x + 3y – 15 = 0 et ∆2 : Représenter graphiquement ces droites et les vecteurs utilisés. Les équations permettent de déterminer les vecteurs : = (2; 2) = (1; 3) et • 2 + 6 8 cos q = = = On a alors : 8 D’où q = arccos ≈ 26,6° L’angle entre les droites est le complémentaire de celui entre les vecteurs, on a donc a = 90° – q ≈ 63,4°.

8. Distances dans R2 On détermine un point P sur la droite ainsi que le vecteur PQ. La distance cherchée est alors la longueur de la projection du vecteur PQ sur le vecteur normal N. Distance d’un point Q à une droite dont on connaît un vecteur normal. Remarque Dans la résolution des problèmes, il n’est pas indispensable de faire une représentation graphique aussi détaillée.

9. Distances dans R2 Procédure pour trouver la distance d’un point Q à une droite ∆ dans R2 1. Déterminer un vecteur normal à la droite. 2. Déterminer un point P de la droite. 3. Construire le vecteur allant du point P sur la droite au point Q dont on cherche la distance à la droite. 4. Utiliser le produit scalaire pour trouver la projection de ce vecteur sur le vecteur normal. La longueur de cette projection est la distance cherchée.

10. Exemple 10.3.2 PQ = OQ – OP N N N PQ PQN 29 4 + 25 S Trouver la distance du point Q(4; 7) à la droite d’équation : ∆ : 2x – 5y + 7 = 0 À partir de l’équation cartésienne, on obtient le vecteur normal : = (2; –5) En posant x = 9 dans l’équation, on trouve 18 – 5y + 7 = 0, d’où y = 5. Le point P(9; 5) est donc un point de la droite. On a alors : = (4; 7) – (9; 5) = (–5; 2). La distance est la longueur de la projection de ce vecteur sur le vecteur normal à la droite. Cela donne : –10 – 10 • 20 ≈ 3,71 = = d(Q, ∆) = = La distance est donc d’environ 3,71 unités.

11. Exercice PQ = OQ – OP N N N PQ PQN 25 S Trouver la distance du point Q(5; –4) à la droite d’équation : ∆ : 3x + 4y – 28 = 0 À partir de l’équation cartésienne, on obtient le vecteur normal : = (3; 4) En posant x = 0 dans l’équation, on trouve 4y – 28 = 0, d’où y = 7 Le point P(0; 7) est donc un point de la droite. On a alors : = (5; –4) – (0; 7) = (5; –11). La distance est la longueur de la projection de ce vecteur sur le vecteur normal à la droite. Cela donne : 15 – 44 • 29 5 d(Q, ∆) = = = = = 5,8 La distance est donc de 5,8 unités.

12. Distances dans R2 On détermine un point P sur une des droites et un point Q sur l’autre. On détermine alors le vecteur PQ. La distance cherchée est la longueur de la projection du vecteur PQ sur le vecteur N normal aux deux droites. Distance entre deux droites parallèles dont on connaît un vecteur normal.

13. Exemple 10.3.3 Les droites sont parallèles et ont comme vecteur directeur = (2; –3). Le vecteur = (3; 2) est normal aux droites, puisque : • = 6 – 6 = 0. PR = OR – OP D D N N N N PR PRN 13 9 + 4 S Trouver la distance entre les droites : x = 7 + 2t y = –3 – 3t x – 8 2 y – 3 –3 ∆1 : = et ∆2 : et le point R(7; –3) est sur la droite ∆2. Le point P(8; 3) est sur la droite ∆1 On a alors : = (7; –3) – (8; 3) = (–1; –6). La distance est la longueur de la projection de ce vecteur sur le vecteur normal aux droites. Cela donne : –3 – 12 • 15 d(∆1, ∆2) = = = ≈ 4,16 = La distance est donc d’environ 4,16 unités.

14. Exercice Les droites sont parallèles et ont comme vecteur normal = (2; 3). PR = OR – OP N N N PR PRN 13 4 + 9 S Trouver la distance entre les droites : ∆1 : 2x + 3y + 18 = 0 et ∆2 : 2x + 3y – 15 = 0 Le point P(0; –6) est sur la droite ∆1 et le point R(0; 5) est sur la droite ∆2. On a alors : = (0; 5) – (0; –6) = (0; 11). La distance est la longueur de la projection de ce vecteur sur le vecteur normal aux droites. Cela donne : 0 + 33 • 33 d(∆1, ∆2) = = = ≈ 9,15 = La distance est donc d’environ 9,15 unités.

15. Le point le plus près dans R2 Nous savons trouver la distance d’un point Q à une droite, mais comment déterminer le point de la droite qui est le plus proche de Q? Le point R d’une droite ∆ le plus proche d’un point Q hors de celle-ci est le pied de la perpendiculaire abaissée du point Q sur la droite ∆. On peut développer diverses stratégies pour trouver les coordonnées de ce point. Nous verrons d’abord comment utiliser les opérations d’addition vectorielle et de produit scalaire pour déterminer le point le plus près, puis nous verrons comment procéder en déterminant l’intersection de lieux géométriques.

16. Puisque les vecteurs sont orthogonaux, on a = 0, et : 2 b = Exemple 10.3.4 La direction de RQ est alors la même que celle du vecteur normal à la droite, N = (1; –2). On a donc RQ = b N. PR + RQ = PQ N PR N • N • (PR + b N ) = N • PQ N • PR + b( N • N ) = N • PQ S S S S PR + b N = PQ N • PQ = OQ – RQ OR = OQ – bN OR = OQ + QR = OQ – (–2 N) Trouver le point de la droite ∆ : x – 2y + 4 = 0 le plus proche du point Q(4; 9). On cherche le pied R de la perpendiculaire abaissée du point Q sur la droite ∆. Sachant que b = –2, on peut déterminer le vecteur position du point R, puisque : Remarque En déterminant la valeur de b, il nous sera possible de connaître le vecteur position du point R. Pour déterminer cette valeur, il faut d’abord trouver un point P de la droite. En posant x = 2 dans l’équation de ∆, on obtient y = 3. Par conséquent, P(2; 3) est un point de ∆. La multiplication scalaire des deux membres de cette équation vectorielle par le vecteur normal donne : Notre démarche a consisté à déterminer que, pour parvenir au point R à partir du point Q, il fallait se déplacer dans la même direction et le même sens que le vecteur normal et parcourir une distance qui est le double de la longueur du vecteur normal. Cela donne : Par l’addition vectorielle, on a : = (4; 9) + 2 (1; –2) = (6; 5) On remarque également que la distance qu’il faut parcourir pour aller de Q à R est la distance du point Q à la droite ∆. Le point le plus rapproché est donc R(6; 5). Ce qui donne : 5b = (1; –2) • (2; 6) = 2 – 12 = –10 et b = – 2.

17. Exemple 10.3.5 (4; 2) = (5; 6) = (–1; 3) + La direction de PR, où P est un point de la droite, est la même que celle du vecteur directeur D = (4; 2). On connaît déjà le point P(–1; 3) sur la droite ∆. On a donc PR = a D. D RQ D • Puisque les vecteurs sont orthogonaux, on a = 0, et : 2 a = S S S S aD + RQ = PQ 3 2 D • PQ OR OR = OP + PR 3 2 = OP + D D • (a D + RQ) = D • PQ a( D • D ) + D • RQ = D • PQ x = –1 + 4t y = 3 + 2t Trouver le point de la droite ∆ : le plus proche du point Q(7; 2). On cherche le pied R de la perpendiculaire abaissée du point Q sur la droite ∆. La multiplication scalaire des deux membres de cette équation vectorielle par le vecteur directeur donne : En déterminant la valeur de a, il nous sera possible de connaître le vecteur position du point R. Remarque Sachant que a = 3/2, on peut déterminer le vecteur position du point R, puisque : Notre démarche a consisté à déterminer que, pour parvenir au point R à partir du point P, il fallait se déplacer dans la même direction et le même sens que le vecteur directeur et parcourir une distance qui est égale à 3/2 fois la longueur du vecteur directeur. Par l’addition vectorielle, on a : Cela donne : Ce qui donne : 20a = (4; 2) • (8; –1) = 32 – 2 = 30 et a = 3/2. Le point le plus rapproché est donc R(5; 6).

18. a D + b N = PQ Le point le plus près dans R2Approche vectorielle PR + RQ = PQ Procédure pour déterminer le point R d’une droite le plus rapproché d’un point Q hors de cette droite par une approche vectorielle. 1. Déterminer un point P quelconque sur la droite. 2. Écrire l’équation vectorielle du triangle PQR : 3. Effectuer le produit scalaire des deux membres de l’équation par le vecteur normal ou le vecteur directeur, selon le cas. 4. Déterminer la valeur du scalaire, a ou b, dans l’équation scalaire obtenue après avoir effectué ce produit. 5. Utiliser ce scalaire pour déterminer le vecteur position du point R cherché.

19. Exercice La direction de RQ est alors la même que celle du vecteur normal à la droite, N = (3; –2). On a donc RQ = b N. PR + RQ = PQ N N • PR N • (PR + b N ) = N • PQ N • PR + b( N • N ) = N • PQ Puisque les vecteurs sont orthogonaux, on a = 0, et : 2 b = S S S PR + b N = PQ N • PQ = OQ – RQ OR = OQ – bN OR = OQ + QR = OQ – (–3 N) Trouver le point de la droite ∆ : 3x – 2y – 15 = 0 le plus proche du point Q(–2; 9). On cherche le pied R de la perpendiculaire abaissée du point Q sur la droite ∆. La multiplication scalaire des deux membres de cette équation vectorielle par le vecteur normal donne : Sachant que b = –3, on peut déterminer le vecteur position du point R, puisque : En déterminant la valeur de b, il nous sera possible de connaître le vecteur position du point R. Pour déterminer cette valeur, il faut d’abord trouver un point P de la droite. En posant y = 0 dans l’équation de ∆, on obtient x = 5. Par conséquent, P(5; 0) est un point de ∆. Cela donne : = (–2; 9) + 3 (3; –2) = (7; 3) Par l’addition vectorielle, on a : Le point le plus rapproché est donc R(7; 3). Ce qui donne : 13b = (3; –2) • (–7; 9) = –21– 18 = –39 et b = – 3.

20. Exercice La direction de PR, où P est un point de la droite, est la même que celle du vecteur directeur D = (3; –2). On connaît déjà le point P(–1; 9) sur la droite ∆. On a donc PR = a D. = OP + 2 D PR + RQ = PQ D RQ D • S S S aD + RQ = PQ D • PQ OR OR = OP + PR D • (a D + RQ) = D • PQ a( D • D ) + D • RQ = D • PQ x = –1 + 3t y = 9 – 2t Trouver le point de la droite ∆ : le plus proche du point Q(3; 2). On cherche le pied R de la perpendiculaire abaissée du point Q sur la droite ∆. En déterminant la valeur de a, il nous sera possible de connaître le vecteur position du point R. La multiplication scalaire des deux membres de cette équation vectorielle par le vecteur directeur donne : Sachant que a = 2, on peut déterminer le vecteur position du point R, puisque : Par l’addition vectorielle, on a : Cela donne : Puisque les vecteurs sont orthogonaux, on a = 0, et : = (–1; 9) + 2 (3; –2) = (5; 5) 2 a = Le point le plus rapproché est donc R(5; 5). Ce qui donne : 13a = (3; –2) • (4; –7) = 12 + 14 = 26 et a = 2.

21. Le point le plus près dans R2Intersection de lieux Le point d’une droite le plus près d’un point Q hors de cette droite dont on connaît un vecteur normal (équation cartésienne). Le vecteur normal à ∆ est un vecteur direc-teur de la droite perpendiculaire à ∆ qui passe par le point Q. On obtient une description paramétrique de la perpendiculaire et on peut déterminer le point de rencontre des deux droites. Pour trouver le point de rencontre, il suffit de substituer les équations paramétriques dans l’équation cartésienne pour déterminer la valeur du paramètre au point de rencontre. On substitue ensuite cette valeur dans les équations paramétriques pour obtenir les coordonnées du point.

22. Le point le plus près dans R2Intersection de lieux Le point d’une droite le plus près d’un point Q hors de cette droite dont on connaît un vecteur directeur (description paramétrique). Le vecteur directeur de ∆ est un vecteur normal à la droite perpendiculaire à ∆ qui passe par le point Q. On obtient une équation cartésienne de la perpendiculaire et on peut déterminer le point de rencontre des deux droites.

23. Le point le plus près dans R2Intersection de lieux Procédure pour déterminer le point R d’une droite le plus rapproché d’un point Q hors de cette droite par l’intersection de lieux. 1. Déterminer une équation de la droite passant par le point Q et perpendiculaire à la droite ∆. 2. Substituer les équations paramétriques dans l’équation carté-sienne. 3. Calculer la valeur du paramètre au point de rencontre des droites. 4. Substituer la valeur du paramètre dans les équations paramétriques pour déterminer les coordonnées du point de rencontre qui est le point le plus rapproché.

24. Exemple 10.3.4 S S Utiliser la méthode de l’intersection de lieux pour trouver le point de ∆ : x – 2y + 4 = 0 le plus proche du point Q(4; 9). On cherche le pied R de la perpendiculaire abaissée du point Q sur la droite ∆. Or, cette droite est parallèle au vecteur normal à ∆. (6; 5) La description paramétrique de la droite passant par Q et perpendiculaire à ∆ est : x = 4 + t y = 9 – 2t En substituant ces équations paramétriques dans l’équation de la droite ∆, on obtient : En substituant cette valeur dans les équations paramétriques, on obtient : (4 + t) – 2(9 – 2t) + 4 = 0 x = 4 + 2 = 6 y = 9 – 2´2 = 5 D’où : 4 + t – 18 + 4t + 4 = 0 Cela donne : 5 t – 10 = 0 et t = 2 Le point le plus rapproché est donc R(6; 5).

25. Exemple 10.3.5 S S Utiliser la méthode de l’intersection de lieux pour trouver le point de ∆ : (5; 6) x = –1 + 4t y = 3 + 2t le plus proche du point Q(7; 2). L’équation cartésienne de la droite passant par Q et perpendiculaire à ∆ est donnée par : (x – 7; y – 2) • (4; 2) = 0 D’où : 4x – 28 + 2y – 4 = 0 Et : 4x + 2y – 32 = 0 En substituant les équations paramétriques de ∆ dans l’équation de la perpendiculaire passant par Q, on obtient : En substituant cette valeur dans les équations paramétriques de ∆, on obtient : 4(–1 + 4t) + 2(3 + 2t) – 32 = 0 x = –1 + 4(3/2) = 5 y = 3 + 2(3/2) = 6 D’où : –4 + 16t + 6 + 4t – 32 = 0 Le point le plus rapproché est donc R(5; 6). Cela donne : 20 t – 30 = 0 et t = 3/2

26. Exercice S S Utiliser la méthode de l’intersection de lieux pour trouver le point de ∆ : 3x – 2y – 15 = 0 le plus proche du point Q(–2; 9). (7; 3) La description paramétrique de la droite passant par Q et perpendiculaire à ∆ est : x = –2 + 3t y = 9 – 2t En substituant cette valeur dans les équations paramétriques, on obtient : En substituant ces équations paramétriques dans l’équation de la droite ∆, on obtient : x = –2 + 3 ´3 = 7 y = 9 – 2´3 = 3 3(–2 + 3t) – 2(9 – 2t) – 15 = 0 D’où : –6 + 9t – 18 + 4t – 15 = 0 Le point le plus rapproché est donc R(7; 3). Cela donne : 13t – 39 = 0 et t = 3

27. Exercice S S Utiliser la méthode de l’intersection de lieux pour trouver le point de ∆ : x = –1 + 3t y = 9 – 2t (5; 5) le plus proche du point Q(3; 2). L’équation cartésienne de la droite passant par Q et perpendiculaire à ∆ est donnée par : (x – 3; y – 2) • (3; –2) = 0 D’où : 3x – 9 – 2y + 4 = 0 Et : 3x – 2y – 5 = 0 En substituant les équations paramétriques de ∆ dans l’équation de la perpendiculaire passant par Q, on obtient : En substituant cette valeur dans les équations paramétriques de ∆, on obtient : x = –1 + 3 ´2 = 5 y = 9 – 2´2 = 5 3(–1 + 3t) – 2(9 – 2t) – 5 = 0 D’où : –3 + 9t – 18 + 4t – 5 = 0 Le point le plus rapproché est donc R(5; 5). Cela donne : 13t – 26 = 0 et t = 2

28. Conclusion À partir de l’équation ou des équations d’une droite, on peut déterminer un vecteur normal ou un vecteur directeur. En utilisant ces vecteurs, on peut déterminer : • l’angle entre deux droites, • la distance d’un point à une droite, • la distance entre deux droites parallèles, • le point d’une droite le plus rapproché d’un point hors de la droite.

29. Lecture Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences de la nature.Section 10.3, p.292-301. Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences humaines.Section 9.3, p.228-231. Exercices Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature.Section 10.4, p. 301-303. Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences humaines.Section 9.4, p.239-242.