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Los 17 grupos cristalográficos planos

Los 17 grupos cristalográficos planos. Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. Capítulo 2. Procedimiento general. Clasificaremos los grupos cristalográficos usando su retículo y grupo puntual. De G se obtienen T,J . De T se obtiene el retículo L.

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Los 17 grupos cristalográficos planos

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  1. Los 17 grupos cristalográficos planos Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. Capítulo 2. Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2010-2011

  2. Procedimiento general • Clasificaremos los grupos cristalográficos usando su retículo y grupo puntual. • De G se obtienen T,J. • De T se obtiene el retículo L. • J debe ser un subgrupo del grupo de isometrías lineales que fijan L. • En algunos casos, hay varias posibilidades para G a partir de los mismos T y J. Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  3. Retículo oblicuo • En este caso, las unicas isometrías lineales que dejan fijo el retículo son Id, Aπ • Los posibles subgrupos de {Id,Aπ} son • {Id} • {Id,Aπ} Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  4. (p1) Si el grupo de isometrías lineales es {Id}, G=T Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  5. (p2) Si J={Id,Aπ}, aparece una rotación de ángulo π Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  6. Retículo rectangular • Las isometrías lineales que son simetrías de un retículo rectangular son {Id,Aπ,B0,Bπ}. • Los posibles subgrupos, es decir, los candidatos a ser J, son: • {Id} (p1) • {Id,Aπ} (p2) • {Id,B0} • {Id,Bπ} (análogo al anterior) • {Id,Aπ,B0,Bπ} Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  7. (pm) J={Id,Bπ}, si Bπ viene de una reflexión en G (ídem con B0) Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  8. (pg) J={Id,Bπ}, si Bπ no viene de una reflexión en G (y por tanto viene de una reflexión con deslizamiento) (id. B0) Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  9. (pmm) J={Id,Aπ,B0,Bπ} y B0,Bπ vienen de reflexiones en G Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  10. (pmg) • J={Id,Aπ,B0,Bπ} y sólo B0 (o Bπ) viene de una reflexión en G Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  11. (pgg) J={Id,Aπ,B0,Bπ} y no hay reflexiones en G Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  12. Retículo rectangular centrado • Las isometrías lineales que son simetrías vuelven a ser {Id,Aπ,B0,Bπ}. • Los posibles subgrupos, es decir, los candidatos a ser J, son: • {Id} (de nuevo es (p1)) • {Id,Aπ} (p2) • {Id,B0} o {Id, Bπ} • {Id,Aπ,B0,Bπ} Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  13. (cm) J={Id,Bπ}. Se demuestra que Bπ viene de una reflexión de G. (sería análogo con B0) Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  14. (cmm) J={Id, Aπ,B0,Bπ}. Se demuestra que B0,Bπvienen de reflexiones Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  15. Retículo cuadrado • Las isometrías lineales que dejan fijo el retículo son D4=< Aπ/2,B0>. • Los únicos casos nuevos que aparecen corresponden a los subgrupos • <Aπ/2> • D4 Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  16. (p4) • J=<Aπ/2>. En G sólo hay rotaciones y traslaciones Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  17. (p4m) J=D4y B0 (o Bπ) viene de una reflexión en G Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  18. (p4g) J=D4 y B0 (o Bπ) no viene de una reflexión en G Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  19. Retículo hexagonal • Las simetrías del retículo en este caso son D6=<Aπ/3,B0> • Los únicos subgrupos que suponen casos nuevos son • <A2π/3> • <A2π/3,B0> • <A2π/3,Bπ/3> • <Aπ/3> • <Aπ/3,B0> Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  20. (p3) • J=<A2π/3>. En G sólo hay rotaciones y traslaciones Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  21. (p31m) • J=<A2π/3,B0> y B0 viene de una reflexión en G. Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  22. (p3m1) • J=<A2π/3,B π/3 >. Por tanto, no hay reflexiones con eje paralelo al retículo. Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  23. (p6) • J=<Aπ/3>. En G sólo hay rotaciones y traslaciones. Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  24. (p6m) J=D6. Se puede demostrar que B0 viene de una reflexión. Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  25. Teselaciones aperiódicas • Penrose: “darts” and “kites”. Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  26. Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  27. Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  28. Prob 15: Hawaii Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  29. Prob 15: Egipto1 Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  30. Prob 15: Egipto2 Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  31. Prob 15: Alhambra Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  32. Prob 15: Tapiz persa Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  33. Prob 15: Asiria Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  34. Prob 15: Linóleo (EEUU) Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  35. Prob 15: China Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

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